初中数学题型专练《函数与几何综合存在性问题》含答案

初中专题14函数与几何综合（存在性问题）内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01二次函数与特殊三角形存在性问题题型02二次函数与特殊四边形存在性问题题型03二次函数与相似三角形存在性问题题型04二次函数与角度存在性问题题型05反比例函数与特殊三角形存在性问题题型06反比例函数与特殊四边形存在性问题第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01二次函数与特殊三角形存在性问题典例引领【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【典例02】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A．(1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式；(2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标；(3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．方法透视考向解读压轴核心题，解答题为主，考查二次函数图象上找动点，使三点构成等腰/直角/等边三角形（等腰、直角为高频），侧重坐标建模、分类讨论与方程思想，常结合勾股定理求解。方法技能①设动点坐标（用x表示，代入二次函数得y），定已知点坐标；②分类讨论：等腰分“三边两两相等”，直角分“三边为斜边”；③用两点间距离公式表示边长，结合勾股定理/斜率垂直（乘积为-1）列方程，求解后检验点在函数图象上。变式演练【变式01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为．(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标．(2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系．(3)连接、，当为何值时？(4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式02】（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G的坐标

【变式03】（2025·广东清远·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．

(1)求的长．(2)求的面积．(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型02二次函数与特殊四边形存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线∶，抛物线的顶点为．(1)求抛物线顶点的纵坐标；（用含的式子表示）(2)若抛物线与轴交于位于原点异侧的两点和，且，若两点间的距离不大于6．①求抛物线的顶点的纵坐标的取值范围；②若抛物线与轴交于点C，的外接圆与轴交于点D，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【典例02】（2025·广东中山·模拟预测）已知抛物线，且无论取何值，抛物线都会经过一个定点．(1)求定点的坐标．(2)连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在二次函数的图象上，求的值．(3)在（2）的条件下，点为抛物线的对称轴上一点，点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．方法透视考向解读压轴难题，解答题最后一问，考查二次函数图象上找动点，使四点构成平行四边形/矩形/菱形/正方形（平行四边形为核心），侧重坐标建模、中点坐标公式与分类讨论。方法技能①设动点坐标，定已知点坐标，明确顶点组合方式（如平行四边形分3种对角线情况）；②利用特殊四边形性质列等式：平行四边形用对角线中点坐标相等，矩形加勾股定理，菱形加邻边相等；③列方程求解坐标，检验点在函数图象上且符合图形特征。变式演练【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标；(3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标．【变式02】（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和．(1)求平移后抛物线的顶点坐标；(2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由；(3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标．【变式03】（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．

(1)求二次函数的解析式；(2)在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标；(3)在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型03二次函数与相似三角形存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离；(3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【典例02】（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由；(3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标．方法透视考向解读压轴难点题，解答题为主，考查二次函数图象上的三角形与已知三角形相似，侧重坐标求边长/角度、相似判定定理（AA/SAS/SSS）与分类讨论对应顶点。方法技能①求关键点坐标，计算已知三角形边长/角度，用坐标表示动点所在三角形的边/角；②分类讨论对应顶点（AA为最常用判定，优先找等角）；③利用相似比例关系列方程，求解动点坐标，舍去不合题意的解。变式演练【变式01】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为．【知识技能】（1）求抛物线的解析式；（2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答：选择1：求面积的最大值；选择2：连接交直线于点，求的最大值；【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似．

【变式02】（2025·广东广州·一模）已知抛物线经过点．(1)求抛物线G的解析式；(2)已知直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线G上一动点，点Q是直线l上一动点，求的最小值；(3)在（2）的条件下，将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，问抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以点C、D、M组成的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【变式03】（2025·广东河源·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断的形状，并说明理由；(3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值．

题型04二次函数与角度存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m．试探究：①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值．②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．【典例02】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．方法透视考向解读压轴创新题，解答题为主，考查二次函数图象上找动点使角度满足特定条件（等角、特殊角、角的倍分/互余），侧重构造直角三角形、三角函数转化、相似三角形应用。方法技能①构造直角三角形：过点作坐标轴垂线，将目标角转化为直角三角形内角；②等角问题转化为三角形相似，特殊角（30°/45°/60°）结合三角函数值列坐标等式；③用坐标表示角的对边/邻边/斜边，列方程求解动点坐标，检验角度条件。变式演练【变式01】（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点为轴上一点，抛物线经过，，三点，点为抛物线的顶点，为第一象限内一动点．过点作轴，垂足为点．已知点到定点的距离与到定直线的距离相等．(1)求抛物线的解析式与点，点的坐标；(2)求证：抛物线必经过点；(3)连接、，当时，求点的坐标．【变式02】（2025·广东广州·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为．(1)求二次函数的解析式；(2)点为内部一个动点，且，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，问的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由；(3)点为二次函数与轴的另一个交点，点为二次函数上一点，若，求点的坐标．【变式03】（2025·广东揭阳·一模）【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义．(1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________(2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值：(3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

