沪科版八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）》同步练习题及答案

沪科版八年级数学下册《0.4一元二次方程的根与系数的关系（韦

达定理）》同步练习题及答案

知识点详解

一、根与系数的关系（韦达定理）

1.定理内容

如果一元二次方程0（。00）的两个根为右、知那么：

bc

Xl+x2=X1-X2=-

•语言描述：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；两根之

积等于常数项除以二次项系数。

2.定理的推导

从求根公式出发：勺二三詈，"（其中A=/—4ac）。

*用一如1I-b+v'A一。一'伍-2bb

两根之和：x1+x2=^+^=—=--

_(-b)2-(>/A)2_b2-(b2-4ac)_4acc

两根之积：•X2=

2a4a24a24a2a

3.特别地一一二次项系数为1的情况

当二次项系数a=l时，方程化为/+px+q=0的形式，此时根与系数的关系更为简洁:

%+%2=-P，x1-x2=q

其中P是一次项系数，q是常数项。

二、应用前提条件

使用韦达定理时，必须注意以下两个前提：

1.方程必须是一元二次方程：即二次项系数QHOo

2.方程必须有实数根：即根的判别式A=h2-4QCNO。因为如果方程无实数根，讨论根与

系数的关系就失去了意义，

在解题时，若题目涉及字母系数且未明确说明根的情况，应优先考虑判别式的限制。

三、常见应用题型

1.已知一根，求另一根及参数值

这是最直接的应用。设已知一根为修，另一根为“2,利用/•、2=；可求出入2,再利用工】+

x=--可求出参数。

土2a

2.求与两根有关的代数式的值

常见的对称式（即交换.和勺后值不变的式子）都可以用勺+无2和与小表示：

常见代数式用%+%2和%1巧表示

第1页共21页

2

Xi+X2=(%1+x2)-2xrx2

22

(%1—X2)=(Xj+X2)—4%1%2

11+x

一十—=------2

%1X?xtx2

1上1鱼+小)2-2丁工2

--+--=-----------------

*蜉(/％2)2

3

/+域=(/+x2)-3%i%2al+x2)

