初中数学题型专练《统计与概率》含答案

初中专题11动点与函数图象分析内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01三角形中的动点问题与函数图像分析题型02平行四边形中的动点问题与函数图像分析题型03菱形中的动点问题与函数图像分析题型04矩形中的动点问题与函数图像分析题型05正方形中的动点问题与函数图像分析第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01三角形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（

）A．2 B． C． D．【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（

）A． B． C． D．方法透视考向解读基础必考题，选择/解答均有，动点沿三角形边/内部/所在直线运动，考查线段长、面积、周长等几何量随动参的变化图像，侧重分段分析与三角形基本性质结合，是后续四边形题型的基础。方法技能①按动点顶点拐点、几何量变化临界点划分运动阶段；②用动参（t/③判断各阶段函数类型（一次/二次），分析增减趋势、临界点数值，匹配/绘制图像。变式演练【变式01】（2025·广东梅州·模拟预测）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（

）A． B． C． D．【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一点，过点分别作，垂足分别为点，设．若关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，，则下列选项正确的是（

）A．B．当时，C．点在该函数图象上D．该函数图象的最高点的纵坐标为8【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（

）A．B．C． D．题型02平行四边形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（

）．A．14 B．18 C．20 D．28【典例02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图在平行四边形中，，，P是上的任一点，过点P作，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设，，则能反映y与x之间关系的图象是（

）A．B．C． D．方法透视考向解读高频中档题，选择/解答为主，单/多动点沿平行四边形边/对角线运动，考查边长、对角线、面积、三角形面积（内接）等几何量的图像，侧重平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质应用。方法技能①利用平行四边形性质转化动线段（如对边相等表示未知边）；②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，重点分析“动点跨边”时几何量的变化规律；③内接三角形面积常与平行四边形面积关联（如一半关系），简化表达式后判断图像特征。变式演练【变式01】（2025·广东东莞·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（

）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，点P从点A出发，沿某路径运动，沿回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．【变式03】（2025·广东韶关·模拟预测）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（）A．cm B．3cm C． D．题型03菱形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（

）A． B．C． D．【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（

）A．2 B． C． D．方法透视考向解读中档综合题，选择/解答为主，动点沿菱形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角等几何量的图像，核心结合菱形邻边相等、对角线垂直平分且平分内角的特殊性质。方法技能①由菱形对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理表示动线段；②面积计算优先用“对角线乘积的一半”，内接图形面积结合对角线分割的四个全等直角三角形分析；③动点沿对称轴运动时，几何量常呈对称变化趋势，图像具有对称性。变式演练【变式01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，已知在边长为4的菱形中，，E是边上一动点（与点B，C不重合）．连接，作，交于点F，设，的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（

）A．B．C． D．【变式02】（2025·广东珠海·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(

)A． B． C． D．【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1题型04矩形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（

）A．B．C． D．【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（

）A．当时，的面积为3平方米B．小车的运动速度为1米／秒C．长方形的周长为14米D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒方法透视考向解读高频中档题，全题型覆盖，动点沿矩形边/对角线运动，考查线段长、面积、勾股定理相关量的图像，侧重矩形四个直角、对边相等、对角线相等的性质，常涉及“折叠、内接直角三角形”变式。方法技能①利用矩形直角构造直角三角形，用动参表示直角边，结合勾股定理求线段长；②面积分析优先定“定底动高”或“定高动底”，简化计算；③动点沿对角线运动时，重点分析内接三角形的底高变化，判断函数类型（多为一次/分段一次）。变式演练【变式01】（2026·广东湛江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿匀速运动到点．图②是点运动过程中，的面积随点的运动路程变化的关系图象，则该矩形的边的长度为（

）A． B． C． D．【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（

）A．B．C． D．【变式03】（2025·广东深圳·二模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（

）A． B．C． D．题型05正方形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东惠州·三模）如图1，在正方形中，为的中点，点沿从点运动到点，设两点的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则当最小时，的长为（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·广东佛山·二模）如图1，正方形中，点E为边上一动点，连接，过点D作于P，连接，设长度为x，长度为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中点P是函数图象的最低点，则的值为（

）A． B． C． D．方法透视考向解读压轴中档题，选择/解答压轴为主，单/多动点沿正方形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角、全等/相似相关量的图像，融合正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等的所有特殊性质，常结合旋转、折叠变式。方法技能①利用正方形的边、角、对角线性质，快速转化动线段（如对角线为边长的2倍）、构造全等/等腰直角三角形；②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，分析“动高/动底”的变化，复杂面积用割补法表示；③关注几何量的特殊临界点（如动点到顶点、对角线交点时），精准确定图像拐点与函数解析式取值范围。变式演练【变式01】（2025·广东潮州·二模）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（

