2026年山东青岛平度高三一模数学模拟试卷（含答案详解）

平度市2026年高考模拟检测(一)

数学试题

2026.03

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,

并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分,在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={0,1,2,3},5={X|X2-X-2<0},则408=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.设复数z满足(l-i)z=2i,则|z|=()

A.殍B.1C.y/2D.2

3.已知S”是等差数列的前〃项和，若%+2%o+%o=24,贝ijS”=()

A.60B.120C.180D.240

4.已知非零向量b,贝।呻+可=|"叶'是“向量万"”的()

A.充分不必耍条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线

向右平移。个单位长度，得到函数卜=5出1的图像，则〃外=()

LCC(\吟,fl吟

A.cos2x——B.sin2x——C.cos—x——D.sin—x——

I3J126J123)

6.若4个数据的平均值为6,方差为5,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为()

试卷第1页，共4页

22

7.已知椭圆C:±+匕=1上有两个动点48满足|力身=3,尸图,打）为线段4?的中点，则与

43

的最大值为（）

A.4B.3C.2D.1

8.已知定义在R上的函数〃x）满足/（x）+/（2-Q=0,/（l+x）=/（3-x）,当*氏,2］时,

/（x）=x3-2.r+x,则方程7/（x）-x+l=0所有根之和为（）

A.8B.10C.13D.15

二、多项选择题：本大题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四

个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，

有选错的得0分.

9.如图所示，在正方体/夕844GA中，。为。力的中点，直线4。交平面G"。于点

则下列结论正确的是（）

A.直线8G与直线CR所成角为60。B.4c平面

c.加、。、G三点共线D.直线4G与平面/4G2所成角的为5

10.已知双曲线C：£一卫_=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为G，鸟，过点片的直线与C

a~b'

的左支相交于P.Q两点，PQLPK,4|20|二3|PEJ,则（）

A.\PQ\=2aB.西=-2西

C.。的离心率为姮D.直线也的斜率为4

3

11.记出48。的内角所对•边分别为dAc，点M为4C的中点，力=2,哈•=?

cosB2

延长4C到点。，使点。为线段力。的中点，则（）

试卷第2页，共4页

A.B=—

3

B.出/14C周长的取值范围为(4,6]

C.8A/的最大值为2

D.8Q的最小值为2收一26

3

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.二项式卜--J展开式中¥项的系数为.

13.若曲线》=山+〃与圆/+/=2有公共点尸(/jo),且在点P处的切线相同，则实数

14.在三棱锥力—4CO中，4Q_L平面4cO,NABD+NCBD=三,BD=BC=2,则三棱锥

2

A-BCD外接球表面枳的最小值为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.已知抛物线C:/=22(p>0),点户为C的焦点，W,N是。上任意不重合的两点.，当

直线MN过点/且垂直x轴时，|MN|=4.

(1)求C的方程；

(2)若直线"N过点/且QMN的面积为4,求MN的方程.

16.已知函数/(x)=cv-ox.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)当x>0时，/(x)Zx2—x+[恒成立，求。的取值范闱.

17.已知三棱锥P-力〃。(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形川?CO为边长等于

拉的正方形，“即和MC/均为正三角形，在三棱锥P-48C中：

图二

试卷第3页，共4页

(1)证明：平面P4CJ■平面力SC；

(2)若点M在棱PI上运动，当直线AM与平面P4C所成的角最大时，求平面M8C与平面

48C所成锐二面角的余弦值.

18.三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为3〃(〃22,”eN)个

单位.第一个人抢到的金额数为1到2〃-1个单位且等可能(记第-个人抢完后剩余的金额数

为％)，笫二个人在剩余的印个金额数中抢到1到印-1个单位且等可能，第三个人抢到剩

余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金领数

最高的人称为手气王(若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王).

(1)若〃=2,则第一个人抢至IJ的金额数可能为1,2,3个单位且等可能.

(i)求第一个人抢到金额数X的分布列与期望；

(ii)求第一个人获得手气王的概率；

(2)在三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列的条件卜，求第一个人获得手气王的概率.

19.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的

应用.设，。是两个正整数，若〃国的最大公约数是1,则称互素.对于任意正整数〃，欧

拉函数是不超过〃且与〃互素的正整数的个数，记。(〃).

⑴求。⑶,题7)和0(21)；

(2)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：

①准备两个不同的、足够大的素数PM；②计算〃=欧拉函数。(〃)；

③求正整数我,使得何除以。(〃)的余数是1:

④其中5,9)称为公钥,(〃㈤称为私钥.