题型05反比例函数与特殊三角形存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东韶关·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．(1)求k的值．(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【典例02】（2025·广东汕头·三模）如图，双曲线的图像经过矩形的边的中点，若且四边形的面积为．

(1)求双曲线的解析式；(2)求点的坐标：(3)若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标方法透视考向解读中高档综合题，选择/解答为主，考查反比例函数图象上找动点构成等腰/直角三角形，侧重反比例函数k的几何意义、坐标特征（xy=方法技能①设动点坐标（设x则y=②特殊三角形判定方法，用两点间距离公式表示边长，结合勾股定理列方程；③利用反比例函数xy=k化简方程，求解后检验x≠变式演练【变式01】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的，两点，直线与轴交于点，点的坐标为．(1)求反比例函数的解析式；(2)若，请直接写出的取值范围__________；(3)在轴上有点，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标．

【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点、都在直线上，四边形为平行四边形，点D在x轴上，，反比例函数的图象经过点C．(1)求出m和k的值；(2)将线段向右平移n个单位长度，得到对应线段EF，EF和反比例函数的图象交于点M．①在平移过程中，如图2，求当点M为线段中点时点M的坐标；②在平移过程中，如图3，连接、．若△AEM是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．【变式03】（2025·广东清远·模拟预测）如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数的图象交于点A(2,m)和B(-6,-2)，与y轴交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC:S△ODE＝4:1时，求点P的坐标；(3)点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．

题型06反比例函数与特殊四边形存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．【典例02】（2025·广东梅州·模拟预测）如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．(1)求反比例函数表达式；(2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标；(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围．方法透视考向解读压轴中档题，解答题为主，考查反比例函数图象上找动点构成平行四边形/矩形/菱形（多为平行四边形），侧重反比例函数的中心对称性、中点坐标公式，常结合k的几何意义简化计算。方法技能①设动点坐标（含k/x形式），利用反比例函数②平行四边形优先用中点坐标相等列等式，矩形/菱形结合勾股定理/邻边相等补充条件；③列方程求解坐标，检验x≠0、点在图象上，结合变式演练【变式01】（2025·广东珠海·模拟预测）在平面直角坐标系中，平行四边形的两个顶点、落在反比例函数的图像在第一象限内的一支上，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．(1)如图1，若点，，直接写出、两点的坐标；(2)如图2，分别过点、作两条坐标轴的平行线，轴，分别与轴交于、两点，轴，分别与轴交于、两点，与交于点，与交于点．根据“出入相补”原理，我们知道能使矩形和矩形面积相等的点，一定在矩形的对角线上．记点和点的横坐标分别为、，试从直线经过点的角度验证这个结论；(3)如图3，若直线是一次函数的图像，平行四边形有无可能是菱形？若可能，求出菱形对应的一次函数；若不可能，请简述理由．【变式02】（2025·广东汕尾·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．

(1)求反比例函数的解析式；(2)点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值；(3)如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值．

【变式03】（2025·广东河源·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、．(1)求点坐标；(2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；(3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由．

题●型●训●练1．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（

）A．2 B． C． D．2．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（

）A． B． C． D．3．（2025·广东河源·模拟预测）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（

）A． B． C．或 D．4．（2025·广东汕头·模拟预测）抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确的有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．45．（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为________．6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；(3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．(4)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．8．（2025·广东湛江·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点，顶点为．(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作轴于点M，交于点E，连接，是否存在点P，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2025·广东梅州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．(1)求的值及抛物线的解析式．(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．10．（2025·广东中山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2025·广东潮州·模拟预测）综合运用．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点，，刚好在抛物线的图图象上，连接并延长交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若与关于轴对称，连接，，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由；(3)把抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，，分别是两抛物线的顶点，为直线上的一动点．当是直角三角形时，求点的坐标．12．（2025·广东东莞·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，若点M为直线下方抛物线上一动点，轴交于点N，Q是平面内任意一点，若以M，N，Q，B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标；(3)如图3，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．请直接写出长度的取值范围．

13．（2025·广东肇庆·二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求该抛物线的表达式；(2)点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值；(3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2025·广东汕尾·二模）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．

(1)求抛物线及直线的表达式；(2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值；(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2025·广东云浮·模拟预测）综合探究如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E．(1)求抛物线及直线的函数表达式；(2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值；(3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

