2027届新高考数学热点精准复习等比数列及其前n项和

2027届新高考数学热点精准复习等比数列及其前n项和1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.课标要求

同一个qab

a1qn-1

3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝______________.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为___________.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为__________.(4)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列;当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列.am·anqmqn常用结论与微点提醒

常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(

)(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(

)(1)在等比数列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编××

(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.××

3.(人教A选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝____________.

3·2n-1或2·3n-1

5

AD考点一等比数列基本量的求解

(2)(2026·淮南、淮北模拟)权是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码(如图)，用于测量物体质量.已知九枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a2＝2，a4＝6，a9＝192，则{an}的前8项和为(

)A.194 B.193C.192 D.191C

感悟提升

A

(2)(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于____________.

2

考点二等比数列的判定与证明

(2)求{an}的通项公式.

感悟提升

C

角度1

项的性质例3(2026·济南模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(

)A.8 B.9 C.16 D.18Ba1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则a1a9＝4，由等比数列的性质可得a1a9＝a8a2＝…＝a5a5＝4，所以a5＝2，又log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝log2(a1·a2·a3·…·a9)＝log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log2(44×2)＝log229＝9.考点三等比数列的性质及应用

D

(2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于____________.

3

AB

感悟提升1.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.训练3(1)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6＝3S3，S9＝14，则S6＝(

)A.4 B.6C.7 D.8B

(2)(2026·重庆诊断)在等比数列{an}中，若a3a5＝36，a4＋a6＝60，则a1＝______.

2

C

A∵微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，∴1指节＝77兔尘.故选A.

D

4.(2026·江西十校协作体联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(

)A.－81 B.81C.50 D.61D由等比数列的性质得a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15是公比为－3的等比数列，所以a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝－27，a13＋a14＋a15＝81，又a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，所以S15＝1－3＋9－27＋81＝61.故选D.5.(2026·广州质检)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝(

)A.8 B.16 C.24

D.48C设数列{an}的公比为q，则S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3，又a1<0，则1＋q<0，即q<－1，又S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2)(1＋q2＋q4)＝63，即1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，又q<－1，则q＝－2，所以a1＝－3，a4＝a1·q3＝－3·(－2)3＝24.

A

7.(2026·南京模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(

)A.4 B.5 C.6 D.7B

ABD

ACD

三、填空题10.(2026·石家庄质检)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－1，则a7＝____.

64当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，即a1＝1;当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则an＝2n－1，则a7＝26＝64.

8

四、解答题13.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列{Sn}的前n项和.

14.(2026·北京海淀区段考)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列;②数列{Sn＋a1}是等比数列;③a2＝2a1.注:若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.选①②作条件证明③.因为数列{an}，{Sn＋a1}是等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)，

则数列{Sn＋a1}是以2a1为首项，2为公比的等比数列，所