2027届新高考数学热点精准复习直线的方程

2027届新高考数学热点精准复习直线的方程1.在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等).课标要求

向上0°{α|0°≤α<180°}

tanα正切值

4.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率___________与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率________________两点式过两点________________与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距____________不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式

Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线y=kx+by-y0=k(x-x0)

常用结论与微点提醒1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀:“斜率变化分两段，90°是分界线;遇到斜率要谨记，存在与否要讨论.”常用结论与微点提醒2.特殊位置的直线方程(1)x轴:y＝0;y轴:x＝0;(2)经过(a，b)且平行于x轴的直线:y＝b;经过(a，b)且垂直于x轴的直线:x＝a;(3)经过原点且斜率为k的直线:y＝kx.3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系中的直线都有倾斜角与斜率.(

)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(

)(1)当直线的倾斜角为90°时，直线不存在斜率.(2)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1>α2，但其对应的斜率k1＝－1，k2＝1，k1<k2.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编××(3)截距是直线与坐标轴交点到x轴、y轴的距离.(

)(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(

)(3)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.×√2.(苏教选修一P13T2)直线y＝k(x＋1)(k>0)可能是(

)B因为k>0，故A，C不正确;当x＝－1时，y＝0，直线过点(－1，0)，故选B.

D

4.(人教A选修一P67T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________.

3x-2y=0或x+y-5=0例1(1)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(

)A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°AB考点一直线的倾斜角与斜率根据题意，画出如下图形，如图1，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°;如图2，当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.

如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，

感悟提升

A

考点二直线的方程

(2)直线过点A(0，－1)和B(－1，5);

(3)直线过点A(2，1)，且横截距为纵截距的两倍.

感悟提升求直线的两种方法训练2(1)(2026·南京模拟)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(3，1)，C(4，5)，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为(

)A.2x＋y－3＝0 B.2x－y＋3＝0C.x－y＋1＝0 D.2x－y－3＝0D

(2)过点P(1，4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(

)A.1条 B.2条C.3条 D.4条C

例3已知直线l:kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;考点三直线方程的综合应用

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.

感悟提升1.直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点.2.与函数相结合的问题:一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.3.与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.

C

(2)已知直线l1:ax－2y＝2a－4，l2:2x＋a2y＝2a2＋4.当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝____________.

A

A

3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(

)A当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大;当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1<k3<k2.A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k14.(2026·长春质测)直线x＋2y－4＝0与直线3x＋y－9＝0所成角是(

)A.30° B.45°C.60° D.75°B

B

B

C直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A选项错误;直线y＋1＝2x即y＝2x－1，在y轴上的截距为－1，B选项错误;

DA.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

二、多选题9.若AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0经过第几象限(

)A.一 B.二C.三 D.四ABD

10.已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(

)A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1BD根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确;当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，

11.(2026·青岛质检)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且直线AC:2x－