北京市第三十一中学2025-2026学年第二学期中校本检测高一年级数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第三十一中学2025-2026学年第二学期中校本检测高一年级数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=(i−2)2i，则zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设向量a=(x,−1)，b=(x+2,1)，若a//A.2 B.1 C.−1 D.03.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为直角梯形A′B′C′D′，其中A′B′//D′C′，∠B′C′D′=π2，A′B′=3，A′D′=2，则四边形ABCD的周长为(

)A.8+22 B.8+23 C.4.已知向量a，b满足a=2,b=1，a+3b=7A.π6 B.π3 C.2π35.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c+acosB=bcosAA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.已知5−2i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)A.10 B.−10 C.5 D.−57.已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//α

B.若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥α

C.若α⊥β，l⊥β，则l//α

D.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ8.已知棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1A.326π B.46π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1−ii，则下列选项正确的是A.z的虚部为−i B.z2为纯虚数

C.|z|=2 D.10.下列说法正确的是(

)A.若非零向量a,b满足a//b,b//c，则a//c

B.BD+11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EA.直线B1D1与BE是异面直线 B.CD1//平面A1BE

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在▵ABC中，AM=13AB，AN=23AC，若13.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1.则异面直线14.已知复数z满足z+1+z−1=2，则z+3−4i的最大值是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=(a2+a−2)+(a2−7a+6)i，其中a∈R．

(1)若z∈R，求a的值；

(2)若z是纯虚数，求a的值；

(3)16.(本小题15分)已知向量a=1,2，b=2,−1，(1)当a+b⊥(2)当b//a+c时，求向量a17.(本小题15分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知▵ABC的面积为3，D为BC中点，且AD=1(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c218.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：DF//平面PBE；

(2)在棱BC上是否存在点G，使得平面DFG//平面PBE？若存在，求出BGGC的值；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)如图所示，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，∠ABC=60，PA=AC=1，PB=PD=2，点E在PD上，且．(1)证明：BD⊥PC；(2)求点A到平面PBD的距离；(3)F是棱PC的中点，证明：BF//平面AEC.

参考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.B

7.D

8.A

9.BD

10.ABC

11.BCD

12.1313.60°

14.415.a=1或a=6；

a=−2；

(−∞,−2)∪(6,+∞)．

16.解：(1)由题意可得a+因为a+b⊥(2)a因为b//a+所以c=所以cosa即向量a与c的夹角的余弦值为−

17.解：(1)∵S△ABC=3∴S△ADC=32，即过点A作AE⊥CD于点E，则在△ADE中，AE=∴在中，BE=BD+DE=52，tan(1)∵在△ABC中，AD=∴|∴1=14(8+2bc又∵S△ABC=∴tan∴A=2π3，sinA=再将b=4c代入b2

18.证明过程见详解；

BGGC=119.解：(1)设AC与BD的交点为O，则O是BD的中点，因为PB=PD.所以PO⊥BD．因为菱形ABCD，所以AC⊥BD．又PO∩AC=O,PO

，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC．又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．(2)在菱形ABCD中，因为∠ABC=60∘所以菱形的边长为1，且BD=所以PO=在▵PAO中，PA=1,AO=1所以PO即PA⊥AC,由(1)知BD⊥平面PAC．因为PA⊂平面PAC,所以BD⊥PA.又AC∩BD=O,所以PA⊥平面ABCD.所以VP−ABD设点A到平面PBD的距离为d．因为V所以13⋅1d=故点A到平面PBD的距离为5(3)证明：取PE的中点M，连接FM,BM，则FM//CE.因为CE⊂平面AEC．FM⊄平面AEC，所以FM//平面AEC.由PE:ED=2:1，知E是