2027届新高考数学热点精准复习数列的概念与简单表示法

2027届新高考数学热点精准复习数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.课标要求1.数列的定义按照_______________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.确定的顺序2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数______项与项间的大小关系递增数列an＋1___an其中n∈N*递减数列an＋1___an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限><3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的_________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.序号n常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(

)(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(

)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(

)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)(1)数列:1，2，3和数列:3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×××2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(

)A.21 B.33C.152 D.153C由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.3.(人教B选修三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于(

)A.n B.2nC.2n＋1 D.n＋1B∵a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，当n＝1时，2n＝2＝a1，∴an＝2n.

例1(1)已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n，则a2026＝_________.

4053考点一由an与Sn的关系求通项n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝(n－1)·3n－1，与原式相减得3n－1an＝n·3n－(n－1)·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，则an＝2n＋1，经检验，n＝1时也成立，故an＝2n＋1，即a2026＝4053.(2)(2026·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝nan＋1－2n(n＋1)(n∈N*)，则Sn＝____________.

2n2

感悟提升

训练1(1)(2026·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式an＝________________________.

(2)已知数列{an}满足a1＝2，若2Sn＝an＋1＋2，则{an}的通项公式an＝_______________.

角度1

累加法——形如an+1-an=f(n),求an例2(2026·武汉质检)古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列{an}，则an＝____________.

考点二由数列的递推关系求通项公式

B

a1也符合上式，所以an＝n(n＋1)，n∈N*，且{an}是递增数列，由an＝n(n＋1)<930得(n＋31)(n－30)<0，解得－31<n<30，所以正整数n的最大值为29.感悟提升

A

an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋lnn(n∈N*).

2

C

考点三数列的性质

(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000B因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3;令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5;令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8;不等式右侧恰好是斐波那契数列从第3项起的各项:3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，显然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故选B.

斐波那契数列教考衔接

典例

(多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(

)

ABD该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，A正确;由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数，且2026＝3×675＋1，所以a2026是奇数，B正确;由an－1＝an－an－2，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2026＝a2027－a2025，累加得a2＋a4＋…＋a2026＝a2027－a1，C错误;

D

D

感悟提升

感悟提升

训练3(1)(2026·三明质检)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2026＝(

)A.－2 B.－1C.1 D.2A由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)得，a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2026＝a337×6＋4＝a4＝－2，故选A.

C

一、单选题1.观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，…，则该数列的第12项是(

)A.1212 B.12C.ln12 D.sin12D通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项是sin12.

A

D

4.设数列{an}的通项公式为an＝n2－tn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则正实数t的取值范围为(

)A.0<t<3 B.t<3C.0<t≤2 D.t≤2A由数列{an}为递增数列，得∀n∈N*，an＋1>an，而an＝n2－tn(n∈N*)，则∀n∈N*，(n＋1)2－t(n＋1)>n2－tn，得t<2n＋1，而2n＋1≥3恒成立，则t<3，所以正实数t的取值范围为0<t<3.

C

6.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N＋)，则a6的值为(

)A.22 B.42C.79 D.149C

C

BCD

ABC

三、填空题10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝____________.

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，2Sn＝an＋1，则数列{an