正方形重难点（7大题型）（专项训练）原卷版-2025-2026学年八年级数学下册（沪教版）

正方形重难点（7大题型）

------------------目录

A题型建模•专项突破

题型一、根据正方形的性质求角度.................................................1

题型二、根据正方形的性质求线段长..............................................2

题型三、根据正方形的性质求面积.................................................3

题型四、根据正方形的性质证明...................................................3

题型五、正方形中的旋转与翻折...................................................5

题型六、证明四边形是正方形.....................................................7

题型七、根据正方形的性质与判定求值...........................................10

B综合攻坚•能力跃升

A题型建模•专项突破

题型一、根据正方形的性质求角度

1.如图，月为正方形48CO外一点，4E=4D,BE交4D于点、F,/4DE=75。，则/形5=

2.（24-25八年级下•上海闵行•期末）如图，四边形4?。。是正方形，CE//A3,AE=AC,那么/QCE的

度数为.

题型二、根据正方形的性质求线段长

3.（24-25八年级上•上海杨浦•月考）如图，在面积为2a的正方形ABCD中截得直角三角形力“的面积为

—a＞则BE长为.

3

4.（24-25八年级上•上海徐汇•期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前

有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔4处（即£4=8里），出西门往前

直走2里到8处（即08=2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角。看见宝塔4如果设正方形的中心为

点。、。、8在一直线上，点0、E、力在一直线上，AB=6下,那么这座方城每一面的城墙长是

5.（24-25八年级下•上海虹口•期末）如图，正方形/也。。的边长为2,对角线/1C、8。交于点0,P为边

SC上点，如果6尸=06,那么。尸的K为.

6.（24-25八年级下•上海•月考）正方形面积为16,正方形内一点P到。的距离与到点48的距离都是

d,则4=

7.（24-25八年级下•上海•月考）正方形力3C。，对角线交于点。，力产平分与BD交于E,与BC

交于尸，若0E=t,则。A=.

8.（24-25八年级下•上海青浦•期末）如图，在边长为2的正方形力8CQ中，点E为边8c的中点，点E在

边DC上，可垂直平分线段力垂足为点〃，求。尸的长.

题型三、根据正方形的性质求面积

9.（22-23八年级下•上海徐汇•月考）如图所示，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为

10.（22-23八年级下•上海浦东新•期末）如图，正方形4?CO边长为4,点E在边48上一点（点E与点

A、8不重合），过点力作矛_L座，垂足为G,"'与边8C相交于点F.

⑵连接。U、EF,如果△。姓'的面积为?，求/1E的长.

题型四、根据正方形的性质证明

11.如图，在正方形八8CD中，点E、F在对角线8D上，且BE=EF=FD,联结4£、AF.C£、CF.求证:

四边形作CF是菱形.

AD

12.（23-24八年级上.上海•单元测试）如图，在正方形力8CD中，点E,歹分别在边AC,CDAL,△/£户

是等边三角形，如果48=1,求CE的长.

13.（2022八年级下•上海・专题练习）如图，已知四边形力3。。是正方形，点从F、G、，分别在/仄

BC、CD、和。力上，连接EG和尸〃小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩

又进一步猜想

小明说：如果EG和所互相垂直，那么EG和叱一定相等;

小亮说：如果EG和加相等，那么EG和HE一定互相垂直;

请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由.

14.（2022八年级下•上海・专题练习）如图，在正方形48c。中，P是对角线8。上的一点，点E在边4）

的延长线上，且P4=PE,PE交CD于点F.

⑴求证：PA=PC；

⑵求证：PC1PE.

15.（22-23八年级下•上海普陀•月考）如图，已知正方形48co边长为4,对角线4C、BD交于O点、,E、F

分别是边力从8c上两点（E、尸不与/、B、C重合），且OELOF

(1)求证：BE=CF；

(2)若七尸=痴，求6君的K.

题型五、正方形中的旋转与翻折

16.如图正方形48CO和正方形MG"全等，把点彳固定在正方形石尸G，的中心，当正方形乂BCD绕点A

转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的()

17.（24-25八年级下•上海•期中）如图，在正方形纸片力4。。中，对角线/C、8。相交于点。，折叠正方

形纸片月8C。，使力。落在3。上，点力恰好与5。上的点尸重合，展开后，折痕Of分别交力8、4C于点

E、G,连接GA下列结论：①4GQ=112.5°；②与=2；③S△心＞=S4OGO；④四边形的'G是菱形;

At

⑤8E=2OG,其中正确结论有•）个

AD

A.1B.2C.3D.4

18.如图，已知正方形44CO的边长为收，将正方形/出CO沿直线E厂折叠，则图中阴影部分的周长为

19.如图，正方形中，/4=15,点E在边。。上，且CD=5DE.将△4DE沿4?对折至△//芭，延长

EF交边BC于G,连接C/,则△产GC的面积为

20.（22-23八年级下•上海长宁•期中）如图，在边长为2的正方形48CQ中，石为边彳。的中点，点尸在边

6上.如果将ABPC沿直线4尸翻折后，点C恰好落在线段CE上的点。处.那么£。的长为.