%21=01+%2)2—2.q%2

XlX2-xtx2

01+1)(%2+1)=X1X2+(41+x2)+1

3.己知两根的关系，求参数的值

给出两根之间的某种关系（如/=2冷，*+后=5等"结合韦达定理和判别式，可以列

出方程组求出参数。

4.构造新的一元二次方程

已知两个数a、P,以它们为根的一元二次方程（二次项系数为1）为

x2-（a+P）x+ap=Q

如果二次项系数不为1，可乘以适当的常数。

四、典型例题精析

例1：已知一根求另一根及参数

已知方程2/+收一6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。

解：

设另一个根为不。根据根与系数关系：

-63

2-x=—=-3=x=--

2乙2乙

所以另一个根为一1k=-K

例2：求代数式的值

设与、金是方程2X2-4X-1=0的两个根，求下列各式的值：

⑴F+：(2)xl+xl(3)(%1—必)2

X1x2

解：

首先由韦达定理得+%2==2，xlx2=T=

(1)上+上=5=刍=—4

X1X2X142—

22

(2)xl+x2=(Xj4-x2)—2XXX2=2—2x(—=44-1=5

第2页共21页

2x2

(3)(力-x2)=Qi+2)一轨1%2=4-4x(-}=4+2=6

例3：已知两根关系求参数

已知关于x的方程/一(女+1万+攵2+1=0的两个实数根的平方和为5,求k的值。

解：

1.设两根为右、x2,则：

2

+x2=k+1,xxx2=k+1

2.由题意：xf+^2=5

2

(xr+x2)—2XLX2=5

代入得：

(k+l)2-2(k2+1)=5

H+2k+1-21-2=5

-k2+2k-l=5

-k2+2k-6=0

k2-2k+6=0

3.解此方程：的=(一2/-4x1x6=4-24=-20<0,无实数解。

4.检验原方程有实数根的条件：

原方程判别式△=[-(k+I)]2-4(/c2十1)=H十+1—41-4=-3k2十2A:-3

需要A20,即一3k2+2k—3\0,此不等式无实数解(开口向下，判别式小于0)。

5.综上所述，不存在满足条件的匕

例4：构造新方程

求作一个一元二次方程，使它的两根分别是2+遮和2-百。

解：设所求方程为xA2+px+q=0o

+必=(2+V3)4-(2-V3)=4=p=-4

与乃=(2+73)(2一后)=4-3=1=q=l

所以所求方程为xA2-4x+l=0o

五、易错点警示

1.忽略使用前提：

•忘记AN0的检验：在求参数范围时，求出参数后必须验证判别式是否非负，否则可

能产生增解。

•忽略a丰0：含参数方程若未明确是一元二次方程，需考虑a=0的情况。

2.符号错误：

,两根和公式石+丫2=-容易忘记负号。

­代入系数时，b、C的符号要带进计算。

3.公式变形错误：

•如*+境=(与+为2)2—2%1%2，常误写成(必++2%必。

,(%i—%2产=(%1+必)2—4%1必，常漏掉系数4。

4.构造方程时符号混乱：

•以。、/?为根的方程为无2—(a+/?)%+可？=0,注意和是减号，积是加号。

一、单选题

第3页共21页

1.设巧，占是方程“2—2x-1=0的两个实数根，则'的值为（）

西X2

D.-2

2.设“，是方程f+x-2025=0的两个实数根，则/+2a+。的值为（）

A.2025B.2026C.2023D.2024

3.己知加，〃是方程f-％-2=0的两个根,则2024-〃/+36+2〃的值为（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

4.若关于"的一元二次方程X2-〃u■-〃=0的两个实数根都是正数，则点（〃?,〃）在平面直角

坐标系中位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.已知一元二次方程V+次+。=0的两根分别是玉=-1,々=3,则一元二次方程

2/-cc+3=0的根为（）

1c1rIf

A.—,-2B.—,2C.—,2D.一,-2

2222

6.已知一元二次方程Y-3x-5=0的两根为玉，/，则4+勺-内超的值为（）

B.-2D.—8

7.若关于汇的一元二次方程的两个根为再=2,%=3,则这个方程是（）

A.x2+5x+6=0B.X2+5A-6=0

22

C.X-5X+6=0D.X-5A-6=0

8.已知一元二次方程a?+法+c=0,当人=0时方程的两根分别是2〃+l和〃一4,则的

值为（）

C.-3

9.已知x=l是关于x的一元二次方程f+2x+a=（）的一个实数根，则方程的另一个根是

（）

A.—3

二、填空题

10.若长方形的长和宽分别是方程5x+6=0的两根，则长方形的周长是，面积

第4页共21页

是.

11.己知用2+3，〃-5=0,/+3，L5=0,且则—I—=.

ntn

12.设A，/是方程d—3x—3=0的两个实数根，则工法+中；的值为.

13.已知是方程/一3-8=0的两个实数根，则代数式/一4"+从的值为一.

14.设。，夕是方程f—2O25x—3=0的两个根，则(父一2025a-1)(夕2-2025^+2)=

三、解答题

15.已知关于x的一元二次方程〃寅2+2(〃7+1)工+〃，-1=0有两个不相等的实数根.

⑴求机的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根分别为为、工，且工：吃+%¥=-1，求，"的值.

16.已知关于1的一元二次方程/-4.1+。+3=0有两个不相等的实数根.

⑴若该方程的一个实数根为T，求另一个实数根团及。的值.

⑵若该方程的两个不相等的实数根为。和夕，且：+=J求，的值.

17.设毛，々是一元二次方程2/-3工+1=。的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式

的值：

2

(2)(X,-X2).

18.己知关于x的一元二次方程X2-(2&+1)1+公+〃=0

⑴求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

(2)若该方程的两个根毛，&是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5,试求女的值.

19.已知关于工的一元二次方程X2-2X-3〃?2=0.

⑴若此方程的根为巧与七，当〃?=1时，求％+W+芭占的值；

⑵求证：对于任意实数〃J方程总有两个不相等的实数根；

20.如果关于)'的方程丁-2(机+1))，+.2=2的两根之和与两根之积互为相反数.求/〃的值.

第5页共21页

21.已知关于4一元二次方程f-2x+&+l=0有两个不相等的实数根.

⑴求k的取值范围；

(2)若X］，工2是原方程的两个根，且2(%+七)=(.0¥2)2，求攵的值.

