2025-2026学年广州理工实验学校九年级下学期第一次检测数学试题含答案

初中广州理工实验学校2025-2026学年第二学期九年级第一次学业素养评估数学（问卷）满分：120分考试时间：120分钟一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意）1.下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（）A. B. C. D.2.中芯国际在2025年春季宣布成功研制出全球首个芯片，已知为米，用科学记数法表示为（）米A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.4.若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A.6 B.7 C.8 D.95.在中，，，则的值是（）A. B. C. D.6.一副直角三角板如图放置，若，则的度数为（）．A. B. C. D.7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A.若，则是菱形 B.若，则是矩形C.若，则是正方形 D.若，则是正方形8.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（）A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为B.当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于D.若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小9.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A.2π﹣4 B.4π﹣8 C.2π﹣8 D.4π﹣410.如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.实数16的平方根是________．12.若分式的值为0，则实数的值为__________．13.已知一组数据的平均数是5，则数据，，，的平均数是__．14.“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______．15.如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为_______．16.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______．三、解答题（共9小题；满分72分）17.计算：18.如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．19.已知．（1）化简；（2）若是不等式组的整数解，选择一个合适的代入，并求出此时的值．20.某校为了解七、八两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况，决定从七、八年级各随机抽取20名学生进行消防安全知识测评（满分10分，得分为整数），成绩统计如图；七年级20名学生成绩分数（分）人数（人）62758596102（1）七年级随机抽取的20名学生成绩的中位数是_________；（2）请补全条形图：（3）若从七、八年级满分的学生中随机抽取两名做学习分享，求抽到的这两名学生都是七年级的概率．21.如图，一次函数与函数为的图象交于两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．22.如图，在中，．（1）尺规作图：以为直径作，连接并延长，分别交于，两点（点位于右侧，点位于左侧）；（2）连接，，求证：；（3）若，，求的值．23.［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．［模型应用］（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．24.在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点．（1）观察猜想如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________．（2）类比探究如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）拓展应用当，且时，若，请直接写出的值．25.已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．（1）求点A的坐标；（2）若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；（3）在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．

广州理工实验学校2025-2026学年第二学期九年级第一次学业素养评估数学（问卷）满分：120分考试时间：120分钟一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意）1.下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可．【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C，故选：C．2.中芯国际在2025年春季宣布成功研制出全球首个芯片，已知为米，用科学记数法表示为（）米A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：，米，故选：A．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式加减运算与幂的运算，需根据对应运算法则判断各选项是否正确．【详解】选项A：​和不是同类二次根式，不能相加得到，A错误．选项B：(a选项C：，C正确．选项D：和不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，D错误．4.若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），可得方程180°（n﹣2）=1080°，解得：n=8．故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程．5.在中，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意，画出图形，设，，由勾股定理求得，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】解：如图，∵中，，，设，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6.一副直角三角板如图放置，若，则的度数为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角板的角度、平行线的性质，三角形内角和定理的应用，根据平行线的性质得出，进而根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，故选：D．7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A.若，则是菱形 B.若，则是矩形C.若，则是正方形 D.若，则是正方形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答．【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项错误；B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项正确；C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误；D、符合题意由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误；故选：B．8.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（）A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为B.当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于D.若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可．【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意；B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意；D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；故选：C9.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A.2π﹣4 B.4π﹣8 C.2π﹣8 D.4π﹣4【答案】A【解析】【详解】如图，连接OC.∵C是弧AB的中点，∠AOB＝90°，∴∠COB＝45°，∵四边形CDEF是正方形，且其边长为2∴∠ODC＝90°,CD=2∴在Rt△ODC中，OD=CD=2，OC==4∴S阴影＝S扇形OBC－S△ODC＝-×(2)²=2π－4，故选A.10.