21.（2022八年级下•上海・专题练习）如图1,已知。为正方形力8CQ对角线的交点，点£在边C8的延长

线上，连结EO,OF1OE交84延长线于点R连结ER

（1）求证：EO=FO\

⑵芳正方形的边长为2,OE=2OA,求4E的长；

⑶当OE=2O力时，将绕点O逆时针旋转到△巳OE/,使得44。巳=30。时，试猜想并证明△力。与是

什么三角形.

题型六、证明四边形是正方形

22.（2022八年级下•上海•专题练习）己知：如图，在出△力8C中，乙/C8=90。，点。在8c上，DFL4B,

垂足为匕且。尸=C。，点七为线段4。的中点，过点“作”G"C七交射线月。于G,联结CG.

⑴求证：四边形CEFG是菱形.

(2)当/C=8C时，求证：四边形CEFG是正方形.

23.(22-23八年级下•上海黄浦•月考)如图，四边形月4。是矩形，E是对角线力C上一点，EB=ED且

NCBE=NCDE.

⑴求证：四边形力4c。是正方形；

(2)若产是对角线力。上一点，且乙4DE=NCDF,求证：BE//DF.

24.(22-23八年级下•上海青浦•期末)如图，在三角形4"?中，4?=/C,AD,力上分别是/A4c与它的

邻补角的平分线，CE1AE于点、E.

⑴求证：四边形4DCE是矩形；

(2)连接£。交力C于点O,若NA0E=2/B,求证：四边形力。。£是正方形.

25.（23-24八年级下•上海嘉定•期末）如图，菱形力BCD中,七是对角线力。上一点，EF工BE,交边力力

于点凡且EF=BE.

（1）求证：NDFE=NABE；

⑵求证：四边形48CO是正方形.

26.（23-24八年级下•上海长宁•期末）已知：如图，在"BC中，NB力C=90。,4G是8c边上的高.〃为

线段CG上的点，以力G、G”为邻边作矩形连结8。交力G于点£,联结4C交。〃于点E.

⑴如果48=//，求证：四边形，4G〃D为正方形；

⑵联结E7L如果NDBC=NBAG,求证：四边形4EFO为矩形.

题型七、根据正方形的性质与判定求值

27.（22-23八年级下•上海浦东新•月考）在直角梯形44co中，AD//BC（BC>AD）,/3=90。,

AB=BC,E是/IB上一点、,且NOCE=45。，BE=2,DE=5.那么直角梯形的面积是,

28.（24-25八年级下•上海•期末）如图，。中，Z5JC=45°,AD1BC,垂足为点Q,BD=3,

。。=2,现将和A/CO分别沿着45、力C翻折，得到△力8E和△力CF,延氏£9、产C交于点G,则

四边形4EG/的面枳是.

29.（2023八年级下•上海・专题练习）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就

称这条对角线是四边形的“美丽线”.已知力。是四边形力8。。的“美丽线〃，如果48=8。=力。，

/胡。二90。，那么N8C7）=

30.（24-25八年级下•上海金山•期末）如图，已知:正方形48CQ边长为1,点/＞是对角线力。上一点，PQ工BP,

/＞交射线0c于点Q.

⑴当点。在边CQ上时，线段。。与线段总之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论;

⑵当点。在边OC的延长线上，△PC。是等腰三角形时，求PC的长；

（3）当以尸、B、C、0为顶点的四边形的面枳为;时，直接写出力户的长.

B综合攻坚•能力跃升」

一、单选题

1.（23-24八年级下•上海・单元测试）如图，已知正方形45。力的边长为8,点E在对角线8。上，且

Z.BAE=22.5°,EF1AB,垂足为尸，则七斤的长为（）

C.8-4>/2D.672-8

2.（22-23八年级下•上海浦东新•期末）如图，已知四边形/8CD是平行四边形，那么添加下列条件能判定

四边形48co是正方形的是（）

D

A.=且4c工BDB.4c18力且4c和互相平分

C./BAD=NABC且AC=BDD.AC=BD且/IB=4D

3.（24-25八年级下•上海徐汇•期末）已知在四边形中，AD〃BC,对角线/9、6。交丁点O,且

AC=BD,则下列四个命题中真命题是（）

A.若AB=CD,则四边形力8c。一定是等腰梯形

B.若NDBC=NACB,则四边形48C。一定是等腰梯形

C.若力。上8。且40=00,则四边形48CO一定是正方形

D.若XO=OC,则四边形45co一定是矩形

4.（22-23八年级下•上海长宁・期末）下列命题中，假命题的是（）

A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

B.一组对边相等，•个内角为直角的四边形是矩形

C.一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形

D.对角线相等的菱形是正方形

5.（24-25八年级下•上海闵行•月考）下列命题中，假命题的是（）

A.平行四边形的对角线互相¥分

B.对角线垂直的平行四边形是菱形

C.矩形的对角线互相平分且相等

D.对角线相等的平行四边形是正方形

二、填空题

6.（22-23八年级下•上海虹口•期末）以下说法中正确的是_（填序号）

①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形

②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形

③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形

④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形

⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形

⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形

7.（23-24八年级下•上海奉贤・期末）如图，在正方形力8CO中，/8=4cm,点£在边力加上，连结3E,

将小8月沿翻折，点力的对应点为点立当直线”恰巧经过CQ的中点M时，/E的长为cm.