专题14函数与几何综合（存在性问题）内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01二次函数与特殊三角形存在性问题题型02二次函数与特殊四边形存在性问题题型03二次函数与相似三角形存在性问题题型04二次函数与角度存在性问题题型05反比例函数与特殊三角形存在性问题题型06反比例函数与特殊四边形存在性问题第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01二次函数与特殊三角形存在性问题典例引领【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．（1）根据待定系数法求解函数解析式即可；（2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解；（3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可．【详解】（1）解：将点，，代入，得，解得，故抛物线的解析式为，对称轴为直线，当时，，故点的坐标为．（2）解：假设平移后的函数表达式为，假设直线所在的函数表达式为，将点，代入，得，解得，故直线所在的函数表达式为，由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点，即方程仅有一个实数解，整理得，故，解得．（3）解：假设点的坐标为，∵，，，∴，，，当为直角的斜边时，，即，解得；当为直角的斜边时，，即，解得；故点的坐标为或．【典例02】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A．(1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式；(2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标；(3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将原点坐标代入求得的值，即可得出了抛物线的解析式；（2）过点B作轴于点D，根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标；（3）根据B点坐标由勾股定理可求，分两种情况讨论：当时；当时，分别求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的解析式为，∵抛物线经过原点，∴，解得，∴∴这个二次函数的解析式为：；（2）解：假设存在点B，过点B作轴于点D，∵的面积等于6，∴，当，，解得：或3，∴，∴，∴，解得：或（舍去），∴点B的坐标为：；（3）解：∵点B的坐标为：，∴，∴，分以下两种情况讨论：当时，过作轴于，∴，∴，∴，设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，则，，即，解得或（舍去），∴在抛物线上存在一点；当时，则，设直线的解析式为，将代入得，，解得，∴直线的解析式为，∴设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴直线的解析式为，令，解得，，将代入，得，∴在抛物线上存在一点；综上所述：抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形，点P的坐标为或．方法透视考向解读压轴核心题，解答题为主，考查二次函数图象上找动点，使三点构成等腰/直角/等边三角形（等腰、直角为高频），侧重坐标建模、分类讨论与方程思想，常结合勾股定理求解。方法技能①设动点坐标（用x表示，代入二次函数得y），定已知点坐标；②分类讨论：等腰分“三边两两相等”，直角分“三边为斜边”；③用两点间距离公式表示边长，结合勾股定理/斜率垂直（乘积为-1）列方程，求解后检验点在函数图象上。变式演练【变式01】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为．(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标．(2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系．(3)连接、，当为何值时？(4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，点的坐标为(2)，且(3)或(4)存在，点的坐标为或【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解；（2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解；（3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值；（4）分、、三种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点．∵，，∴点的坐标为，故抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得，解得，∴抛物线的表达式为，∴顶点的坐标为．（2）解：，且，理由：∵，，∴，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，故直线的解析式为；∵、点，∴，故；∵直线的解析式为，直线的解析式为，故将直线向上平移个单位得到直线，∴，故，且．（3）解：∵，解得，，∴点的坐标为．如图，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点，∴．解得或．（4）解：存在，点的坐标为或．设点，点，，而点，①当时，如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、，∵，，∴，∵，，∴，∴，，即，，解得．当时，，解得，（舍去），∴点．②当时，如图：此时，则点、关于抛物线的对称轴对称，点在抛物线上，由抛物线的对称性可知，点在抛物线上，又点在直线上，点与点重合，此时纵坐标为3，∴点．③当时，当点在抛物线对称轴的右侧时，如图，点在的下方，与题意不符，舍去；当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得，解得（舍去），．故点．综上可得，点的坐标为或．【变式02】（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G的坐标【答案】(1)(2)2(3)或或【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键．（1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；（2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2；（3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵的面积为8，∴，解得，∴，将，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：设直线为，将代入得：，解得，直线为，，，D是中点，，过点P作轴交于点Q，如图：设，则，，，，，时，有最大值，最大值为2；即面积的最大值是2；（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，根据题意，设，∴，，，若是等腰三角形，分三种情况：当时，，则，解得，不合题意，舍去；当时，，则，解得，此时；当时，，则，解得或，此时或，综上，满足条件的点P的坐标为或或．【变式03】（2025·广东清远·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．