如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【详解】试题解析：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG=90°，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.实数16的平方根是________．【答案】【解析】【分析】根据平方根的定义：若一个数的平方等于（即），则叫做的平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根．据此解答即可．【详解】解：∵，∴实数的平方根是．12.若分式的值为0，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零列出不等式组求解即可．【详解】解：分式的值为0，则有．解方程，得或．当时，分母，分式无意义，故舍去．因此．故答案为：．13.已知一组数据的平均数是5，则数据，，，的平均数是__．【答案】8【解析】【分析】由的平均数是5得，再根据平均数的计算公式计算数据，，，的平均数即可．【详解】解：的平均数为5，，，，，的平均数，故答案为：8．【点睛】本题考查的是算术平均数，解决本题的关键是掌握平均数的计算方法．14.“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______．【答案】【解析】【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，所以两人恰好选择同一场馆的概率，故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．15.如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为_______．【答案】【解析】【分析】连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得．本题考查圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．【详解】解：连接，如图，，为的直径，即，，设该圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得，即该圆锥的底面圆的半径为．故答案为：．16.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______．【答案】【解析】【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果．【详解】解：∵矩形，∴，∵翻折，∴，当点在矩形内部时，作，交于点，则：，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴点在以为直径的圆上运动，∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，∴点的运动路径长为：；当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点，同法可得：，，∴，点在以为直径的上运动，连接，当点运动到点时，如图：∵，，∴，∴，∴，∵折叠，∴，∴，∴，∴，∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为，∴点的运动路径总长为：；故答案为：【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键．三、解答题（共9小题；满分72分）17.计算：【答案】6【解析】【分析】首先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和三角函数的计算法则求出各式的值，然后进行求和．【详解】解：原式【点睛】本题考查了余弦，绝对值，负整数指数幂，零指数幂等知识．解题的关键在于正确的计算．18.如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，，∵E，F分别是，的中点，，，，∴四边形是平行四边形，．19.已知．（1）化简；（2）若是不等式组的整数解，选择一个合适的代入，并求出此时的值．【答案】（1）（2）当时，的值为1【解析】【分析】（1）先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算即可；（2）先解不等式组，再从解集中选择一个合适的值代入进行计算即可得到答案．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，解得：，解得：，不等式组的解集为：，由题意可得，不能取1，，，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式组，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．20.某校为了解七、八两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况，决定从七、八年级各随机抽取20名学生进行消防安全知识测评（满分10分，得分为整数），成绩统计如图；七年级20名学生成绩分数（分）人数（人）62758596102（1）七年级随机抽取的20名学生成绩的中位数是_________；（2）请补全条形图：（3）若从七、八年级满分的学生中随机抽取两名做学习分享，求抽到的这两名学生都是七年级的概率．【答案】（1）8（2）作图见解析（3）【解析】【分析】本题考查了条形统计图，求中位数，画树状图求概率等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．（1）根据中位数的定义，计算即可；（2）计算出，作图即可；（3）画出树状图进行计算即可．【小问1详解】解：由表格得，20人成绩按从小到大排列，第10、11人成绩均为8分，则中位数：，故答案为：8．【小问2详解】解：（人），作图如下：【小问3详解】解：设七年级两位满分同学是A、B，八年级两位满分同学是C、D，画树状图如图所示，，∴抽到的这两名学生都是七年级的概率为．21.如图，一次函数与函数为的图象交于两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．【答案】（1），（2）（3）点P的坐标为或【解析】【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．【小问1详解】解：将代入，可得，解得，反比例函数解析式为；在图象上，，，将，代入，得：，解得，一次函数解析式为；【小问2详解】解：，理由如下：由（1）可知，当时，，此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，即满足时，x的取值范围为；【小问3详解】解：设点P的横坐标为，将代入，可得，．将代入，可得，．，，整理得，解得，，当时，，当时，，点P的坐标为或．【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．22.如图，在中，．（1）尺规作图：以为直径作，连接并延长，分别交于，两点（点位于右侧，点位于左侧）；（2）连接，，求证：；（3）若，，求的值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意作出图即可；（2）由为的直径，得到，由，得到，从而得到，又由即可得到；（3）在中，，得到，即可得到，从而得到为等边三角形，再根据三角形的外角得到，即，作交于，根据三角函数即可求得的长，根据勾股定理可求出的长，最后即可得到答案．【小问1详解】解：根据题意画出图如图所示：；【小问2详解】解：如图所示：，为的直径，，，，，，，；【小问3详解】解：在中，，，，，，为等边三角形，，，，作交于，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，尺规作图，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键．23.［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．［模型应用］（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论；（3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论．【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，设直线的解析式为，，，扣杀球击球路线的函数表达式为；设网前吊球击球路线的函数表达式为，，，网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）令，则，，，，，．故答案为：；（3）对于，令，则，，，，，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，（秒，乙不能接到扣杀球的击球．从点击球，击球点是抛物线的最高点，，，，，乙能接到网前吊球的击球．24.在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点．（1）观察猜想如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________．（2）类比探究如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）拓展应用当，且时，若，请直接写出的值．【答案】（1）（2）图见解析；不成立，，证明见解析（3）或．【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；（2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理