）A．B．C．D．【变式02】（2025·广东中山·三模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（

）A．B．C． D．【变式03】（2025·广东河源·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（

）A． B． C． D．题●型●训●练1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，的边与长方形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与长方形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图2所示，则长方形的面积为（

）A．8 B．10 C．6 D．152．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．当时，3．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（

）

A．11 B．9 C．12 D．104．（2025·广东中山·模拟预测）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（）．A．B．当时，的面积是C．当时，D．当时，5．（2025·广东深圳·一模）如图1，在中，，一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（

）A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒6．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____．7．（2025·广东汕头·二模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为____________8．（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．（1）线段的长为________；（2）在整个运动过程中，的最大值为________．9．（2025·广东清远·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是______．10．（2025·广东韶关·三模）如图，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为____________．

11．（2025·广东惠州·三模）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为__________．12．（2025·广东茂名·三模）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为_____cm2．13．（2025·广东潮州·模拟预测）如图1，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按方向运动，同时，点Q从点出发，沿x轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为，的面积S（平方单位）．(1)正方形的边长为_________；(2)当点P由点A运动到点B时，过点P作轴交y轴于点M，已知随着点P在上运动时，的面积S与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），填空：①点P，Q两点的运动速度为_________单位/秒；②S关于t的函数关系式为_________；(3)当点P由点B运动到点C时，经探究发现的面积S是关于时间的二次函数，其中S与t部分对应取值如下表：求：m的值及S关于t的函数关系式．t101520S2876m14．（2025·广东河源·二模）综合运用如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点C、D分别在直线、x轴负半轴上运动，且始终满足．连接，交y轴于点E，以为斜边构造等腰直角三角形，，且点C、D、F按顺时针方向排列，连接、．点C的横坐标为m（）．

(1)分别求、的长．(2)若点C在线段上，当是直角三角形时，求点C的坐标．(3)设的面积为S，求S关于m的表达式．15．（2025·广东江门·三模）如图，半圆O中，，点M为上一点，，点P为半圆上一个动点，连接，过点A作，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)设的长度为，的长度为，的长度为，对于点P在半圆O上的不同位置，通过画图、测量，得到了线段的长度的几组值，如下表：/cm012345677.57.647.787.908/cm00.991.992.973.924.825.615.905.565.184.463.300/cm65.915.655.214.533.562.120.242.253.014.05.006请计算，当时，______；(2)利用表格中的数据，在如平面直角坐标系中画出（1）中所确定的函数关于x的函数图象；(3)观察函数图象分别写出函数、的一条性质；(4)当等腰三角形时：①通过计算可知：______；②通过进一步探究函数图象可知：长度的近似值为______．（保留一位小数）

专题11动点与函数图象分析内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01三角形中的动点问题与函数图像分析题型02平行四边形中的动点问题与函数图像分析题型03菱形中的动点问题与函数图像分析题型04矩形中的动点问题与函数图像分析题型05正方形中的动点问题与函数图像分析第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01三角形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，过点作于点，得，则，最后根据勾股定理可知，进而即可求解．【详解】解：由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，过点作于点，如图，，即．，即点是的中点，，，是的中位线，，．在中，由勾股定理可知，，．【典例02】（2025·广东广州·模拟预测）“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】分别讨论M在AB和在BC上时M到点C的距离平方为y关于运动时间为x的增大而变化的情况即可判断．【分析】解：当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大先变小再变大，当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大而变小，∵y等于点M到点C的距离平方，∴y是关于x的二次函数，图象为抛物线的一部分，A选项符合题意方法透视考向解读基础必考题，选择/解答均有，动点沿三角形边/内部/所在直线运动，考查线段长、面积、周长等几何量随动参的变化图像，侧重分段分析与三角形基本性质结合，是后续四边形题型的基础。方法技能①按动点顶点拐点、几何量变化临界点划分运动阶段；②用动参（t/③判断各阶段函数类型（一次/二次），分析增减趋势、临界点数值，匹配/绘制图像。变式演练【变式01】（2025·广东梅州·模拟预测）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作先根据图像判断，，再根据勾股定理和三角形周长公式计算即可．【详解】解：∵当时，取最小值，即，当点P与点C重合时取最大值，即，作如图∵，，∴．【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一点，过点分别作，垂足分别为点，设．若关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，，则下列选项正确的是（