参考答案

知识点详解

一、根与系数的关系(韦达定理)

1.定理内容

2

如果一元二次方程ax+bx+c=0(a*0)的两个根为工］、x2,那么：

勺+工2=一，4,孙二£

•语言描述：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；两根之

枳等于常数项除以二次项系数。

2.定理的推导

从求根公式出发：/=i；；”,%2=；丁(其中A=/-4ac)。

b

两根之和:Xi+x2=

2222

两根之积：,工2=-b-\[K_(-d)-(7Z)_b-(b-4ac)_4ac

3.特别地一一一次项系数为1的情况

当二次项系数a=l时，方程化为/+px+q=O的形式，此时根与系数的关系更为简洁:

%+小=-P，x1-x2=q

其中p是一次项系数，q是常数项。

二、应用前提条件

使用韦达定理时，必须注意以下两个前提：

1.方程必须是一元二次方程：即二次项系数a工0。

2.方程必须有实数根：即根的判别式A=F-4QCZO。因为如果方程无实数根，讨论根与

系数的关系就失去了意义，

在解题时，若题目涉及字母系数且未明确说明根的情况，应优先考虑判别式的限制。

三、常见应用题型

1.已知一根，求另一根及参数值

这是最直接的应用。设已知一根为%1，另一根为不，利用=：可求出外，再利序巧+

x2=:可求出参数。

第6页共21页

2.求与两根有关的代数式的值

常见的对称式(即交换必和%2后值不变的式子)都可以用“1+%2和M上表示：

常见代数式用修+不和/不表示

X1+%2=(无1+%2)2-24％2

(%-必)2=(%1+必--4X^2

11_Xi+X

---1---=----2----

%1X2XiX2

2_+.=(+-)2—23―

*石(%1%2)2

xf+%2=(%1+应)3—3-(%1+X2)

%2L与01+%2)2-2乂62

%2%1%2

(%1+1)(*2+1)=XrX2+(Xi+%2)+1

3.已知两根的关系，求参数的值

给出两根之间的某种关系(如无1=2乃2,*+后=5等)，结合韦达定理和判别式，可以列

出方程组求出参数。

4.构造新的一元二次方程

已知两个数。、/?,以它们为根的一元二次方程(二次项系数为1)为

%2—(a4-B)x+ap=0

如果二次项系数不为1,可乘以适当的常数。

四、典型例题精析

例1：已知一根求另一根及参数

已知方程2/十收-6二0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。

解：

设另一个根为小。根据根与系数关系：

—63

2-x=—=-3=冷=-5

2乙乙

k31k

2+x=--=2--=-=--=k=-1

2乙乙乙乙

所以另一个根为一/k=-1c

例2：求代数式的值

设勺、外是方程2/-4%-1=0的两个根，求下列各式的值：

(1)止+止(2)xl+xl(3)-xy

xlx22

解：

首先由韦达定理得/+%2==2，xlx2=T=-2

第7页共21页

/«、1,1x,+x2.

