14 因子基础分析

新编21世纪心理学系列教材心理与教育统计（第3版）温忠麟

著第十四章

因子分析

FactorAnalysis核心要点因子分析的基本原理与数学模型因子负荷、共同度、方差贡献率的统计意义因子提取与因子个数确定方法因子旋转与因子命名因子得分的计算与应用SPSS软件操作及结果解读。因子分析因子分析（factoranalysis）是根据相关性大小把变量分组，使得同组内变量之间的相关性较高，不同组之间的相关性较低。尤其适用于每组变量对应于一个所谓的因子（factor）。在因子分析中，因子被认为是造成该组变量变化的共同原因。从量表的角度看，因子是一组题目测量到的潜在特质。调查某校初中一年级新生的情况，包括：身高、体重、语文入学成绩、数学入学成绩、英语入学成绩、家庭人均年收入、家庭月均支出。七个变量相关系数矩阵这七个变量中，下列变量之间相关系数较大： 身高与体重 三科入学成绩之间 家庭人均年收入与家庭月均支出而其余的相关系数（绝对值）较小这七个变量中，下列变量之间相关系数较大： 身高与体重——身形 三科入学成绩——成绩 家庭人均年收入与家庭月均支出——家庭经济状况模型及原理Z1F1F2Z2ZkFm…………ε1ε2εk……a11a21ak1a12a22ak2a1ma2makm模型及原理Zi=ai1

F1

+ai2

F2

+…+aimFm+εi

(i=1,2,…,k)观测数据公因子特殊因子因子负荷正交因子模型假设公共因子都是均值为0，方差为1的变量。特殊因子的均值为0。各公共因子之间、特殊因子与公共因子之间、特殊因子与特殊因子之间均为零相关，即它们之间的协方差（或相关系数）等于零。因子负荷的统计意义观测变量受公因子的影响当公因子之间不相关时，因子负荷=

观测变量与因子之间的相关系数，即Zi=ai1

F1+ai2F2

+…+aimFm+εi(i=1,2,…,k)共同度：观测变量方差中由公因子解释的比例因子负荷矩阵A中各行元素平方和的统计意义因子的方差贡献因子负荷矩阵A中各列元素平方和的统计意义在主成分法中，因子的方差贡献等于相应的特征根大小因子分析结果呈现结果解释英语和化学在因子F1上的负荷较大，其次是地理，这些课程反映的共同能力是识记能力，可以将该因子解释为识记方面的能力。代数和几何在因子F2上的负荷很大，物理也有较大的负荷，这些课程反映的共同能力是逻辑推理和运算能力，可以将因子F2解释为逻辑推理和运算能力。在因子F3上有大负荷的是语文，其次是历史，这些课程反映的共同能力是语言和文字表达能力，可以将因子F3可以解释为语言和文字表达能力。计算共同度、特殊因子方差和个因子的方差贡献并报告结果。前提假设观测变量之间有较强的相关关系。如果变量之间的相关程度很小，则它们不可能共享公共因子。在计算出相关矩阵后，需要对相关矩阵进行检验。如果相关矩阵中的大部分相关系数都小于0.3，则不适合做因子分析。SPSS软件提供了三个统计量来判断观测数据是否适合做因子分析。（1）变量间相关矩阵（2）反映像相关矩阵（3）KMO

测度和Bartlett

球形检验因子分析步骤1.计算相关矩阵并检验假设。2.因子提取。3.因子旋转。4.模型评价。5.对因子命名并做出解释。6.需要时计算因子得分。检验假设整体检验变量间相关：如果所有或大部分相关小于0.3，则不适合做EFABartlett球形检验：显著才能做EFAKMO检验：0~1，应大于0.50，值越大越适合进行EFA对单个变量的检验MSA值：反映像相关矩阵(anti-imagecorrelationmatrix)，单个变量的MSA值应大于0.50，否则应被剔除。因子模型估计方法主成份法（PrincipalComponents）极大似然法（MaximumLikelihood）主轴因子法（PrincipalAxisFactors）最小二乘法（LeastSquare）广义最小二乘法（GeneralizedLeastSquare）等等。其中比较常用的是主成份法（也是SPSS默认的方法）。因子个数的确定（1）以R的特征根（eigenvalue）是否大于1为标准，特征根大于1的特征根个数为提取的因子数。（SPSS默认）（2）参考R的特征根的碎石图（screeplot）（3）使前m个因子的方差贡献达到一个适当的比例，比如60%以上（4）根据专业知识指定因子个数（5）比较不同因子个数的模型，结合拟合指数和模型可解释性而定因子旋转为何要旋转：未旋转时，基于因子解释方差的多少来抽取因子，第一个因子解释的变异最多，越往后解释的变异越少重新分布每个因子上的方差，从而达到更简单更有意义的因子结构因子旋转的原理：改变坐标轴的位置，使得各个变量在尽可能少的因子上有较高负荷因子旋转方法方差极大旋转（varimax）等方差极大旋转(equamax)方差四次幂极大旋转(quartimax)等当对因子作正交旋转后，因子的意义仍不能得到满意的解释时，可考虑对因子作斜交旋转（如promax)。这时，对应的变换矩阵不是正交矩阵，旋转后因子之间的相关系数不是零SPSS中的因子旋转方法正交斜交SPSS因子旋转结果示例评价模型是否删除变量检视负荷矩阵每个变量至少在某个因子上的负荷（绝对值）不小于0.4检视共同度（通常不小于0.5）是否重设模型各因子的方差贡献率（通常不小于5%）检视全部因子的方差贡献率（通常不小于60%）因子解释和命名因子命名是基于对因子负荷的解释给一个因子命名时，概括该因子中负荷最大的几个变量的共同属性旋转方法会影响对因子的解释因子得分对每个被试计算他们的因子值，可以把因子得分作为因子（潜变量）的观测值计算因子得分方法回归法（SPSS默认）Anderson-Rubin方法Bartlett方法用SPSS做因子分析的策略1．做默认的主成份法因子分析，看多少个因子比较合适。2．指定因子个数再做一次主成份法分析，作方差极大旋转，计算因子得分。尝试解释因子。3．指定因子个数做极大似然法因子分析，作方差极大旋转。4．比较前两步得到的旋转后的负荷矩阵，看是否能将变量按同一种方式分组，即看因子能否用相同的变量来表征。5．另外指定一个因子个数，重复第2至4步，考察添加或删减的因子对方差的贡献大小，比较一下是否能更好地对因子做出合理的解释。6.如果方差极大旋转后的因子仍然不好解释，尝试其他正交旋转乃至斜交旋转。7．如果数据较多，可将它们一分为二（随机划分或奇偶划分），对每一半数据做因子分析，比较从两组数据以及全部数据得到的因子分析结果，以考察结果的稳定性。【例12.2】下面是12个问卷题目，用于调查小学生的欺负行为。让被试根据他（她）自己过去一年欺负同学的情况无记名回答。采用6级记分：1——从来没有2——有时这样