已知计算机工程师在某RSA算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数左从小到大

排列得到一列数记为数列也J,数列｛%｝满足80%=〃+47,若数列｛"“｝满足

而可〃为奇数

求W”｝的前〃项和却

la吟tan®+1),〃为偶数

试卷第4页，共4页

1.c

【详解】因X—2<0o(x-2)(x+l)<0,解得—1<X<2,即8=(—1,2),

又力={0,1,2,3},则)cB={0,l}.

2.C

【分析】根据复数模长运算性质得i”|=|l-i||z|=|2i|,再计算即可.

【详解】由已知得=从而|l—i||z|=|2i|,即&|z|=2,所以目=JL

故选：C.

3.B

【分析】由等差数列性质可得。2+的。=勿“，结合条件可求/+%，再由等差数列求和公

式及性质可得52。=2°(“；生°)=10(%+卬)，由此可求结论.

【详解】因为数列{q}为等差数列，所以的+—=〃”，

所以生+2%+%=2。”+2阳=24,

所以6o+%i=12,所以=(；——=10(+«20)=10(al()+firj=120.

4.C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.

【详解】因为B为非零向量，

若卜+B卜B-同，则(1+町=(1-q，则+21，+庐=>一2万Q+62,

所以4小/；=0，所以］1月，故充分性成立；

若aJ.B，则小5=0，所以12+21.5+尸=12-2］石+小，

所以k+6)2="孙，则故必要性成立;

所以“归+4=忖-叶，是“向量万4”的充要条件.

故选：C.

5.A

【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.

【详解】函数N=sinx的图像向左平移三个单位长度，得到y=sin

答案第1页，共14页

所有点的横坐标缩小为原来的;倍，纵坐标不变，得到y=sin2.1+?.

又丁=sin(2x+W)=cos(2xe—^)=cos(2x],所以/(x)=cos(2x-己.

6.A

【分析】设这4个数据为乐,吃，/，5，依题意求出再+与+5+匕=24,x；+x；+x；+x：=164,

加入两数据后再依次求其平均值与方差即可.

【详解】设这4个数据为％卬/，依题意，再+“2尸儿=6,l(x,2+X；+X；+X；)-62=5,

44

则X]+x2+x34-x4=24,x；+x；+x；+x：=164,

加入数据8和10后，这6个数据的平均值为“+8+10=7,

6

贝IJ方差为4；+犬+4+/+82+102)-72=&328-49」.

663

7.D

【分析】设力(再,必)，8住,为)，户为椭圆的右焦点，则I力用=2-；不再根据

IAB|<|JF|+|BF|代入数据即可求得答案.

【详解】设血和乂),8伉,为)，尸为椭圆的右焦点,

由题意，椭圆的长半轴长。=2,短半轴长力=百，半焦距c=l,

A\AF\=\l(xf+y；=I)，+3一手=J"；)=2-g再，

同理可得，|8"|=2-g/，

而3=|48|引力日+忸尸|=(2_；xJ+(2_gx2)=4_g($+.q)=4-x。，

即3K4r0,解得则/的最大值为L

8.D

【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题.

【详解】由/(力+/(2-。=0,得函数I(x)关于点(1,0)对称,

又/(l+x)=/(3-x),得函数/(x)关于直线工=2对称，

从而函数/(”是周期为4的周期函数.

答案第2页，共14页

又当xe［l,2］时，/(x)=^3-2x2+x,则/'(X)=3/—41+1=(31一1)(工一1)之0,

即〃x)是［1,2］的单调递增函数，/(1)=0,/(2)=2,可画出/(')的部分图象,

又方程7/(x)—x+l=0的根即y=/(x)与y=；(x-l)的交点横坐标，如图

两函数共有15个交点，卢旦关于点(1,0)对称，故所有根之和为15.

9.ABC

【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利

用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D.

【详解】对于A,连接力C4R,四边形力〃C"是正方体力5C'。-44G。的对角面，

则四边形/出G2为矩形，AD\//BC\,是直线8G与直线所成角或其补角，

而4C=/1R=CR,因此N/Z)C=60。，A正确：

对于B,<4，平面/BCD,8。<=平面力8。。，则44_L8O,又BDA.AC,

441C/IC=H,44］，月Cu平面月/C,则6O_Z,平面力/C,又MCu平面力/C,

于是同理4C18G，又BDCBC.,因此4cl平面。出。，B正确；

对于C,由OeAC,4Cu平面力CG4，得Oe平面力CG4，

由Ow8。，BDu平面GBD,得Ow平面C/Q,则。是平面力CC/i和平面。田。的公共

点，

同理，点M和G都是平面力CG4和平面C\BD的公共点，

因此三点G，M,o在平面C/O与平面/1CC/的交线上，即G，。三点共线，c正

确；

对于D,连接4。，设4DCM2=N,连接GN,由选项B,同理得4N_L平面49GR,

则N4GN为直线4G与平面力6CQ1所成的角，在Rt“SN中，4N=44O=；4G，

答案第3页，共14页

因此sinN4GN=g=；,NA£NJ，D错误.

