北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三综合练习（二）数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三综合练习（二）数学一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知全集U=−2,−1,0,1,2，A=x∈Ux>−1，则∁UA.−2 B.−2,−1 C.−2,−1,0 D.−1,02.在复平面内，复数12−i2的共轭复数对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知cos2α=−35，则cosA.±55 B.±1054.已知函数y=x2+4x与y=x2A.−2 B.−12 C.125.在平面直角坐标系xOy中，抛物线E:y2=4x的焦点为F，点A在抛物线E上，AB⊥x轴，垂足为B.若FB=2OFA.2 B.23 C.4 6.某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成(如图1).运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选取一点P作为起跑点，沿直线PQ加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即PQ与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系(如图2).若OA=40，PQ=9，则直线PQ的方程为(

)

A.40x+9y−1640=0 B.40x−9y−1640=0

C.9x+40y−369=0 D.9x−40y−369=07.已知非零实数x，y满足2x=3yA.x−y B.3x−2y C.xy D.8.已知a，b，c，d均为正实数，则“a+b>c+d”是“a2+b2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数y=Fx的部分图象如图所示，若Fx=fxgx，则fA.fx=sin2x,gx=sinx 10.已知平面向量e1,e2,e3为不全相等的单位向量，e1⋅e2=A.当x>y时，z<0 B.当x=y时，z=0

C.存在a，使得x=y=z二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.二项式x−2x5的展开式中，含x项的系数为

12.已知an为等比数列，a1=1，a3=4.若a2>a1，则a4=

13.已知双曲线x24−y2m2=1与14.在三棱锥P−ABC中，AB=6，BC=8，AC=10．(1)若PA⊥平面ABC，PA=3，则三棱锥的体积为

；(2)若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为

．15.已知无穷数列an与bn都不是常数列.①设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，若an②设等比数列an，bn的公比分别为q1，q2，若an③设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，且d1>0，d2>0，若④设等比数列an，bn的公比分别为q1，q2，且q1>1，q2其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，cosC=15，(1)求cosA(2)若a=5，求▵ABC的面积．17.如图，在几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ACEF，AC⊥AB，AC⊥AF，AC//EF，AB=AC=2EF=2，DA=DC，M为BC中点，点B，D在直线AC两侧．(1)求证：DM⊥平面ACEF；(2)已知AF=6，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得几何体ABCDEF存在，求平面CDE与平面条件①：DC⊥BF；条件②：DE=3条件③：点D到平面ACEF的距离为3注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品A，B的收益数据(单位：万元)，如下表：门店产品12345678A5.87.28.59.511.211.912.913.7B3.75.77.99.613.215.117.919.5用频率估计概率．(1)从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率；(2)从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益的门店个数，求X的分布列及数学期望EX(3)这8个门店中，设门店ii=1,2,⋅⋅⋅,8的产品A，B的收益分别为xi，yi，记ai=13xi+23yi，bi=23xi+13yi，ci=12xi+12yi，数据a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8的方差为sa219.已知椭圆W：x2a2+y2(1)求椭圆W的方程；(2)已知点Aa,0，T0,tt≠±1.设直线x=a分别与直线y=b，y=−b交于点M，N，直线MT与直线y=−b交于点P，直线NT与直线y=b交于点Q，直线AT交椭圆W于另一点R，求证：P，Q20.已知函数fx=lnx，gx=ax2+b.当m>0时，曲线y=fx在点m,fm处的切线为(1)求a的值；(2)当b>−32时，求证：l1与l(3)已知b>0，l1与y轴交于点A，l2与x轴交于点B.若存在m∈0,e(e为自然对数的底)，使得OA21.已知集合A=1,2,⋅⋅⋅,nn≥2，M=x,yx∈A,y∈A.将M中的n2个不同元素排成一列，得到序列：x1,y1,x2,y2,⋅⋅⋅,xn2,yn2，其中x(1)已知1,1，x,2，2,y，z,w为Γ2序列，写出x，y，z，w(2)求证：Γ3序列中存在具有性质T(3)求证：Γ11序列中具有性质T的项的个数不少于10．

参考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.B

6.A

7.C

8.D

9.C

10.D

11.−10

12.8；−5

13.2,14.24

；

；

；

；

；；2415.①③④

16.解：(1)已知cosC=15，C∈由tanCtanA=25c7a得得：cosAcosC=25(2)由cosA=57，由正弦定理asinA=csin由余弦定理c2=a2+解得正根b=6(负根舍去)，三角形面积S=1

