人教版初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典习题

人教版初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典习题三角形，作为平面几何的基石，其概念、性质及应用贯穿了整个初中乃至高中的数学学习。人教版八年级数学上册第十一章《三角形》系统地介绍了三角形的基本要素、重要性质以及全等三角形的判定与性质。扎实掌握这一章的内容，不仅能为后续学习四边形、圆等几何知识奠定坚实基础，更能培养逻辑推理和空间想象能力。本文将选取本章若干经典习题，进行深入剖析，旨在帮助同学们深化理解，掌握解题方法与技巧。一、三角形的边与角三角形的边和角是构成三角形的基本元素，它们之间存在着密切的联系。理解并灵活运用这些关系，是解决三角形问题的第一步。核心知识点回顾：*三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。*三角形三个内角的和等于180°。*三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。经典习题1：已知一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长x的取值范围是多少？若此三角形是等腰三角形，求其周长。解析：这道题主要考查三角形的三边关系以及等腰三角形的性质。首先，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。已知两边长为4和7，所以第三边x必须满足：7-4<x<7+4，即3<x<11。接下来，考虑等腰三角形的情况。等腰三角形至少有两边相等，因此x可能等于4或等于7。当x=4时，三边长为4，4，7。此时4+4>7，满足三边关系，周长为4+4+7=15。当x=7时，三边长为4，7，7。此时4+7>7，满足三边关系，周长为4+7+7=18。所以，第三边长x的取值范围是3<x<11；若为等腰三角形，其周长为15或18。经典习题2：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求△ABC各内角的度数，并判断△ABC的形状。解析：本题考查三角形内角和定理及按角对三角形进行分类。设∠A=2k，∠B=3k，∠C=4k，其中k为常数。根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，则有：2k+3k+4k=180°9k=180°k=20°因此，∠A=2k=40°，∠B=3k=60°，∠C=4k=80°。由于三个角都小于90°，所以△ABC是锐角三角形。二、三角形的重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中的三条重要线段，它们各自具有独特的性质，在解决三角形问题时有着广泛的应用。核心知识点回顾：*三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。*三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心。*三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。经典习题3：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3cm，AB=7cm，求AC的长。(示意图说明：一个三角形ABC，BC边水平，B在左，C在右，A在上方，AD连接A与BC中点D)解析：本题考查三角形中线的概念。因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。△ABD的周长=AB+BD+AD△ADC的周长=AC+DC+AD已知△ABD的周长比△ADC的周长多3cm，即：(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD)=3cm由于BD=DC，AD是公共边，上式可化简为：AB-AC=3cm已知AB=7cm，所以7cm-AC=3cm，解得AC=4cm。经典习题4：在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数。解析：本题综合考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形的性质。首先，在△ABC中，根据内角和定理，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°。因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=75°/2=37.5°。AE是BC边上的高，所以∠AEB=90°。在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=90°-60°=30°。因此，∠DAE=∠BAD-∠BAE=37.5°-30°=7.5°。三、全等三角形的判定与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，其对应边相等，对应角相等。掌握全等三角形的判定方法，并能灵活运用其性质解决问题，是本章的重点和难点。核心知识点回顾：*全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。*全等三角形的判定方法：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，适用于直角三角形）。经典习题5：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE。求证：BC=DE。(示意图说明：两个三角形ABC和ADE，点A为公共顶点，AB=AD，AC=AE，∠BAD和∠CAE是同一个角或相等的角，连接BC和DE)证明：要证明BC=DE，通常考虑证明它们所在的三角形全等。观察图形，BC在△ABC中，DE在△ADE中，因此尝试证明△ABC≌△ADE。已知AB=AD，AC=AE。若能证明∠BAC=∠DAE，则可利用SAS判定全等。因为∠BAD=∠CAE，所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC（等式的性质，在等式两边同时加上∠DAC），即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中：AB=AD(已知)∠BAC=∠DAE(已证)AC=AE(已知)所以，△ABC≌△ADE(SAS)因此，BC=DE(全等三角形的对应边相等)。经典习题6：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE。求证：BE=CD。(示意图说明：一个等腰三角形ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，且BD=CE，连接BE和CD)证明：要证明BE=CD，可考虑证明△ABE≌△ACD或△BEC≌△CDB。已知AB=AC，所以∠ABC=∠ACB（等边对等角）。又已知BD=CE，而AB=AC，所以AB-BD=AC-CE，即AD=AE。现在考虑△ABE和△ACD：AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已证)所以，△ABE≌△ACD(SAS)因此，BE=CD(全等三角形的对应边相等)。(另一种思路：利用BD=CE，BC=CB，∠ABC=∠ACB，证明△BEC≌△CDB(SAS)，也可得到BE=CD)。四、利用三角形全等解决实际问题三角形全等的知识不仅在理论上重要，在解决实际生活中的测量、距离计算等问题时也有着广泛的应用。经典习题7：如图，A、B两点位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度。DE的长度就是A、B间的距离。你能说明其中的道理吗？(示意图说明：池塘两端有A、B两点，C点在池塘外，连接AC并延长到D，CD=CA；连接BC并延长到E，CE=CB，连接DE)解析：本题是利用三角形全等测量不可直接到达的两点间距离的经典案例。在△ABC和△DEC中：CA=CD(所作)∠ACB=∠DCE(对顶角相等)CB=CE(所作)所以，△ABC≌△DEC(SAS)因此，AB=DE(全等三角形的对应边相等)。所以，测量出DE的长度，就得到了A、B间的距离。总结与学习建议《三角形》这一章的内容丰富且重要。同学们在学习过程中，首先要深刻理解基本概念和性质，如三角形的三边关系、内角和定理、全等三角形的判定与性质等。其次，要通过适量的习题练习来巩固所学知识，在解题时，要注重分析已知条件，明确求证目标，选