4c[26

故选：ABC

【分析】设|PE|=x，|2月上外结合双曲线的定义与勾股定理即可得X/的值，从而进行判断.

如图，由4|。。卜3|你|,可设|。0|二3加出3|=4川.因为尸。，次，所以|。周=5〃?.

"

6-3

4"?-x=2a2

所

X--以

对于A、B：设阀|=X,|QK|二R则，5〃?7=2a,解得.3

x+y=3〃？色

y

=3

\PQ\=3nt=2a,QF}=2F\P,故A正确，B错误;

对于C：在鸟中，由|尸剧2+1尸&:|片周二得"1+四1=4C,2,则二=12,从而双曲

99a~9

线C的离心率为姮，故c正确；

3

4x2。

对于D：因为tan/历居=盥=9=4-=4,所以直线PQ的斜率为±4,故D错误.

附I%也

3

11.ABD

【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角B判断选项A：由余弦定理和基本

答案第4页，共14页

不等式得M(等J,进而得出3w=g+c)2-4W；(4+c)2判断选项B；由

Z?M=1(^+BC),利用向量的数量积和三角恒等变换化简得

网=1思+事出(24目,dMBC为锐角三角形,有结合正弦函数的性质

12\336J62

求取值范围判断选项C；没/=6,由余弦定理m=,T瓜in2J+5cos28),利用辅助

角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D.

【详解】对于A,已知91=空£=牛£,由正弦定理得世=空空言G,

cosB2bcosBsinn

即cosCsiiiB=2sin4cosB-sinCcos5,得sinCcos5+cosCsinB=2sin4cos5,

则有sin(『+O=2sinJcos5,得siM=2sia4cos5,

又由于/e(O,7r),所以sinJ:>0,故cosB=；,

而8w(0m),所以8=选项A正确；

对于B,在dM8C中，由余弦定理cos8="fc、"，得/+C2_"=4,

2ac

所以4=(a+c『-3ac,ac<，所以3ac=(a+cJ-44京Q+C)?,BP(a+c)2<16,

当且仅当“二c时取等号，

由于2<a+c«4,

所以而.48。的周长的取值范围为(4,6],故选项B正确；

a_c_b_2

对于C,在出,48。中，由正弦定理得而一菽一而一近,

T

4万./4石.人

a=---sinJ，c=----sine，

33

由/4C的中点为"，有.丽=：(丽+方心)，

答案第5页，共14页

।।/3?

=—yj4+2ac=—.4+—sinJsinC

22V3

=—.(4+—sinJsin—+A=—^^sin4cos/+&in~A

2V3UJ2V33

0<A<-

△力8c为锐角三角形，贝J°2,得3<力<：

八2九，7t62

0<-----A<—

32

、,，，(兀兀、-八,n(n57tl花)'1

当NT'有2"一丁,所以sin24-7e1J,

ko2)b6JIbj<2J1

有g+与sin(2力词c(g/2,故即|的最大值为选项C错误;

对于D,设4=0,所以a=±gsin。，在△8CO中由余弦定理，

3

BD2-a1+4-2x2xt/cos[^+—1=与29+4—-—sin^os\0+—

I3)33I3)

40.2/)8j3.A20/>..4v3.

=—sin。+4A-------sin^cos0=—(1-cos28n)+4--------sin2。

333''3

~~Y~g(Gsin2®+5cos29)sin(20+e),

tan^=

故当28+9=(即0=5一尹时,

~2

AD,取最小值必-文，所以8Q的最小值为2.一2行,故D选项正确.

333

故选：ABD.

12.15

【详解】根据二项式定理，a」)'的通项加=“卜广尸，

x\x)

当6—2l=2,即,,=2时，可得7>(—11CXX)2=15/

・・・(项的系数为15

答案第6页，共14页

13.-1

【分析】求导得y=L由题意可得，=-2，结合点PG。/。）在圆上可求解.