(1)求的长．(2)求的面积．(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)7(3)或或或或【分析】（1）先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可得到答案；（2）先求出点C坐标，再求出直线解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解即可；（3）分三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可．【详解】（1）解；，∴，点坐标为点坐标为．将点分别代入中得解得抛物线解析式为．在中，当时，则，解得，点坐标为，∴．（2）解；设直线的解析式为，∴，，．把点代入，得解得直线的解析式为．联立解得；（3）解：∵抛物线解析式为，∴对称轴为直线，∵，∴．设，①当时，，解得，；②当时，，解得或；③当时，，解得或．综上，点的坐标为或或或或．题型02二次函数与特殊四边形存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线∶，抛物线的顶点为．(1)求抛物线顶点的纵坐标；（用含的式子表示）(2)若抛物线与轴交于位于原点异侧的两点和，且，若两点间的距离不大于6．①求抛物线的顶点的纵坐标的取值范围；②若抛物线与轴交于点C，的外接圆与轴交于点D，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①顶点的纵坐标的取值范围为．②存在，的值为．【分析】本题考查了抛物线顶点公式、二次函数与坐标轴交点关系、韦达定理、圆的对称性及平行四边形判定（对边平行且相等或对角线中点重合），解题的关键是准确确定、、、坐标，结合的取值范围（）验证方程解的有效性．（1）用抛物线顶点纵坐标公式直接计算；（2）①由“原点异侧”得，结合求范围，再代入顶点纵坐标表达式求范围；（2）②利用圆的对称性定、坐标，用“对角线中点重合”列方程，筛选出符合范围的解．【详解】（1）解：对于抛物线，顶点纵坐标公式为已知，，，代入得：故答案为：．（2）①解：∵抛物线与轴交于原点异侧的两点、，∴，即，得；∴，则，代入得：∵，∴，即，解得；结合，得∵，且在上随增大而减小，当时，；当时，；故顶点的纵坐标的取值范围为．②解：点：抛物线与轴交点，令，得，故；点：外接圆的圆心，、在轴上，故的横坐标为中点横坐标，设；由（半径相等），得，化简得，故；点：与轴的另一交点，轴上、的中点纵坐标等于的纵坐标，即（为的纵坐标），解得，故；点：抛物线顶点，故四边形的对角线为与，若为平行四边形，则两对角线中点坐标相等．中点横坐标：DP与CQ的中点横坐标均为，已相等；中点纵坐标相等：两边同乘消分母：展开并化简：，即用求根公式（，，），得：当时，，故，满足；当时，，不满足，舍去．故存在四边形为平行四边形，的值为．答：存在，的值为．【典例02】（2025·广东中山·模拟预测）已知抛物线，且无论取何值，抛物线都会经过一个定点．(1)求定点的坐标．(2)连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在二次函数的图象上，求的值．(3)在（2）的条件下，点为抛物线的对称轴上一点，点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据“无论取何值，抛物线都会经过一个定点”，由可得的系数等于，可得结论；（2）如图，过点作轴于点，作轴于点，得，，根据旋转的性质得，，证明，得，，继而得到，再根据函数图象上点的坐标特征即可求出的值；（3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的对角线相等且互相平分列出方程组求解即可。【详解】（1）解：∵，又∵无论取何值，抛物线都会经过一个定点，∴，解得：，∴，∴定点的坐标为；（2）如图，过点作轴于点，作轴于点，∴，∵，∴，，∵将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵点在二次函数的图象上，∴，解得：，即的值为；（3）存在，理由：当时，该抛物线的解析式为，对称轴为（如上图），设，，∵，，∴，当为对角线时，则：，解得：，此时点的坐标为或；当为对角线时，则：，解得：，此时点的坐标为；当为对角线时，则：，解得：，此时点的坐标为；综上所述，当点的坐标为或或或时，以，，，为顶点的四边形是矩形方法透视考向解读压轴难题，解答题最后一问，考查二次函数图象上找动点，使四点构成平行四边形/矩形/菱形/正方形（平行四边形为核心），侧重坐标建模、中点坐标公式与分类讨论。方法技能①设动点坐标，定已知点坐标，明确顶点组合方式（如平行四边形分3种对角线情况）；②利用特殊四边形性质列等式：平行四边形用对角线中点坐标相等，矩形加勾股定理，菱形加邻边相等；③列方程求解坐标，检验点在函数图象上且符合图形特征。变式演练【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标；(3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标．【答案】(1)；(2)G点坐标为或(3)Q点坐标为或【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键．（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可；（3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，．【详解】（1）解：将点，代入中，∴，解得，∴；∵，∴；（2）解：∵轴，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∴或，当时，设直线的解析式为，把，代入解析式得，解得，∴直线的解析式为，联立方程组，解得或，∴；当时，同理可得直线的解析式为，联立方程组，解得或，∴；综上所述：G点坐标为或；（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵轴，∴关于直线对称，∵线段为对角线作正方形，∴轴，且P、Q点在对称轴上，∴Q点横坐标为2，，设，则，，∴，，∵，∴，解得或，当与时，；当与时，．综上所述：Q点坐标为或．【变式02】（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和．(1)求平移后抛物线的顶点坐标；(2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由；(3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平行线的性质．（1）设平移后的函数解析式为，将点和代入，即可求函数的解析式；（2）根据所给的条件求出，，再求出M、N与对称轴的距离的关系为，，即可得到；（3）设，则，，当时，当时，，求得；当时，，求得；当时，当时，，求得．【详解】（1）解：设平移后的函数解析式为，将点和代入，∴，解得，∴，∴顶点为；（2）解：，理由如下：∵，，∴，，解得，，∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，到对称轴距离越近值越大，∵M、N与对称轴的距离的关系为，，∴，∴；（3）解：设，则，，当时，设直线的解析式为，代入，得，解得，∴直线的解析式为，同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，解得，∴；当时，，解得或（舍），∴；当时，当时，，解得，∴；当时，，解得，，不合题意；综上所述：P点坐标为或．【变式03】（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．

