人教复数的加法和减法主题讲座

人教复数的加法和减法主题讲座3.2复数的运算第1课时复数的加法和减法第三章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习实数可以进行加、减运算，那么复数可以进行加、减运算吗？怎样计算呢？其结果是怎样一个数呢？下面我们来学习复数的加、减运算.1.实数加法的交换律：________结合律：________.2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点________及以原点为起点，________为终点的________相对应，它们之间的对应都是________的关系．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(

)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i[答案]

B[解析]

z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.二复数的减法1．相反数已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．2．减法运算法则规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．计算：(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝__________________.[答案]

(y－x)＋(5y－5x)i[解析]

(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝(2x－3x＋y)＋(3yi＋2yi－2xi－3xi)＝(y－x)＋(5y－5x)i.注意：1.根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．2．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．3．在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A、B、C所构成的三角形形状是________．[答案]

直角三角形四数形结合思想的应用由于复数与向量的对应关系，因此在解决复数的加、减运算及有关复数模的问题时，可通过数形结合的方法解决．由复数模的几何意义可得出如下结论：在复平面内，z1、z2对应的点A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．(1)A，B两点间距离d＝|z1－z2|.(2)四边形OACB为平行四边形．(3)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．(4)若|z1|＝|z2|，则四边形OABC为菱形．(5)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．已知z1、z2∈C，求证：|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.课堂典例探究

计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．复数的加、减运算复数加、减法的几何意义复平面内轨迹的求法

已知|z|＝r(r>0)，求2z＋3－4i对应的点的轨迹．[解题提示]

设2z＋3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，确定x，y的关系式．[解析]

令z1＝2z＋3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则2z＝x－3＋(y＋4)i，|2z|＝|x－3＋(y＋4)i|＝2r，∴(x－3)2＋(y＋4)2＝4r2，∴z1对应的点的轨迹是以(3，－4)为圆心，2r为径的圆．[方法总结]

求复平面上轨迹方程常有两种方法：一是直接法，通过设z＝x＋yi(x，y∈R)直接寻求x，y之间的关系；二是整体代换法，通过转化变形利用基本轨迹方程代入求解．常见的复数轨迹方程有以下几种：(1)|z－z1|＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．(2)|z－z1|＝|z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．(3)|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>|z1－z2|)，表示以复数z1、z2的对应点为焦点的椭圆．(4)||z－z1|－|z－z2||＝2a(0<2a