ED

M

BC

8.（24-25八年级下•上海浦东新•月考）正方形力4c。的边长是8cm,点心在边上，且A/C=2cm,P是正

方形边上的一个动点，连接尸8,当尸片=月历时，PC的长是,

9.（23-24八年级下•上海静安・期末）如图，正方形48co和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G

在上，BC=3,CE=1,M是彳”的中点，那么CM的长是

10.（24-25八年级下•上海•期中）如图，在正方形月8c。中，点、E、“分别为边彳力、8c的中点，点尸在

边。。上，如果将△4PC沿直线8P翻折后，点C恰好落在线段£户上的点0处，线段E。的长为1,那么正

11.（24-25八年级下•上海•期中）如图，在正方形力8c。中，点P是对角线4。上一点，且8尸=。。，点。

为边8c上一点，连结在、PQ,已知那么笑的值是.

12.124-2S八年级下•上海•期中）四边形/ACO是边长为4的正方形，点E在边.4。所在的直线上，连接

CE,以CE为边，作正方形CEFG（点。，点尸在直线CE的同侧），连接“尸，若8/=3而，则4E的长

为.

三、解答题

13.（24-25八年级下•上海•期末）如图，四边形/也CO为正方形，DE//AC,且CE=C4,直线EC交Q4

延长线于厂.求证：AE=AF.

14.（24-25八年级下•上海•月考）已知：如图，在正方形川5CZ）中，点E./分别在边/8.CQ上，且

AF=CE.对角线8。分别交EC'、力产于点M、N,联结4“、CN.求证：四边形力MCN是菱形：

15.（24-25八年级卜.•上海•期中】我们知道平行四边形是中心对称图形.已知四边形48CO是平行四边形,

加图所示，如只用一把无刻度的直尺,按要求作出相应的图形.（不写作法，保留作图痕迹）

D

C

图3

(2)如图2,在平行四边形/18C。的四边上各作一点，分别记为V、N、P、Q,使得四边形MNP0是平行四

边形;

⑶如图3,若四边形力以第为正方形，点G在对角线8。上一点(8G>GO),作一个菱形，使得力G为菱形

的一边.

16.(24-25八年级下•上海静安•期末)操作现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5

厘米，将其交叠摆放(如图所示)，使它们对角线的交点重合.现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对

角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形48co.

⑴重叠部分四边形力AC。是什么形状的四边形？请说明理由，

⑵重叠部分图形的最小面积和最天面枳分别是多少？请直接填写：最小面积cm2,最大面积

________cm2.

17.如图，己知正方形/4CO,连长/8=6,七是的中点，点尸在边8c上，且8尸=2RT,点尸在线段

CO上，连接尸石、EF、PF.

⑴若APE产为等腰三角形，求尸。的长度;

⑵若石厂平分，求尸。的长度.

18.(22-23八年级下•上海虹口•期末)如图，正方形048。和正方形O。所有公共顶点0,

40=3,OD--^2，连接力。、CF.

(1)如图1,线段40与线段6有交点H,求证：AD1.CF；

⑵如图2,点£在CO的延长线上，求b的长；

⑶边EE与力。交于点G,当CF,E三点共线时，请直接写出S.COG-S3EG的值.

19.已知：正方形力4。。的边长为8,点E是8c边的中点，点尸是边力B上的动点，联结DE、EE

（1）如图1,如果8尸=2,求证：EFLDE；

（2）如图2,如果8P=3,求证：乙DEF=3乙CDE；

（3）联结。月设。尸的中点为G,四边形力尸EG是否可能为菱形？请说明理由.

20.（23-24八年级下•上海徐汇•期末）如图，点M是正方形N4CO的边力。上的一点，过点B作BNtBM

交DC的延长线于点N,连接MN交BD于点E.

⑴求/8AW的大小；

⑵如果/力笈0=2NOMW,求证：EN=ME+BE；

（3）如果力4=1,当/DBN=NDNB时,求OM的长.

21.（22-23八年级上•上海普陀•期中）（探索发现）如图①，四边形48。是正方形，分别在边8、BC

上，且乙刈N=45。，我们把这种模型称为“半角模型〃，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法,

如图①，将△力。加绕点4顺时针旋转90。，点。与点8重合，得到△力4E,连接4W、AN、MN.

图1图2

⑴试判断QM，8MMN之间的数量关系，并写出证明过程；

⑵如图①如果正方形的边长为4,求三角形CMN的周长：

⑶如图②，点〃、N分别在正方形48CO的边SC、CQ的延长线上，NMAN=45。,连接跖V,请写出

MN、DM.BN之间的数量关系,并写出证明