(1)求二次函数的解析式；(2)在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标；(3)在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分和两种情况，进行讨论求解即可；（3）分四边形为菱形和四边形为菱形，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于、两点，把、代入，得，解得，；（2）解：∵，∴当时，，∴，轴，，，，是直角三角形，当时，则：，，∴关于对称轴对称，抛物线的对称轴为，，此时点的坐标为，当时，设的解析式为，把，代入，得，解得，，设点，则，，则：，，，，，∴，，，，，则，即，解得，（此时点和点重合，故舍去），点；综上或；（3）存在，或；如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为；设点，，；四边形为菱形，，即，则，由（2）知，此时，，∵，∴，∴，，即如下图所示：如图：依题意，当四边形为菱形时点，，，，即，∴，，，解得，（舍去），，；综上或．题型03二次函数与相似三角形存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离；(3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点到直线的距离(3)存在，点的坐标为或或【分析】（）求出直线的解析式，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求解；（）过点作轴的平行线交于点，作于点，由平行线的性质可得，进而得到，设，则，可得，再根据锐角三角函数的定义解答即可求解；（）当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，可得；当点在轴下方时，分和两种情况，利用相似三角形和二次函数的性质解答即可求解；【详解】（1）解：把代入，得，∴把代入得，，∴，∴一次函数，把代入，得，∴∴，把和代入得，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：过点作轴的平行线交于点，作于点，则，∵，，∴，∴，∴，设，则，∴，∴；（3）解：存在，理由如下：①当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，此时点与点关于抛物线对称轴对称，∵抛物线的对称轴为直线，∴；②当点在轴下方时，（）当时，，则，由勾股定理得，，又∵，∴，过点作轴于点，如图，∵，，∴，∴，，，，，∴，，，∴，∴点的横坐标为，∵点在抛物线上，，根据点的对称性，当点在第三象限时，符合条件的点，∴点的坐标为：或；（Ⅱ）当时，如图，则直线，∴可设直线的表达式为，把代入得，，∴，∴直线的解析式为，联立函数解析式，得，解得或（不合，舍去）∴，∴，∵，，∴，∴，，为顶点的三角形与不相似，故舍去，同理的对称点同样不合；综上，点的坐标为或或．【典例02】（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由；(3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标．【答案】(1)；(2)与相切，见解析；(3)点的坐标为或．【分析】本题考查的是待定系数法求抛物线解析式，判定直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质；掌握切线的判定方法，作出合适的辅助线以及熟记相似三角形的判定与性质是解题关键．（1）将点坐标代入表达式，求解即可；（2）先求出抛物线的顶点坐标，后过点作轴于点，证明即可；（3）由于相似三角形对应点尚不明确，所以分两种情况讨论，再根据相似三角形的性质即可求出坐标．【详解】（1）解：抛物线过点，，解得抛物线的解析式为．（2）与相切，理由：如图（1），令，解得，．，，又，，过点作轴于点．抛物线的对称轴为直线，顶点．，，，又为直径，与相切．（3）如图（2）：设抛物线对称轴与轴交于点，则．，且点在抛物线对称轴上．若与相似，则分以下两种情况：当时，点与点重合，当时，如图（2），，，．点的坐标为或．方法透视考向解读压轴难点题，解答题为主，考查二次函数图象上的三角形与已知三角形相似，侧重坐标求边长/角度、相似判定定理（AA/SAS/SSS）与分类讨论对应顶点。方法技能①求关键点坐标，计算已知三角形边长/角度，用坐标表示动点所在三角形的边/角；②分类讨论对应顶点（AA为最常用判定，优先找等角）；③利用相似比例关系列方程，求解动点坐标，舍去不合题意的解。变式演练【变式01】（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为．【知识技能】（1）求抛物线的解析式；（2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答：选择1：求面积的最大值；选择2：连接交直线于点，求的最大值；【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似．【答案】（1）抛物线的解析式为（2）选择1：面积的最大值为；选择2：的最大值；（3）当或时，和相似．【分析】本题考查的是二次函数与图形的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定综合．（1）已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点坐标，可利用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求解；（2）选择1：要求面积的最大值，可通过设点P坐标，将的面积表示为关于点P横坐标的函数，再根据D函数性质求最大值．选择2：求的最大值，可通过设点P坐标，利用相似三角形的性质将表示为关于点P横坐标的函数，再求最大值；（3）要求使得和相似的点M的坐标，需要先求出相关线段的长度和角度，再根据相似三角形的性质分情况讨论求解．【详解】解∶（1）顶点为，设抛物线的解析式为．将点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q，抛物线的解析式为，交轴于点，时，．．设直线的解析式为，将，代入，得，解得直线的解析式为．设，则，．，．，，当时，面积为最大值，最大值为．选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q，设，由“选择1”可得，，轴，．又，．．，，当时，取得最大值，最大值为．(3)画出示意图如图3，，直线的解析式为，，．交抛物线于点E，可设，其中．，．．轴平分．∴点E关于x轴对称的点在直线上，，其中，解得，(舍去)，此时．分类讨论如下∶设，当时，．，顶点，．．又，，，，解得，(舍去)∴．此时；当时，，即．解得，(舍去)，∴此时．综上，当或时，和相似．【变式02】（2025·广东广州·一模）已知抛物线经过点．(1)求抛物线G的解析式；(2)已知直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线G上一动点，点Q是直线l上一动点，求的最小值；(3)在（2）的条件下，将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，问抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以点C、D、M组成的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）平移直线l至，使与抛物线唯一交点，令唯一交点坐标为，过点P作，交l于点Q，过点P作轴，与直线l相交于点，此时有最小值，先求出，则；再求出，，得到，证明，解直角三角形可得，；（3）可得，平移后的抛物线对称轴为直线则；再分，且时，有，，且时，有，时，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：将点代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）解：如图所示：平移直线l至，使与抛物线有唯一交点，令唯一交点坐标为，过点P作，交l于点Q，过点P作轴，与直线l相交于点，此时有最小值，设，联立方程组，整理得①，当，得，把代入①解得，，∴，把代入直线l解析式得：，即，把代入直线l解析式得：，即，∴，∵轴，∴，，即，，解得，；（3）解：∵原抛物线解析式为，原抛物线的顶点坐标为，将抛物线G向左平移t个单位得到抛物线，顶点为D，∴，平移后的抛物线对称轴为直线，∴；∵，，∴当，且时，有，∵，∴，∴，解得或；当，且时，有，∵，∴，∴，解得或（舍去）；如图所示，当时，设直线与y轴交于H，∴此时有，∵，∴，∴，∴此时与相似，即有或，∴或，即此时情形与时t的值相同．