(1)—+—=—―-2=—=-4

x2XiX2--

2

(2)xf4-x2-_|_%2)2_2XVX2=2—2x(—I)=4+1=5

22

(3)(%i—x2)=(%i+A'2)—4XXX2=4—4x(—1)=4+2=6

例3：已知两根关系求参数

已知关于x的方程/一"+1)%+/+1=0的两个实数根的平方和为5,求k的值。

解：

1.设两根为巧、x2,则：

+%2=k+1，%1%2=%2+1

2.由题意：xf+xf=5

2

(石+x2)-2XXX2=5

代入得：

(k+1)2-2(炉+1)=5

Ze?+2/c+1-2k2-2=5

*+2k-1=5

—k2+2/c—6=0

k2-2k+6=0

3.解此方程：与=(-2)2-4X1X6=4-24=-20<0,无实数解。

4.检验原方程有实数根的条件：

原方程判别式A=[一(k+I)]2-4(Zr2+1)=/+2/t+1-4k2_4=-3k2+2k-3

需要ANO,即一31+2k-3N0,此不等式无实数解(开口向下，判别式小于0)。

5.综上所述，不存在满足条件的ko

例4：构造新方程

求作一个一元二次方程，使它的两根分别是2+8和2-6。

解：设所求方程为xA2+px+q=0。

=

%14-x2(2+V3)+(2-V3)=4=p=-4

xtx2=(2+73)(2—V3)=4—3=1=q=1

所以所求方程为xA2-4x+l=0o

五、易错点警示

1.忽略使用前提：

•忘记AZ0的检验：在求参数范围时，求出参数后必须验证判别式是否非负，否则可

能产生增解。

•忽略QH0：含参数方程若未明确是一元二次方程，需考虑a=0的情况。

2.符号错误：

•两根和公式/+%2=-?容易忘记负号。

­代入系数时，b、c的符号要带进计算。

3.公式变形错误：

22

•如瓷+将=(%]+X2)一2%62，常误写成(41+%2)+2%62。

,(右一小)2=(%i+必产一4%1必，常漏掉系数4。

第8页共21页

4.构造方程时符号混乱：

,以。、0为根的方程为无2-(口+/7)%+a/?=0,注意和是减号，积是加号。

一、单选题

1I

1.设匕，占是方程1一2l-1=0的两个实数根，则一十一的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分式的化简求值.

利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再把分式进行通分化简，

最后代入求值即可.

【详解】,诙是方程x2-2x-l=O的两个实数根,

/.X[+毛=2,XJXJ=-],

11x.+2.

.'.一+——=———2-=—=-2

x{x2xtx2-1

故选D.

2.设a,是方程丁+%-2025=0的两个实数根，则/+2。+。的值为()

A.2025B.2026C.2023D.2024

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根

与系数的关系，将表达式变形后整体代入求值.

【详解】••・”是方程产+工一2025=0的实数根，

.•./+〃-2025=0,即/+a=2025,

又••・"，6是方程的两个实数根，

・•・由根与系数关系得：〃”=-；=-1,

:.a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2025+(-\)=2024,

故选D.

3.已知用，〃是方程_?-4-2=0的两个根,则2024-〃『+3〃]+2〃的值为()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，由加是方程的

第9页共21页

根，可得病=〃?+2,代入原式化简为2022+2(〃?+〃)，再根据方程根与系数的关系〃?+〃=1,

即可求值.

【详解】解：是方程97-2=0的一个根，

•••nr-7??-2=0>

即=〃?+2,

2024-m2+3机+2〃

=2024一(〃2+2)+3m+2〃

=2024一-2+3/77+2n

=2022+2///+2/?

=2022+2(/〃+〃)

又•••〃?，〃基•方程，一.2=0的两个根，

.•./〃+〃=1,

:.原式=2022+2x1=2024,

故选C.

4.若关于x的一元二次方程双一〃=。的两个实数根都是正数，则点(〃?.〃)在平面直角

坐标系中位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方

程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.

先利用一元二次方程根与系数的关系判断出〃?和〃的符号，从而确定点所在象限.

【详解】解：设方程f_/延一〃=0的两个实数根为不，与，且%>(),与>0,

则(一〃-4x1x(一〃)？。，%+工2=〃?>0,X(X2=-/?>0,

所以〃?>0,n<0,

所以(如，。的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限，

故选：D.

第10页共21页

5.已知一元二次方程f+2"+°=0的两根分别是％=-1,%=3,则一元二次方程

2/-5+2力=0的根为（）

A.-:2B.吴D.卜2

C--2'2

【答案】D

【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以

上知识点.

首先根据根与系数的关系得到-1+3=-千2/7，-Ix3=pc求出。=T,c=-3,然后代入

2.v2-以+2〃=0利用因式分解法求解即可.

【详解】解：国一元二次方程f+2"+c=（）的两根分别是'=—,3=3,

0Z>=-l,c=-3

回一元二次方程2/一以+2b=0为2/+3%—2=0,

a(x+2)(2x-l)=0

解得芭=g，X2=-2

故选：D.

6.已知一元二次方程f-3x-5=0的两根为七，占，则%+与一工区的值为（）

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】C

【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出为+/=3,工/2=-5,再代入计

算即可.

【详解】解：EI一元二次方程炉-31-5=0的两根为4修,

，内+七=_彳=3,­=?=-5

X1+x,-XjX2=3-(-5)=3+5=8,

故选：C.

7.若关于汇的一元二次方程的两个根为％=2,当=3,则这个方程是（）

第11页共21页

A.x2+5x+6=0B.X2+5A-6=0

C.x2-5x+6=0D.X2-5A-6=0

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键.根据

一元二次方程的根与系数的关系判断即司;

【详解】解：关于1的一元二次方程的两个根为与=2,々=3,

则对于一元二次方程V+px+=。.