）A．B．当时，C．点在该函数图象上D．该函数图象的最高点的纵坐标为8【答案】C【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，四边形为矩形，设，则，，可得，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，再由，可得，从而得到y关于x的函数解析式为，【详解】解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，四边形为矩形，∴，设，则，，∴，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，∵点和在函数图象上，，∴，即，∴，，即y关于x的函数解析式为，故A选项错误，不符合题意；当时，，故B选项错误，不符合题意；当时，，则点在该函数图象上，故C选项正确，符合题意；∵，，∴该函数图象的最高点的纵坐标为16，故D选项错误，不符合题意；【变式03】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，分两种情况分别求出关于的函数图象即可：当时和时．【详解】在中，．（Ⅰ）当时，如图所示，可知点在线段上，过点作直线的垂线，交于点．根据题意可知，．因为，，所以．所以．所以．．所以，当，与的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且随的增大而增大．（Ⅱ）当时，如图所示，可知点在线段上．根据题意可知，．所以．所以，当，与的函数图象是开口向下的抛物线的一部分，且随的增大而减小．综上所述，选项Ａ图形符合题意．题型02平行四边形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（

）．A．14 B．18 C．20 D．28【答案】D【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、函数图象等知识点，从函数图象中获得的长是解题的关键．由图②知，，再根据平行四边形的周长公式计算即可．【详解】解：由图②知，，∵，∴，∴的周长为．故选：D．【典例02】（2025·广东惠州·模拟预测）如图在平行四边形中，，，P是上的任一点，过点P作，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设，，则能反映y与x之间关系的图象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题为一次函数与相似形的综合题，平行四边形的性质，解题的关键是求出函数关系式．分两段求：当在上时，当在上时，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．【详解】解：设与交于点，∵四边形为平行四边形，∴，当在上，即时，，∴，，∴，，∴，∴，即，；当在上，即时，同理得：即，；综上分析可知：只有C选项中的函数图象符合题意．故选：C．方法透视考向解读高频中档题，选择/解答为主，单/多动点沿平行四边形边/对角线运动，考查边长、对角线、面积、三角形面积（内接）等几何量的图像，侧重平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质应用。方法技能①利用平行四边形性质转化动线段（如对边相等表示未知边）；②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，重点分析“动点跨边”时几何量的变化规律；③内接三角形面积常与平行四边形面积关联（如一半关系），简化表达式后判断图像特征。变式演练【变式01】（2025·广东东莞·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（

）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【答案】D【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．连接，过点A作于，根据函数图象可知：，，所以，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答．【详解】解：连接，过点作于点，如解图，由题意得，，，，，，，故选：D．【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）如图1，四边形是平行四边形，连接，点P从点A出发，沿某路径运动，沿回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段的长为y，依次求出、，再利用等腰三角形三线合一求得，然后利用勾股定理求得，从而可求得平行四边形的面积．【详解】解：在图1中，作，垂足为E，在图2中，，，当点P从点A到点B时，对应图2中线段，∴，当点P从B到D时，对应图2中曲线从点M到点N，∴，∴，当点P到点D时，对应图2中到达点N，∴，∵在中，，，，∴，∵在中，，，，∴，解得：(负值舍去)，∴平行四边形的面积，故选：B．【变式03】（2025·广东韶关·模拟预测）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（）A．cm B．3cm C． D．【答案】C【分析】本题考查了函数图象分析、平行四边形性质、三角形面积计算及勾股定理应用等知识点，解题的关键在于通过函数图象确定点P运动的时间与路径，进而求得各边长，利用三角形面积公式反推出高，最后结合勾股定理计算对角线的长度。【详解】解：由图象可知，，四边形是平行四边形，，当点P在上运动时，，设边上的高为h，，即，点P从A到D运动时间为，，即，，，．如图，过A作于E，则，在中，，，．故选：C．题型03菱形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，当点在上时，根据等边三角形的性质及勾股定理得出，进而证明，得出，，即可得出；当点在上，根据三角形的面积公式得出，根据两个函数解析式即可判断出函数图象．【详解】解：如图1，当时，点在上，连接，过点作于，∵在菱形中，，，∴，是等边三角形，∴，，∴，∵运动时间为秒，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴图象为开口向上的抛物线，最大值为，如图2，当时，点在上，∵，，∴，∴图象为一次函数，且最大值为，综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分．只有A选项符合题意．【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，，由点P和点Q的运动可知，，当点Q在上时，即时，，过点P作交于，