3——一个月有一两次4——一周一次左右5——一周几次6——几乎天天如此X1：说同学坏话；X2：有同学走过来时故意撞上去；X3：让人传播某个同学的谣言；X4：说点难听的取笑同学；X5：向同学扔东西；X6：让人不要理某个同学；X7：给同学取不好的绰号；X8：推撞同学；X9：给某个同学脸色看；X10：嘲弄同学的长相；X11：挑起事端和人打架；X12：有意不让某个同学参加活动。结果解释在因子1上有大负荷的是X2、X5、X8和X11，检视这些题目的内容发现，这些欺负行为的共同属性是直接攻击受害者的身体，可以将因子1命名为“身体攻击”。在因子2上有大负荷的是X1、X4、X7和X10（见图12-6第3列），这些欺负行为的共同属性是用语言来伤害他人，可以将因子2命名为“语言伤害”。在因子3上有大负荷的是X3、X6、X9和X12（见图12-6第4列），这些欺负行为的共同属性是在社会交往中排斥他人，可以将因子3命名为“社交排斥”。因子分析结果使用数据汇总：产生维度，从而用比原始数据更少的变量去描述数据数据缩减：在数据汇总的基础上，给每个维度赋予分值代替原始数据做进一步的统计分析语言能力

语文数学英语科学1906089552469066100388668570488779556…………………………理科思维语言能力理科思维89.557569586689165…………结果处理用因子中负荷最高的变量，代表该因子优点：易操作，好解释缺点：

并不能代表一个因子的所有方面

易受测量误差的影响选择代表性变量（surrogatevariable）对所有在同一因子上负荷高的变量，加和或求均值优点：1)减少了测量误差2)代表一个概念的多个方面3)不同研究中可重复缺点：1)只包含了高负荷变量2)要求先分析信度合成维度分（summatedscale）计算因子得分（factorscore）根据所有变量在因子上的负荷合成优点：代表了所有变量的加权贡献数据简化的最好方式缺点：较难解释不同研究很难重复主成份法原理主成份法原理(续)利用因子分析结果做主成份分析需要计算多少个主成份，在做因子分析时，就指定多少个因子，用主成份法提取因子，不作旋转。得到因子得分后，用下式计算主成份主成份＝SQRT(特征值)×因子得分EFA适用场合对现有变量根据相关性大小分组降维：用少量的因子（潜变量）代替原有变量做进一步的统计分析（如：回归分析、路径分析、聚类分析等）编制量表（由表及里）：在没有明确的概念界定时，用于题目筛选，并确定量表维度访谈、草拟题目、试测EFA筛选题目EFA例子：大学生对教师的课堂教学评价我钦佩老师的工作态度和敬业精神老师对讲课内容和方法做了精心准备老师鼓励我们提问和发表个人想法老师能够比较和评价各种理论或方法老师能理论联系实际，案例生动……我学会了如何学习该学科的方法该课使我提高了分析相关问题的能力通过EFA，不同国家所做的同类研究有相同或类似的7-9个因子：态度、组织、清晰性、互动、内容、知识面、作业、效果、价值

验证性因子分析：潜变量与指标外表自我概念我长相好。我有张漂亮的面孔。我样子长得难看。我有一副好身材。别人认为我的样子好看。（1-完全不吻合，…，6-完全吻合）本章小结因子分析是按相关大小将变量分组，每组对应一个因子，从而实现降维、简化数据。正交因子模型中，一个变量在一个因子上的负荷等于它们之间的相关系数。一个变量的共同度(负荷矩阵的行平方和)衡量了全部公共因子对该变量的方差贡献大小。一个因子的方差贡献（负荷矩阵的列平方和）衡量了该因子对所有变量的方差贡献大小。每个主成分都是变量的线性组合，有多少个变量就可以产生多少个主成分