玉+w=-〃，工1•&=q，

即〃二-5,q=6,

回关于X的一元二次方程为V—5X+6=().

故选:C.

8.已知一元二次方程以2+法+c=0,当方=0时方程的两根分别是2〃+1和〃-4,则旧的

值为()

A.3B.-C.-3D.--

33

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程

加+法+”0("0)的两根分别为4、%,则%+/=-£，内超=公是解决问题的关键.当

I)c

〃=0时方程的两根分别是2〃+1和〃-4,可得2〃+1+〃-4=--=。，求出〃的值，再求一的

aa

值，即可求解.

【详解】解：团当匕=0时方程的两根分别是2〃+1和〃-4.

027?+1+/:-4=--=0,

a

解得：n=\,

02/7+1=2x1+1=3,w-4=l-4=-3,

0-=3x(-3)=-9,

故选：B.

第12页共21页

9.已知x=l是关于x的一元二次方程/+2》+〃=0的一个实数根，则方程的另一个根是

()

A.-3B.-2C.1D.2

【答案】A

【分析】本题考查了根与系数的关系：若内，勺是一元二次方程+加+c=O(awO)的两根,

bc

则为+占=--//,二一.设该方程的另一个根为4=乙则根据根与系数的关系得1+/=-2,

aa

然后解一次方程即可.

【详解】解：设该方程的另•个根为工=八

根据根与系数的关系，得1+，=-2,

解得，=一3.

故选：A.

二、填空题

10.若长方形的长和宽分别是方程d—5x+6=0的两根，则长方形的周长是，面积

是.

【答案】106

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和长方形的性质，解题的关键是掌握一元二

次方程根与系数的关系.

设长方形的长和宽分别为方程的两根，根据根与系数的美系，求出两根之和与两根之积，即

可得到周氏和面积.

【详解】解：设长方形的长为〃，宽为q，则〃和是方程』-5%+6=0的两个根.

由根与系数的关系，得〃+夕=5,pxq=6.

故周长为2X(〃+“)=2X5=10,面积为pxc/=6.

故答案为：10,6.

11.已知＞+3〃?-5=0,/+3〃-5=0,且〃则!+-!-=.

ntn

3

【答案】m

【分析】本题考查根与系数的关系，由题意可知，m和〃是方程f+3x-5=0的两个根，

第13页共21页

根据根与系数的关系求出，〃+〃和〃"?的值，再代入所求表达式,+'=竺土2计算即可.

nmmn

【详解】解:0m2+3m-5=O>n2+3n-5=0,且〃冲小

(3m和〃是方程V+3x-5=O的两个根.

团机+〃=-3,mn=-5.

11m+n-33

团-I—=----=—=—,

nmmn-55

故答案为：

J

12.设巧，/是方程/一3工-3=0的两个实数根，则%法+小门的值为.

【答案】-9

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，掌握先对代数式因式分解,

再利用韦达定理代入计算是解题的关键.

利用根与系数的关系求出两根之和与两根之枳，再代人因式分解后的表达式计算.

【详解】解：田玉，々是方程X2-3X-3=0的两个实数根，

0&+々=3,%占=-3,

0=X]X,(^+x»)=(-3)x3=-9.

故答案为：-9.

13.已知。涉是方程V-3x-8=0的两个实数根，则代数式/_4他+从的值为.

【答案】57

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值.

根据根与系数的关系，得到。+人=3,ab=-8,然后将所求代数式变形为(。+32-6时，进

而计算即可.

【详解】解：团〃力是方程丁一3工一8=0的两个实数根，

回。=3,ab=—8,

0a2-4ab+b2

=a2+b2-4ab

=fl2+lab+b~-lab-4ab

=(a+1"?一6ab

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=32-6x（-8）

=9+48

=57.

故答案为：57.

14.设夕是方程工2一20254-3=0的两个根，则（储一2。25。-1）（62一2。254+2）=

【答案】10

【分析】利用方程根的定义，将根代入方程得到关于。和夕的等式，再对所求代数式进行整

体代换，最后结合韦达定理完成计算.

【详解】解：国。是方程仁-2025工-3=0的根,

0a2-2025a=3,

因此a2-2025a-l=3-l=2.

同理，夕也是方程的根，

西-2025/?=3.

因此-20254+2=3+2=5.