，，，当点Q在上时，即时，

四边形是菱形，，，由上可知，当点Q到达点C时，，即当时，，故选：C方法透视考向解读中档综合题，选择/解答为主，动点沿菱形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角等几何量的图像，核心结合菱形邻边相等、对角线垂直平分且平分内角的特殊性质。方法技能①由菱形对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理表示动线段；②面积计算优先用“对角线乘积的一半”，内接图形面积结合对角线分割的四个全等直角三角形分析；③动点沿对称轴运动时，几何量常呈对称变化趋势，图像具有对称性。变式演练【变式01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，已知在边长为4的菱形中，，E是边上一动点（与点B，C不重合）．连接，作，交于点F，设，的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了动点函数的图象，相似三角形的判定和性质，求出是本题的关键．如图，延长至H，使，通过证明，可得，可得，由三角形面积公式可求函数解析式，即可求解．【详解】解：如图，延长至H，使，∵四边形是菱形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，且，∴，且，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴该函数图象开口向下，当时，最大值为，故选：B．【变式02】（2025·广东珠海·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质以及解直角三角形．利用的正弦值得到的长，的正切值得到菱形对角线的一半的长是解决本题的难点．当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，即可得到的长，易得，则，当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，进而可得的长，则可得的长，根据的正切值可得和的长，则可菱形对角线的长，那么可得菱形的面积．【详解】解：当时，，，如图：作于点，则，，，，解得：，，四边形是菱形，，，，，，，，当时，点在上，运动的路程长，，如图：作于点，则，，，解得：，，解得：，，设为，则，，解得：，，，，，，菱形的面积为，故选：B．【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等等．根据题意求得，得到和为等边三角形，作于点，利用勾股定理求得，据此求解可得结论．【详解】解：∵菱形，∴，当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故①正确；∴，∴和为等边三角形，故②正确；作于点，∵，∴，∴，∴菱形的面积为，故③错误；当点P运动到点H处时，，，∴最低点的坐标为，故④正确；综上，①②④正确；故选：B．题型04矩形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理可得，然后分两段讨论：当点P在上时，当点P在上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：∵在矩形中，，，，∴在中，，根据点P的运动，需要分段讨论：①当点P在上时，∵，∴，∵，∴，∴，即∴，；∴，即，∵点P在上，∴∴，即，∴y关于x的函数关系式为，图象是开口向上的一段抛物线；当点P在上时，，∵，∴，∵，∴，∴，即∴，，∴，∵点P在上，∴，∴，即，∴y关于x的函数关系式为，图象开口向下的一段抛物线．综上所述，选项A的图象符合题意．【典例02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（

