2026年高考数学终极冲刺：秘籍11 立体几何经典小题九大热点题型全攻略（原卷版）

4/4秘籍11立体几何经典小题九大热点题型全攻略题型考情分析考向预测1.求几何体的体积与表面积2026年新高考卷Ⅰ：第4题考察正三棱柱体积（基础），第9题考察正三棱柱中线面垂直判断（多选），第16题考察翻折+截面综合（填空压轴）2026年新高考卷Ⅱ：第5题考察空间线面平行/垂直（多选），第10题考察棱锥体积（基础），第16题考察翻折+截面综合（填空压轴）立体几何是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算；三是空间角、空间距离的计算；四是动点轨迹、截面问题、新定义、新情境等创新题型，这类试题难度有时较大.2.几何体与球的切、接问题3.体积、面积、周长、距离的最值与范围问题4.空间线段以及线段之和最值问题5.空间角问题6.空间中的距离问题7.立体几何中的截面、交线问题8.立体几何中的轨迹问题9..以立体几何为载体的新定义、新情景题题型1空间几何体表面积与体积的常见求法1．求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2．求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【例1】（2026·浙江·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为

A． B． C． D．【变式1-1】（25-26高三·安徽·月考）乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（

）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：）A． B． C． D．【变式1-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（

）

A． B． C． D．题型2几何体与球的切、接问题1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.2．空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.(2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.3．内切球问题的求解策略：(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.【例2-1】（25-26高三·重庆渝中·月考）正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（

）.A． B． C． D．【例2-2】（2026·海南·模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2026·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（22-23高三·陕西安康·开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍䠢”指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个“刍䠢”，四边形为等腰梯形，，，，则该“刍䠢”的体积为_____________．题型3体积、面积、周长、距离的最值与范围问题1．立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2．立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【例3-1】（2026·高三·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．【例3-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（

）A． B． C． D．1【变式3-1】（2026·高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，，M为的中点，现将沿翻折，得到三棱锥，记二面角的大小为，，下列说法不正确的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．与平面所成角的正切值最大为D．记三棱锥外接球的球心为O，则的最小值为【变式3-2】（2026·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（

）A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是题型4空间线段以及线段之和最值问题1.(1)要注意利用好几以规则几何体（正方体、长方体、直棱柱、圆锥/圆柱、正四面体）为主要背景，如“正方体表面上两点间的最短路径”“圆柱侧面上动点到定点的线段最值”“正四面体中异面直线上两点间线段的最小值”；◦常结合动点约束条件命题，约束条件多为：①动点在几何体表面/棱/面上运动；②动点满足线面平行/垂直等位置关系；③线段之和（如PA+PB）的最值。何体的轴截面．2.核心思路是“空间问题平面化”“几何问题代数化”——通过展开、对称、建系等手段，将空间最值转化为平面几何最值（如两点之间线段最短、三角形三边关系）或函数最值（如二次函数、三角函数最值）；◦优先用几何转化法（展开、对称），复杂情况用坐标法（建立空间直角坐标系，构建函数求解）。【例4-1】（2026·江西鹰潭·模拟预测）如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】（2026·北京·模拟预测）以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成的二面角.若，，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（多选）（25-26高三·河南·月考）如图，在棱长为1的正方体中，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．异面直线与直线所成角的大小为B．二面角的大小为定值C．若Q是对角线上一点，则的长度的最小值为D．若R是线段上一动点，则直线PR可能与直线平行【变式4-2】（2026·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，为线段上的动点，则的最小值为题型5空间角问题1．几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.2．向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3．几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.【例5-1】（25-26高三·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【例5-2】（2026·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2023·四川雅安·一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（2026·高三·浙江杭州·阶段练习）已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（

）A． B． C． D．题型6空间中的距离问题1．向量法求点到直线距离的步骤：(1)根据图形求出直线的单位方向向量v.(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.(3)垂线段长度.2．求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.(3)等体积法.(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为.【例6-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．【例6-2】（20-21高三·江西景德镇·期中）如图，已知正方体棱长为3，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（

）A．21 B．22 C．23 D．13【变式6-1】（25-26高三·上海黄浦·期末）在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________.【变式6-2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为________．题型7立体几何中的截面、交线问题1．立体几何截面问题的求解方法(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.2．截面、交线问题的解题策略(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.【例7-1】（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方体中，为中点，过的截面与平面的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【例7-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【变式7-1】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（2026·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（

）

A． B． C． D．题型8立体几何中的轨迹问题1．动点轨迹的判断方法动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.2．立体几何中的轨迹问题的常见解法(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.【例8-1】（2026·四川成都·三模）在棱长为5的正方体中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【例8-2】（2026·湖南·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面，点是平面内的动点，且满足线段的长度是点到的距离的2倍，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【变式8-1】（多选）（25-26高三·四川眉山·期末）在棱长为4的正方体中，N为的中点，为的中点，M是棱上靠近的四等分点，Q是棱上靠近D点的四等分点，点P在正方体的表面上运动，则下列说法正确的是（

）

A．若点P在棱上运动，则三棱锥的体积不变B．若点P在棱上运动，则线段与的长度之和最小为C．若平面，则点P的轨迹长度为D．若，则点P的轨迹是长方形【变式8-2】（多选）（2026·湖南·一模）如图，三棱台中，平面，则（）A．三棱台的体积为B．平面C．D．若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为题型9以立体几何为载体的新定义、新情景题【例9】（2026·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（

）A．60 B．90 C．120 D．180【变式9-1】（25-26高三·湖南长沙·月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（

）A． B． C． D．【变式9-2】（25-26高三·上海普陀·期末）勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________.【变式9-3】（25-26高三·湖北宜昌·月考）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________.1．（25-26高三下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．2．（25-26高三下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（）A．28π B．27π C．19π D．29π3．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（

）A．60 B．90 C．120 D．1804．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（

）A．5 B． C． D．7．（24-25高三下·重庆·期中）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