05 第五章 概率基本知识

新编21世纪心理学系列教材心理与教育统计（第3版）温忠麟

著第章五

概率基本知识

Probability核心要点了解随机现象和随机试验。掌握随机事件的定义、随机事件的关系和随机事件的运算。理解概率的定义，理解古典概率和统计概率的特点。掌握概率的性质和概率的运算法则。了解全概率公式、贝叶斯公式。推断统计推断统计是根据随机抽取的样本对总体特征作出推论的统计方法；推断统计的数学基础是概率论，为了更好地理解和掌握推断统计的原理和方法，有必要学习和了解一些基本的概率知识；包括事件及其运算、事件的概率、概率的性质和运算、全概率公式和贝叶斯公式等。1.事件及其运算随机现象：在确定条件下，有不止一种可能得结果，试验前不能确定哪个结果会出现，对应的现象称为随机现象。随机试验：对一个随机现象进行一次观测或试验。它满足下面三个条件：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的所以可能结果明确可知，且不止一个；（3）一次试验之前无法肯定会出现哪个结果。1.1事件一次试验的每一个可能的结果称为随机事件，简称为事件。不能再分的事件称为基本事件，由基本事件组合而成的事件称为复合事件。一个事件是否为基本事件，与试验的目的有关。1.2事件的关系和运算将基本事件看作只含一个元素（不能再分的一个可能结果）的集合；复合事件则是多于1个元素的集合；事件之间的关系和运算就可以理解为集合之间的关系和运算。记U为基本事件全体所成的集合，即U包含了所有可能的结果，因而U必然会出现，称U为必然事件；记V为空集，它不包含任何基本事件，因而V是一个不可能出现的结果，称为不可能事件。1.2.1包含关系如果事件A出现必然导致事件B出现，则称B包含了A，或称A包含于B。记为：用文图（Venndiagram）表示为：

1.2.2相等关系如果事件A和B中的其中一个出现必然导致另一个出现，则称事件A和B相等；记为：

等价于且两个相等的事件总是同时出现或同时不出现。1.2.3事件的和设A、B是两个事件，则“事件A、B至少有一个出现”也是一个事件，称为事件A和事件B的和（或并）；记为：用文图表示为：1.2.4事件的积设A、B是两个事件，则“事件A、B同时出现”也是一个事件，称为事件A和事件B的积（或交）；记为：用文图表示为：1.2.5对立事件设A是一个事件，则“事件A不出现”也是一个事件，称为事件A的对立事件；记为：用文图表示为：1.2.6互不相容事件如果事件A和事件B的积是不可能事件，即，则称事件A和事件B互不相容；事件A和事件A的对立事件互不相容。1.2.7事件的运算律集合的运算律都可以平移到事件的运算中来。例如：

2.概率

2.1古典概率对于一个试验，如果：（1）全体基本事件的个数有限，（2）各个基本事件出现的可能性大小相等，则一个事件A的概率由下式计算：这样定义的概率称为古典概率，是从理论上计算事件概率的一种最基本方法。2.2统计概率

3.概率的性质与运算和频率一样，概率具有如下性质：

3.1事件和的概率设事件A和B是两个事件，则：上式为概率的加法公式。

3.2条件概率和频率一样，概率具有如下性质：

3.3事件的独立性

3.4事件积的概率

4.全概率公式和贝叶斯公式全概率公式通常用于根据已知的事件分解来计算一个事件的概率。文图中事件的概率为：

4.1全概率公式一般地，如果是k个两两不相容的事件且：

则全概率公式为：

证明过程如下：

4.2概率树概率树可以帮助直观理解事件之间的关系。每次抽奖都有两个分杈：中奖与不中。第2个人中奖（）出现在两条树枝系中，——和——

第2个人中奖的概率是两条树枝系的概率之和，每条树枝系的概率是该树枝系上各分支的概率乘积。4.3贝叶斯公式

本章小结随机现象在确定的条件下，有不止一种可能的结果。随机试验是对随机现象进行的观测或试验。一次试验无规律可言，大量试验有集体性规律。事件之间的关系和运算可以理解为集合之间的关系和运算。事件之间的关系有包含、相等、对立、互不相容等。事件之间的运算主要是事件和与事件积，适用集合的对偶律和分配律等。本章小结概率的运算主要有加法公式、乘法公式、条件概率、全概率公式等。古典概率中，基本事