）A．当时，的面积为3平方米B．小车的运动速度为1米／秒C．长方形的周长为14米D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒【答案】D【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想．通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可．【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米，当时，的面积为平方米，该选项正确，不符合题意；B.假设运动速度为米／秒，，结合图象可得，，联立两个方程可得，，该选项正确，不符合题意；C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒，∴，∴长方形的周长为米，该选项正确，不符合题意；D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米，当的面积增加为2平方米时，，解得；当的面积减少为2平方米时，，解得；∴这两个时刻之和为，该选项错误，符合题意；故选：D．方法透视考向解读高频中档题，全题型覆盖，动点沿矩形边/对角线运动，考查线段长、面积、勾股定理相关量的图像，侧重矩形四个直角、对边相等、对角线相等的性质，常涉及“折叠、内接直角三角形”变式。方法技能①利用矩形直角构造直角三角形，用动参表示直角边，结合勾股定理求线段长；②面积分析优先定“定底动高”或“定高动底”，简化计算；③动点沿对角线运动时，重点分析内接三角形的底高变化，判断函数类型（多为一次/分段一次）。变式演练【变式01】（2026·广东湛江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿匀速运动到点．图②是点运动过程中，的面积随点的运动路程变化的关系图象，则该矩形的边的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查矩形的性质，三角形面积公式，动点问题的函数图象分析，从图象中提取关键信息是解题关键．由关系图象可知，当时的面积恒为，得出，代入三角形面积公式即可求出．【详解】解：据图可知，，当点运动到上时，面积为，四边形为矩形，，，，解得．故选：．【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键．根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案．【详解】解：当点在上时，如图所示：在矩形中，，则，，在中，，设的面积为，，则，，是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图；当点在上时，如图所示：在矩形中，，则，设的面积为，，，在中，，，则，则，，是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图；综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是，，故选：B．【变式03】（2025·广东深圳·二模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，表示出与的函数解析式是解题的关键，还需注意、两选项的区别．根据翻折变换的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，从而得到，根据两组角对应相等的三角形相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系式，再根据二次函数的图象解答即可．【详解】解：由翻折的性质得，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴函数图象为C项图象．故选：C．题型05正方形中的动点问题与函数图像分析典例引领【典例01】（2025·广东惠州·三模）如图1，在正方形中，为的中点，点沿从点运动到点，设两点的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则当最小时，的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由图象可知，当最后到达点时，，结合条件可得正方形边长为8，利用勾股定理求出，根据图形可知当三点共线时，最小，再证，利用三角形相似的性质求线段长即可．【详解】解：由图象可知，当最后到达点时，，是正方形，为的中点，，解得，则，，，当三点共线时，最小，在正方形中，，，，，即，，解得．【典例02】（2025·广东佛山·二模）如图1，正方形中，点E为边上一动点，连接，过点D作于P，连接，设长度为x，长度为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中点P是函数图象的最低点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由图2可知，当时，，根据正方形的性质及三线合一求出，根据勾股定理得到，取中点O，可知，连接，可知点P在以为圆心，为半径的圆上运动，当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，，根据勾股定理得到，可知，过点P作交于H，可知，证明，求出，根据勾股定理得到，证明，求出，得到，即可求出的值．【详解】解：如图3，由图2可知，当时，，∵正方形中，∴，∵，∴，∵，∴（负值舍去），如图4，取中点O，可知，连接，∵于P，∴点P在以为圆心，为半径的圆上运动，∴，∴当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，，∵，，∴，∴，过点P作交于H，可知，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．方法透视考向解读压轴中档题，选择/解答压轴为主，单/多动点沿正方形边/对角线/对称轴运动，考查线段长、面积、夹角、全等/相似相关量的图像，融合正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等的所有特殊性质，常结合旋转、折叠变式。方法技能①利用正方形的边、角、对角线性质，快速转化动线段（如对角线为边长的2倍）、构造全等/等腰直角三角形；②按动点经过顶点、对角线交点划分阶段，分析“动高/动底”的变化，复杂面积用割补法表示；③关注几何量的特殊临界点（如动点到顶点、对角线交点时），精准确定图像拐点与函数解析式取值范围。变式演练【变式01】（2025·广东潮州·二模）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得．【详解】解：∵正方形的边长为，，，，由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，①当时，，则；②当时，，则；综上，与之间的函数关系式为，根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，故选：A．【变式02】（2025·广东中山·三模）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解．【详解】解：当时，如图，∴，，∴，此时抛物线开口向上．当时，如图，∴，，∵，四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴，此时抛物线的开口向下．综上，选项A符合题意，故选：A．【变式03】（2025·广东河源·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案．【详解】解：两点运动速度相等，两点的运动路程相等，当时，点在上，点在上，如图，

，，，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，如图，

此时，为中点，，，点到的距离为，，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，如图，

此时，，，，，，图象与前一段函数一样，据此判断A正确，故选：A．题●型●训●练1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图1，的边与长方形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与长方形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图2所示，则长方形的面积为（

）A．8 B．10 C．6 D．15【答案】B【分析】本题主要考查了动点问题函数图象，解题的关键是数形结合，求出长方形的长和宽．从图2看，向右平移2个单位时，整体在长方形中，可得到长方形的宽，再向右平移3个单位时，点重合，可得到长方形的长，即可求出长方形的面积．【详解】解：从图2看，向右平移2个单位时，整体正好在长方形中，此时与长方形重叠部分的面积为的面积为且，的面积为，解得：，，再向右平移3个单位时，点重合，故：，长方形的面积为，故选：B．2．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．当时，【答案】A【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，关键是理解题意，熟悉运动的过程，把对应的数据转化为图形中的线段长．观察图象可知，面积最大为，可求得、的长，从而得到的长，进而求出在上运动的时间，即为的值，即可判断A选项的正确性；直接求出在上运动的时间，即为的值，即可判断B选项的正确性；进而计算的值，即可判断C选项的正确性；当时，计算出点运动的路程，从而求得此时的长，根据三角形面积公式求解的面积，即可判断D选项的正确性．【详解】解：由题图可得出当点运动到点且在上运动时，面积最大，结合题图可知，此时，面积最大为，从点到点用了，.此时，，即，，当点从点运动到点时，所用时间为，，故A正确；点运动完整个过程需要的时间，，故B错误；，故C错误；当时，点运动的路程为，此时，此时的面积，故D错误．故选：A．3．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（