综上所述：当与相似时，或或．【变式03】（2025·广东河源·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断的形状，并说明理由；(3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值．【答案】(1)(2)等腰三角形，见解析(3)【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论；（2）点是抛物线在第一象限内的一动点，于是得到，求得，根据勾股定理得到，，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形；（3）根据是等腰三角形，当与相似时，得到是等腰三角形，求得或，当时，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，延长交于，求得，解方程得到；当时，如图，同理；于是得到结论．【详解】（1）抛物线与轴交于点，且经过点，，，该抛物线的解析式为；（2）是等腰三角形，理由：点是抛物线在第一象限内的一动点，，，过点作轴的平行线，交轴于点，，，，，是等腰三角形；（3）过点作轴的平行线，交抛物线于点，，是等腰三角形，当与相似时，是等腰三角形，或，当时，过作轴于，，，∴，，，延长交于，，，，，，或（不合题意舍去），；当时，如图，同理；综上所述，当与相似时，的值为．题型04二次函数与角度存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m．试探究：①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值．②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)①当时，的值最大，最大值为；②能，【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点．求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解；②设直线与x轴的交点为点D，作的外接圆与直线位于x轴下方的部分的交点为，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．在中，由勾股定理得的长，可得．由对称性得．【详解】（1）把代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为；（2）①由三角形的三边关系可知，，∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度，∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点．解，得，∴．当时，，∴，则有，，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，∵抛物线的对称轴为直线，∴点，∵点P在直线上，，∴当时，的值最大，最大值为；②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，，都是所对的圆周角，，且射线上的其他点P都不满足，∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上，∴点E的横坐标为2，又，∴圆心E也在边的垂直平分线上，∵，，∴线段的中点坐标为，设边的垂直平分线解析式为，∴，∴，∴边的垂直平分线解析式是，，在中，，由勾股定理得，，，，由对称性得，∴符合题意的点P的坐标为．【典例02】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．【答案】(1)；(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为；(3)存在，坐标为或．【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；（）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案；（）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得【详解】（1）解：把，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为．（2）解：设，轴，H在直线上，，；在中，令得，令得，，，，，轴，，，是等腰直角三角形，，，，，当时，取最大值，最大值为，此时，的周长的最大值为，此时点P的坐标为．（3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下：当在轴上方时，延长，交于，如图：在中，令得或，，由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，新抛物线函数表达式为，把代入得：，解得舍去或，新抛物线函数表达式为，在中，令得或，，由，可得直线函数表达式为，设，，，，，，，解得，，由，可得直线函数表达式为，联立，解得或，；当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，由，得直线函数表达式为，联立，解得或，；综上所述，的坐标为或．方法透视考向解读压轴创新题，解答题为主，考查二次函数图象上找动点使角度满足特定条件（等角、特殊角、角的倍分/互余），侧重构造直角三角形、三角函数转化、相似三角形应用。方法技能①构造直角三角形：过点作坐标轴垂线，将目标角转化为直角三角形内角；②等角问题转化为三角形相似，特殊角（30°/45°/60°）结合三角函数值列坐标等式；③用坐标表示角的对边/邻边/斜边，列方程求解动点坐标，检验角度条件。变式演练【变式01】（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点为轴上一点，抛物线经过，，三点，点为抛物线的顶点，为第一象限内一动点．过点作轴，垂足为点．已知点到定点的距离与到定直线的距离相等．(1)求抛物线的解析式与点，点的坐标；(2)求证：抛物线必经过点；(3)连接、，当时，求点的坐标．【答案】(1)；，(2)见解析(3)【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，解直角三角形，两点距离公式；（1）已知抛物线顶点坐标，可设抛物线的顶点式，再把代入顶点式求出，进而得到抛物线解析式，再令求出点坐标，令求出点坐标；（2）设，根据点到定点的距离与到定直线的距离相等，用距离公式，即可得证．（3）连接，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，根据得出的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线进而求得点的坐标，即可求解．【详解】（1）∵抛物线顶点坐标，设∵抛物线过原点，∴解得：∴抛物线解析式为令，即，，解得或∴当时，，则∴，（2）设，∵已知点到定点的距离与到定直线的距离相等．则∴整理得，∴∴抛物线必经过点；（3）解：如图，连接，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，当时，，则∵，∴，∴∴又∵∴是等腰直角三角形，则∵又∵∴∴∴∴设直线的解析式为代入，∴解得：∴直线的解析式为联立