于是，（。2-2025。-1）（/2-2025/?+2）=2乂5=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入总想，解题关键是利用根的定义对代

数式进行降次与代换，避免直接求解方程根的复杂计算.

三、解答题

15.已知关于1的一元一次方程"V+2（/〃+l）x+/〃-1=0有两个不相等的实数根.

⑴求机的取值范围；

⑵若该方程的两个实数根分别为毛、/，且咛与十无名=7,求〃?的值.

【答案】（1），〃＞一；且"2*0

⑵5=上

【分析】本题考存根与系数的关系及根的列别式，一元二次方程公2+尿+C=O（GKO）的根

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与△=〃-4ac有如下关系：当△＞（）时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有

两个相等的实数根；当△＜（）时，方程无实数根.一元二次方程欠2+辰+。=0［，工0）的两个

I）c

根毛，与，满足%+苍="，XX=-.

a12a

（1）根据方程有两个根可得△＞（）,再结合加工0即可解决问题；

（2）利用根与系数的关系即可解决问题.

【详解】（1）解：回关于x的一元二次方程〃£+2（〃7+1卜+〃7-1=0有两个不相等的实数根，

0A=|^2（m+l）］2-4xx（.7/-1）＞0,

解得："。-：.

又回H0,

团〃？的取值范围是〃且〃7Ho.

（2）解：团该方程有两个实数根分别为不、x2,

_2m+2（n—\

0-V,+乂=------，XX,=-----,

ffi'm

乂团吊2期+x1xl=-1,

回.5天（工］+电）=-1,

m-\（2m+2）,

0-------------=-1,

mIm）

解得：町==-y/2,

经检验牛=血,〃a=-5反是原方程的解，但网=-上＜-；，不符合题意舍去，

何m=5/2.

16.已知关于尤的一元二次方程V—4x+c+3=0有两个不相等的实数根.

⑴若该方程的个实数根为T,求另一个实数根机及。的值.

⑵若该方程的两个不相等的实数根为。和夕，且：+J=J求。的值.

【答案】⑴〃?=5,c=-8

（2）。的值为T

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，判别式的应用，掌握韦达定理的内容,

以及用判别式检验根的存在性是解题的关键.

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（1）利用韦达定理，由两根之和求另一根，再由两根之积求C的值.

（2）利用韦达定理表示两根和与枳，代入,+）的表达式，列方程求J再用判别式检验

ap

根的情况.

【详解】（1）解：根据题意，得T+/〃=4,T〃=C+3,

/.m=5,c=-8.

当c=—8时，△=（T）?8p-46）乂5（46）=20+36=0>,符合题意.

（2）解:（3方程的两个不相等的实数根为。和夕，

.\a+/?=4,羽=。+3,

I]a+B4

•••一+^=V=1=J解得c产-4,e=i.经检验，q=-4,6=1都为原分式方程

apapc+3'2

的根.

当c=-4时,△=（4尸4（cI3）=20>0；

当c=l时，A=（-4）2-4X（1+3）=0（不符合题意，舍去）.

综上，。的值为-4.

17.设阳，々是一元二次方程2/-3%+1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式

的值：

（1而十月.

2

（2）（X,-X2）.

【答案】⑴：

4

【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

（1）利用根与系数的关系，可得出％+毛=3,X'将其代入内2+%22=（5+毛）--2%出

中，即可求出结论；

（2）利用根与系数的关系，可得出x+X2="|，砧=；，将其代入（5-七）232-2玉不+君

中，即可求出结论.

【详解】（1）解：由题意，得％+£=?,砧=:.

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原工C=(X+x2y-2A)x2

=一5

4.

（2）解：由题意，得x»2=g.

原式=<-2xtx2+x；

=（X+W）2一4百々

（3丫1

=--4x—

⑵2

，-2

4

=—1

4.

18.已知关于上的一元二次方程X2一（2攵+1）工+&2+攵=0.

⑴求证：该•元二次方程总有两个不相等的实数根：

（2）若该方程的两个根毛，勺是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5,试求k的值.

【答案】（1）见解析

（2）3

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及矩形的性质，熟练掌

握判别式的计算和根与系数的关系是解题的关键.

（1）先写出一元二次方程的系数，再计算判别式」,判断其符号.

（2）先利用根与系数的关系得到％+/和工，再结合矩形对角线与边长的勾股定理关系，

建立关于女的方程，最后求解并检验.

【详解】（1）证明：回方程为f-