X•%乂）

【详解】对于y=lnx+a,y=1,故切线斜率存在，于是,=-&,又焉+£=2,

XX。打

解得％>=-1或乂1=2（舍去），于是，"，所以一1=1111+4,所以。=一1.

E=-i

故答案为：-1.

14.（2+2石）兀

【分析】设NCBQ=a,在等腰△4CQ中，求得C。，设△8CO的外心是M,外接圆半径

1

是「，由正弦定理得〃二一以，设外接球球心是O,可得OM"是直角梯形，设。”=〃可

cos

2

得4）=2〃，杷力（力。）也用。表示，然后可表示出外接球半径及2,利用三角恒等变换，

换元法，变形后由基本不等式求得最小值,从而得球表面积的最小值.

【详解】设NCBZ）=a,在等腰△8CQ中,CZ）=2-5Csin-=4sin-,

22

设△88的外心是"，外接圆半径是「，

CD4sm弓27•=I

则2r=----=-----------=------,/.

sma2sin-cos-cos-

222

设外接球球心是O，则。■平面8CO,u平面8c。，则OM_LDW,

同理力O_L8。，AD1DM,

又4Q_L平面8c。，所以/O//OM,OA/D4是直角梯形，

设。历=力，外接球半径为R,即。。=。彳=/?,

户十户=R?

则小⑷.…，所以"=2〃,

在直角中，ZABD=--a,ZBAD=a,

2

221

tana----,AD=-----,/.h=-----,

ADtanatana

11cos2a2coifa2

R~=——；—+------=———H--------=-------H-------------

tan'aLU32sin'a1+cosa1-cos'a1+cosa

2

答案第7页，共14页

r/3、

cos2a+,r2-2ccosa,2(——COSQf')

---------;-----=-1；—

1-cos*a1-cosa

3I3

令耳一cosa=z,则/eg,5),

2/

R2=-l+——y——=-l+

-r+3t--

4

当且仅当当时等号成立，

所以4兀斤的最小值是4兀•=(2+2右)兀.

故答案为：(2+2V5)TT.

【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面

积，前提是选定一个参数.由已知设NC8。-a,其他量都用。表示，并利用三角函数恒等

变换，换元法，基本不等式等求得最小值.考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属

「难题.

15.(1)/=4x

(2)x-岛-1=()或x+87=0

【分析】(1)当直线"N垂直x轴时，可求出"、N的坐标进而求出P的值;

(2)一:角形的面积可以用弦长公式和点到直线的距离公式表示底和高.

【详解】(1)设点"(X"J,N(X2/2)

因为抛物线C：/=2px,(p>0),所以呜,0),

当直线MN过点F且垂直工轴时，直线MN的方程为x*,

把、=■代入/=2px可得H=一2，

答案第8页，共14页

故MM=2p=4,所以〃=2,所以方程为V=4x.

(2)由(1)可知/(1,0),设直线MN方程为x=my+l,

x=my+1、

联立《2_叙得了一-4=0,

则必+必=4"?,必为=-4,A=16/n2+16>0，

所以|MN|=\l\+ni2•J(凹+为>-4必必=J1++16=4(1+nr),

又点。到直线MN距离d=J,

yj\+m

所以S°MV=；MNM=；・4(1+〃J)•了二=2ji7版，

令2，+而=4,所以Jl+〃?2=2,所以〃?:3,解得’”或〃1=-石，

所以直线A/N方程为x--1=0或x+\/3y-1=0.

16.(1)当。工0,/(X)的递增区间是(-8,+oo),没有单调递减区间，

若。>0,/(X)的递增区间是(m“,+8),递减区间是(-cojna)；

(2)(-«>,e-l]

【分析】(1)先求得函数的导函数，然后根据〃<0,。>0两种情况，讨论/("的单调性;

(2)由题可知士也土1,在x>0时恒成立，则令g(x)=e-,结合a)

XX

判断函数g(x)的单调性求其最小值，求得。的取值范围

【详解】(1)由题知：f\x)=ex-a

若。40,ffW>0,/⑴在(-8,+8)上单调递增

若。>0,令/"(x)=0解得：x=lnt/

当xe(-8,lna)时，/'(x)<0,/(x)单调递减；

当xc(ln〃,y)时，/'(》)>0,/⑴单调递增，

综上，

当a40,/*)的递增区间是(-8,+8),没有单调递减区间，

若。>0,/(X)的递增区间是(hid+8),递减区间是(-8,Ina)；

(2)依题意，x>0时，d一G2/一工+1恒成立，即“二一二十%-1在(0,+oo)上恒成立,

答案第9页，共14页

人/\e，一式？+x—1/\।(e'—lx+l)x—(ex—x2+x—1)

令g(x);----------------(1>0n)，则mg*(^)=--------------;----------------------

xX"

xev-er-x2+i_(x-l)(ex-x-l)

P=?