解得：或∴【变式02】（2025·广东广州·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为．(1)求二次函数的解析式；(2)点为内部一个动点，且，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，问的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由；(3)点为二次函数与轴的另一个交点，点为二次函数上一点，若，求点的坐标．【答案】(1)(2)的距离为定值(3)或【分析】（1）利用待定系数法和对称轴计算公式计算求解即可；（2）由轴对称的性质可得，则都在以A为圆心，半径为3的圆上；可证明，进而可证明，则，即的距离为定值；（3）取点，连接，可证明，得到，则可证明；当点Q在点B右侧时，可证明；求出直线解析式为，则直线解析式为，联立，解得或，则点的坐标为；取，连接，则，可证明，得到，则可求出的坐标为；【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为，∴，∴，∴二次函数解析式为；（2）解：由轴对称的性质可得，∴都在以A为圆心，半径为3的圆上；∵，∴，又∵，∴，设直线交于J，由轴对称的性质可得轴，∴，∴，∴，如图所示，在优弧上取一点K，连接，∴，∴，∴，∴的距离为定值；（3）解；如图所示，取点，连接，在中，当时，解得或，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；如图所示，当点Q在点B右侧时，∵，∴；设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，∴可设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得或，∴点的坐标为；如图所示，取，连接，则，∵，∴，又∵，∴，∴，同理可得直线解析式为，联立，解得或，∴的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或．【变式03】（2025·广东揭阳·一模）【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义．(1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________(2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值：(3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，；(2)(3)存在，或【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，即二次函数的解析式为；当时，求x的值，当时求出y的值，进而确定点B、C的坐标；则求得（2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，从而表示出N的坐标，进而表示出的关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答；（3）①如图1：在上截取，作，连接，先说明与抛物线的交点符合条件，再求出直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，由解得，进而确定点E的坐标；如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，易得直线的解析式为：；进而得到，即，设，则，解得：，即；由待定系数法可得直线BG的解析式为，则解得，进而求得点的坐标．【详解】（1）解：∵在实数范围内与都有意义，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，令，即，解得：或，∴，令，即，即．故答案为：1，．（2）解：设直线的表达式为，代入，，得，解得：直线的解析式为：，设，轴，∴轴，，∵，∴，，，当时，．（3）解：①如图1：在上截取，作，连接，，，，，，，，与抛物线的交点符合条件，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，将点代入可得，解得：，直线的解析式为：，由，解得：（舍去）或，当时，，；②如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，，，，即，设，即，解得：．运用待定系数法可得：直线的解析式为，∴，解得：（舍去）或，当时，，．综上所述：或．题型05反比例函数与特殊三角形存在性问题典例引领【典例01】（2025·广东韶关·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．(1)求k的值．(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)10(2)存在，或或或或【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程；（1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可；（2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可．【详解】（1）对于，当时，．∴，∴，设点B的横坐标为t，则∵，∴，解得．∴，把代入中，得∴．（2）由（1）得，则反比例函数解析式为，联立，解得或，∴，．设，则，，．①若，即，∴，解得．此时点E的坐标为．·②若，即，∴，解得，此时点E的坐标为或，③若，即，∴，解得，此时点E的坐标为或，综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形．【典例02】（2025·广东汕头·三模）如图，双曲线的图像经过矩形的边的中点，若且四边形的面积为．