17.解：(1)取AC中点N，连接DN，MN，因为DA=DC，所以DN⊥AC，因为M为BC中点，所以MN//AB，因为AC⊥AB，所以AC⊥MN，所以D、N、M三点共线，即DM∩AC=N，所以AC⊥DM，因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，DM⊂平面ABCD，所以DM⊥平面ACEF．(2)因为DM⊥平面ACEF，AF⊂平面ACEF，所以DM⊥AF，又AC⊥AF，DM∩AC=N，DM⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AF⊥平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AF为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B0,2,0，C2,0,0，E若选条件①：DC⊥BF，设D1,t,0t<0，则DC=因为DC⊥BF，所以DC⋅BF=1,−t,0⋅若选条件②：DE=332，连接EN，在所以D1,−32,0设平面CDE的法向量为n=x,y,z，则n令x=23，则y=−4，z=2，所以平面由题可知平面ABF的法向量为m=设平面CDE与平面ABF的夹角为θ，则cosθ=若选条件③：点D到平面ACEF的距离为3因为DM⊥平面ACEF，所以点D到平面ACEF的距离为DN，即DN=以下同条件②．

18.解：(1)对8个门店的A，B收益，分别记为xi,yii=1,2,⋯,8满足xi>yi的门店共3个((2)X为抽取的3个门店中A收益高于B的个数，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，总门店N=8，符合条件的门店M=3，抽取n=3，C8PX=0=CPX=2=C分布列：X0123P515151EX(3)设产品A收益xi的方差为sx2，产品B收益由产品A的收益极差为13.7−5.8=7.9，B的收益极差为19.5−3.7=15.8，从极差的显著大小关系可以估计其方差的显著大小关系，sy2会显著大于因为ai=13x线性组合的方差会向权重更大的变量“靠拢”，权重越大，整体方差越接近该变量的方差．因此权重偏向y的ai方差最大，权重偏向x的bi方差最小，权重均等的

19.解：(1)由题意得a2−所以椭圆W的方程为x2(2)由(1)可知a=2,b=1，则A2,0已知T0,t直线MT满足y−1t−1=x−20−2，即直线直线NT满足y−−1t−−1=x−2令y=−1，代入直线MT的方程可得：−1=1−t2x+t，解得x=令y=1，代入直线NT的方程可得：1=−1+t2x+t，解得x=已知A2,0直线AT满足y−0t−0=x−20−2，即直线联立y=−t2x−2因为x=2是方程的一个根(点A的横坐标)，设Rx由韦达定理得xA+x代入y=−t2x−2得y当直线斜率存在时，直线PQ的斜率kPQ直线PR的斜率k因为kPQ=kPR，且直线PQ与直线PR有公共点P，所以P、当t=0时，直线MT：y=12x，P−2,−1；直线NT：直线AT：y=0，R−2,0，此时三点均在直线x=−2上，所以P、Q、R综上所述，P、Q、R三点共线．

20.解：(1)f′x=1x，g′x因为l1⊥l2，所以f′m(2)直线l1的方程为y−直线l2的方程为y+联立y−lnm=1令h(m)=12m当0<m<1时，h′(m)<0，h(m)单调递减，当m>1时，h′(m)>0，所以h(m)当b>−32时，h(m)min=32所以当b>−32时，l1与l(3)由题可知，A(0,lnm−1),B(m2则OA=若OA=eOB，则1−ln设tm=m令sm=ln所以s(m)在0,e上单调递增，又s(1所以当0<m<1e时，s(m)<0，t′(m)>0，当1e<m<e时，所以t(m)在0,1e上单调递增，在所以t(m)所以b的最大值为32

21.解：(1)当n=2时，A=1,2，所以M=由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1．第一项为1,1，第二项为x,2，所以x−1+即x−1+1=1.解得x=1所以第二项为1,2．第二项为1,2，第三项为2,y，所以2−1+即1+y−2=1.解得所以第三项为2,2．M中共有4个不同元素，前三项已经是1,1，1,2，2,2，剩下的一个元素为2,1，所以第四项为2,1．因此x=1,y=2,z=2,w=1．(2)以Γ3序列中的项为坐标的点记作A1,A2,⋯,A每条单位线段水平或者竖直．因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直．不妨设至少有4条水平单位线段．由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段．这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在