）

A．11 B．9 C．12 D．10【答案】D【分析】本题考查了动点问题中的函数图象的应用，勾股定理解三角形，合理分析图象及勾股定理的应用是解题关键．作，由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即，当点P运动到点C时路程为11，即，当点P运动到点B时路程为14，即，再在中，求出，即可求出．【详解】解：如图，作，由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即，当点P运动到点C时路程为11，即，当点P运动到点B时路程为14，即，，，∴，∵，∴四边形为矩形，，，在中，，．故选：D．4．（2025·广东中山·模拟预测）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（）．A．B．当时，的面积是C．当时，D．当时，【答案】C【分析】本题主要考查动点的函数图象、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，从图象中有效的获取信息是解题的关键．由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E，进而得到当时，点P在上运动，，即可判断B；再求出的长，勾股定理求出的长，即可判断A；如图：过点P作于点H，证明，可求，即可判断C；求出时，的长，即可判断D选项．【详解】解：由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E，当时，点P在上运动，，当时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意；∵当时，，∴，解得：，∴，故选项A正确，不符合题意；当时，点P在线段上，则，如图：过点P作于点H，则：，∴，∴，，即，解得：，，故选项C错误，不符合题意；，∴当时，点P在线段上，此时，，，故选项D正确，不符合题意．故选：C．5．（2025·广东深圳·一模）如图1，在中，，一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（

）A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数以及动点问题的函数图象，正确读取图中的信息是解题的关键．先根据函数图象中特殊点的坐标求出直角三角形的边长，再通过三角函数关系求出与相等时对应的点的运动路程，最后根据运动速度求出点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长．【详解】解：当时，，此时点P、Q都在点A处，，，当时，点P从点A运动到点C处，，，，，，由题意得：当时，与的长相等，设长为，则为，，，，，解得：，如图，当点P运动到的中点时，，此时，点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的路程长为：，点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为：秒，故选：C．6．（2025·广东佛山·模拟预测）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____．【答案】6【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是从图中获取信息．连接，过点D作于点G；当点P在线段上运动时，在中，，则，函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；当点P在线段上运动时，S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大；由此得，，由勾股定理求得，再证明，即可求解，【详解】解：如图，连接，过点D作于点G，当点P在线段上运动时，在中，，则，∴函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；当点P在线段上运动时，的长度是先减小，到与点G重合时，达到最小，再增大，与点A重合时达到最大，而，∴S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大，∴结合图象知，，，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，故答案为：6．7．（2025·广东汕头·二模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为____________【答案】【分析】本题考查了动点问题的函数图象，用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先根据当时，求出，再根据当时，，先求得，再利用勾股定理求得，然后利用解直角三角形求得．【详解】解：当时，点在点处，此时，则，当时，，则，，，，故答案为：．8．（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．（1）线段的长为________；（2）在整个运动过程中，的最大值为________．【答案】354【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键．（1）由函数图象得；（2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点，，∴，故答案为：3；（2）由函数图象得，当动点运动到达点后，，当时，，此时，图象如图所示，连接，当点与点重合时，的值最大，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴，∴，作于点，∵，，∴，∴，，∴，∴的最大值为54，故答案为：54．9．（2025·广东清远·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是______．【答案】【分析】分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．【详解】解：作，如图，当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，在中，，在中，，．故答案为：10．（2025·广东韶关·三模）如图，在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为____________．

【答案】2【分析】观察图象可知，P在正方形的边上每运动一周，则的值增加16，（周）……7（单位长度），当时，点位于边四等分点靠近处，再根据图象算出结果．【详解】解：P在正方形的边上每运动一周，则的值增加16，（周）……7（单位长度），当时，点位于边四等分点靠近处，即，，故答案为：2．11．（2025·广东惠州·三模）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则AB的长为__________．【答案】8cm【分析】根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，根据面积公式可求得，再解直角三角形即可得解．【详解】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示，在中，,，又，解得，保留正值，，，在中，，在中，，解得，故答案为8cm．12．（2025·广东茂名·三模）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为_____cm2．【答案】60【分析】根据题意可