令〃(x)=e'-x-l(x>0),由(1)知函数y=e*-x在(0、*o)上单调递增，

所以函数以到在(0,内)上单调递增，

则有A(x)>A(O)=O,即e'-x-1>0(x>0),

即当x>l时，则g'(x)>0,当0vx<l时，则g'(x)<0,

即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增,

所以函数g(x)在K=1处取最小值g(l)=e-l,于是得〃4e-l,

所以”的取值范围为(-8遥-1].

17.(1)证明见解析；

⑵"

II

【分析】(1)根据三楂锥尸一月8。的平面展开图确定各楼长，由勾股定理和等边三角形性质

先证明线面垂直，再由面面垂直判定定理证明平面/MC_L平面力AC.

(2)确定M在棱E4上的位置，建立合理的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余

弦值即可.

【详解】(1)取力C的中点O,连接08,OP,依题意，PA=PB=PC=O.，OP=\,

OA=OB=OC=\,

则"2+04=2=。炉，即有OP_LO8,显然有OPJ.4C,

而力CcO8=O,4Cu平面4?C,O8u平面48C,于是。0_L平面48。，又O尸u平面21C,

所以平面P4C_L平面4?C.

答案第10页，共14页

(2)由(1)知，OBLOP,OBLAC./fCDOP=0,则_L平面尸4C,

即ZBMO为直线BM与平面PAC所成的角，且tanNBMO=——=——，

OM0M

因此当。历最短时，tan/&W0最大，NBM0最大,而0P=040PJ_O1,则M为P4的中

点，

以。为坐标原点，直线。。，。用。产分别为匹乂Z轴，建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),C(l,0,0),W,1.0),4(-1,0,0),尸(0,0,1),

一一——31

8c=(1,-1,0),PC=(l,0-l),MC=(-,0,--);

in-BC=x-y=0

设平面A/BC的法向量为面=(x,y,z),则—.31，令x=l,得〃?=(1,1,3),

m-MC=—x—z=0

22

显然平面ABC的法向量为n=(0,0,1),设平面MBC与平面ABC所成锐二面角为3,

贝!]cos。=|cos(五,3〉|=1竺,1=-^==2^11

所以平面MBC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为察.

4

18.(1)(i)分布列见解析，2；(ii)-：

⑵*

【分析】(1)(i)根据题意可得P(X=l)=P(X=2)=P(X=3)=g,即可得X的分布列与

期望；(ii)将三个人抢到的金额数记作亿),〃)，根据的取值情况，分类求解所需概

率；

(2)利用条件概率公式分析求解即可得结论.

【详解】(1)若第一个人抢到的金额数为，・个单位，第二个人抢到的金额数为./'个单位，第

三个人抢到的金额数为左个单位，我们将三个人抢到的金额数记作亿),%).

(i)P(x=1)=P(X=2)=P(y=3)=1,

所以X的分布列为

X\23

答案第11页，共14页

\_\_

P

333

E(X)=lx』+2x，+3x』=2.

—333

(ii)第一个人获得手气王时，三个人抢到的金额数只可能为(2,2,2),(3,1,2),(3,2,1),

故第一个人获得手气王的概率

f(/—+P(/=3“=1,〃=2)+吁3/=2,〃=1)=2+沁+沁=：

(2)记事件4=”三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列“，事件A="第一个人获得手气王”.

所要求的是条件概率尸(用⑷，有「(例/)=-^方.

当三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列时，总金额数为9,故第一个人抢到的金额数可

能为

123,4,5.

11111

--X-+-X-=

又P(BA)=P(/=4,j=2,A=3)+P(i=4J=3,%=2)5454

10

P(A)==4,j=2,4=3)+尸(i=4"=3,%=2)+P(i=3,j=2,A=4)

+p(i=3,/=4,A=2)+0(i=2,J=3«=4)+0(j=2J=4,〃=3)

1111111111137

=—x—+—X—+—X—+—X—+—X—+—X—

545455555656150

故叱)=需垓啥

150

19.(1)奴3)=2,>(7)=6,仪21)=12

tan(n+1)〃1

，〃为奇数

tan222(〃+2)

tan(w+2)n+11

，〃为偶数

tan