(1)求双曲线的解析式；(2)求点的坐标：(3)若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标【答案】(1)(2)当时，；当时，(3)点的坐标为或【分析】（1）如图所示，连接，设矩形的长，宽，可得的坐标，分别表示出的面积，根据，，可求出点横坐标，纵坐标的关系，代入反比例函数解析式即可求解；（2）设，可得，在中，根据勾股定理可的的关系，联立方程即可求解；（3）根据题意，分类讨论，以为底，作的垂直平分线，运用相似三角形求出与轴的交点，由此即求出的直线解析式，再根据与轴的交点，图形结合即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，设矩形的长，宽，

∴，，，∵分别是边中点，∴，，∴，，，∴，∵，∴，即，则∵点在反比例函数图像上，且反比例函数图像在第一象限，∴，∴，∴，∴双曲线的解析式为．（2）解：设，∵，∴∴①，在中，根据勾股定理得：，即②，联立①②解得：或，当时，；当时，．（3）解：①当时，以为底边的等腰三角形，∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，

∵，，∴点的横坐标为，纵坐标为，即，且，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，设所在直线的解析式为，，，∴，解得，，∴直线的解析式是为，∵直线与轴交于点，∴令，得，∴点的坐标为；②当时，以为底边的等腰三角形，∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，

∴，，，，，∴，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，设所在直线的解析式为，，，∴，解得，，∴直线的解析式是为，∵直线与轴交于点，∴令，得，∴点的坐标为；综上所述，点的坐标为或．方法透视考向解读中高档综合题，选择/解答为主，考查反比例函数图象上找动点构成等腰/直角三角形，侧重反比例函数k的几何意义、坐标特征（xy=方法技能①设动点坐标（设x则y=②特殊三角形判定方法，用两点间距离公式表示边长，结合勾股定理列方程；③利用反比例函数xy=k化简方程，求解后检验x≠变式演练【变式01】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的，两点，直线与轴交于点，点的坐标为．(1)求反比例函数的解析式；(2)若，请直接写出的取值范围__________；(3)在轴上有点，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）先将点代入一次函数，得出，再代入反比例函数解析式，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据函数图象进行判断即可求解；（2）根据题意分类讨论，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质分析即可求解．【详解】（1）解：∵点在上，∴，∴，∵在上．∴，∴反比例函数的解析式为：（2）解：根据函数图象可知当时，；故答案为：．（3）解：∵，∴，当时，或，当时，如图1，过作于，∵，∴，∴，当时，如图2，过作于，∴，，∴，∵，∴∴，∴综上所述：点的坐标为：或或或【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点、都在直线上，四边形为平行四边形，点D在x轴上，，反比例函数的图象经过点C．(1)求出m和k的值；(2)将线段向右平移n个单位长度，得到对应线段EF，EF和反比例函数的图象交于点M．①在平移过程中，如图2，求当点M为线段中点时点M的坐标；②在平移过程中，如图3，连接、．若△AEM是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．【答案】(1)、(2)①；②或【分析】（1）利用待定系数法和平行四边形的性质求解即可；（2）①设点F的坐标为、则点，则点M的坐标为，代入反比例函数解析式中求解即可；（3）当为直角时，利用勾股定理求解即可；为直角时，证明，，点M的坐标为，代入代入反比例函数表达式中求得，，进而由，利用得到，进而求解即可．【详解】（1）解：将点A的坐标代入直线表达式得：，解得，故直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得：，故点B的坐标为，∵四边形为平行四边形，∴，又点D在x轴上，故点C的坐标为，将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，故反比例函数的表达式为，故，；（2）解：①连接，则，平移时，∵，，∴点E、F的横坐标差1，故设点F的坐标为、则点，则点M的坐标为，将点M的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，故；②当为直角时，即，设点E的坐标为，则点，在中，，即，解得，故点E的坐标为，则；当为直角时，过点M作轴交于点T，∵，，∴，∵，，∴，同理可得：，∴，故设，则，故点M的坐标为，将点M的坐标代入反比例函数表达式得：，解得（舍去）或，故点M的坐标为，则，，由点得，∵，∴，即，∴，即．解得，综上，或．【变式03】（2025·广东清远·模拟预测）如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数的图象交于点A(2,m)和B(-6,-2)，与y轴交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC:S△ODE＝4:1时，求点P的坐标；(3)点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．【答案】(1)y=x+4，(2)(3)(0,−2)或(0,−8)【分析】(1)根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出k1、k2的值；(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出S四边形ODAC的值，进而即可得出S△ODE的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP的解析式，再联立直线OP与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；(3)分∠CMB=90°或∠CBM=90°两种情况考虑，当∠CMB=90°时，根据点B的坐标即可找出点M的坐标；当∠CBM=90°时，由直线AB的解析式可得出△BCM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A、B的坐标即可得出点M的坐标，综上即可得出结论．【详解】（1）解：将点B(−6,−2)代入y1=k1x+4，−2=−6k1+4，解得：k1=1，故一次函数的解析式为；y=x+4将点B(−6,−2)代入①，，解得：k2=12，故反比例函数的解析式为；（2）解：依照题意，画出图形，如图2所示．当x=2时，m=2+4=6，∴点A的坐标为(2,6)；当x=0时，y1=x+4=4，∴点C的坐标为(0,4)，∵，S四边形ODAC:S△ODE＝4:1，∴，∴DE=2.5，即点EE的坐标为(2,2.5)，设直线OP的解析式为y=kx，将点E(2,2.5)代入y=kx，得2.5=2k，解得：，∴直线OP的解析式为，，解得：，，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为；（3）解：依照题意画出图形，如图3所示．当∠CMB=90°时，轴，∴点M的坐标为(0,−2)；当时，∵B(-6,-2)，C(0,4)，，∴∠BCM=45°，∴△BCM为等腰直角三角形，BC=BM，∴，∴点M的坐标为(0,−8)，综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为(0,−2)或(0,−8)．