高三数学二轮复习试题 突破练17 圆锥曲线的定义方程与性质

专题突破练17圆锥曲线的定义、方程与性质

必备知识夯实练

1.（2025湖北黄冈二模）设收曲线加+力2=。为椭圆”是％。＞（）”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2025安徽淮北二模）若抛物线）2=4.K的焦点是椭圆+?=1（m＞（））的一个焦点，则椭

圆。的长轴长为（）

A.2B.2V3

C.4D.8

3.（2025江苏苏州模拟）如图，在平面直角坐标系”0），中，己知椭圆C5+\=1（。乂〉0）的

右焦点为匕右顶点为A,上、下顶点分别为比3点。在线段。砂上，且|四。|二2|川q.若

OQ〃A及,则C的离心率为（）

丫2.,2

4.（2025浙江台州二模）已知近尸2为双曲线。邑一白二1（。＞0力＞0）的左、右焦点，过点Fi

作直线/与双曲线。的右支交于48两点,且|48|二|防|,3乙48后二点则双曲线。的离

心率为（）1

A^20

A.——B再

33

「2后

cvD.-

3

22

5.已知双曲线京一*1（〃＞0力＞0）的左、右焦点分别为为产2,抛物线产4底的准线/经

过且/与双曲线的一条渐近线交于点A,若三，则双曲线的方程为（）

4

%2y2%2

A.=1B=B=--^―—1

164416

C.y2=lD.xD.x—^=1

6.（多选题）（2025山东泰安二模）已知双曲线C:《一\二1（心0力＞0）的左、右焦点分别为

所,则下列选项正确的是（）

A.若即2力二V5,则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为V5

B.若点。在双曲线。上,则直线PF】与勿'2的斜率之积为1

C.以线段F1F2为直径的圆与双曲线。在第一象限交于点P,且|「。|二|尸B|,则双曲线。的

离心率e=y/3+\

D.若过乃的直线/与犬轴垂直且与渐近线交于两点,NAF。二也则双曲线C的渐近

线方程为y=±2V3x

7.（多选题）（2025安徽黄山二模）已知抛物线C:）?=2px的焦点为F,点4（8,8）在抛物线上，

过点尸作直线交抛物线于MSjDNSy）两点，则下列说法正确的是（）

A.|MN|的最小值为4

B.以线段MN为直径的圆与直线x=2相切

C.当而二2丽时，则|MN|二9

D.二丽•而12

8.（2022全国甲，文15）记双曲线C:马-]=1（4＞0力＞（））的离心率为e,写出满足条件“直线

y=2x与C无公共点''的e的一个值:.

9.（2025江西宜春一模）已知抛物线C：）2=4式的焦点为匕点P在。上且位于第一象限，过

点尸作直线垂直于C的准线，垂足为A,若直线AE的倾斜角为与，则|尸产|=.

10.（2025湖北宜昌二模）已知椭圆。:勾+*1（。乂＞0）的左、右焦点分别为B仍，过点

B的直线与。交于48两点.若|AF2|二2|8F2|,|A8|二|8Q|,则椭圆。的离心率为.

关键能力提升练

11.（2025河北秦皇岛二模）已知双曲线。:三一的左顶点为4,右焦点为

£（c，0）,过点A且斜率为k的直线/与圆。。产+产3圆产相切，与C交于第•一象限的一点B.

若则C的离心率的取值范围是（）

A.E3+2a]

B.[3,3+4V3]

C.13+2V2,7+4A/3J

D.[3+4V3,7+4V3]

12.（多选题）（2025陕西西安二模）设双曲线得一?1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为

“尸2,下列说法正确的是（）

A.若C的渐近线的斜率为则C的离心率为手

B.若。的渐近线方程为广土*，且点（2,9在。上，则折2

C.过点尸2的直线与C的右支相交于A乃两点，若|A8|二4〃,NBAB=90°,则C的离心率为

Vio

2

D.若C的左、右顶点分别为MN,且尸是C上异于M.N的一点，则直线PM,PN的斜率之

积瘙

13.（2025山东荷泽模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为吊42,过点

B的直线交椭圆于RQ两点，且PQ_LFQSAQ&F2=2SAP"2,则椭圆。的离心率为.

核心素养创新练

14.（多选题）（2025浙江杭州二模）设曲线=直线产与曲线C的交点的可能

个数的集合记为。（。力），则（）

A.D（«,Z?）={0,1,2,3）

B.D（f/,2）={0,l,2）

C.D（^3«）={0,l,2）

D.若。（〃力）={3},则同方且b＜0

答案：

1.A解析若曲线加+/?）2=c为椭圆，则该椭圆的标准方程为卷+卷=1（分方）.

因为椭圆中分母须大于o,所以£>o且？>0,又因为。权刈,那么近>0且儿>o,所以充分性

ab

成立.

当6/0（）时，比如〃=b此时曲线方程为f+）2=],它表示的是圆不是椭圆，必要性不

成立.所以“曲线数2+"二c为椭圆”是、c>0”的充分不必要条件.故选A.

2.C解析在抛物线,，2二4五中，焦点坐标为（1,0）.所以椭圆的焦点在x轴上，且c=1（c为椭

圆的半焦距）.在椭圆中,〃7=。2=3+1=4,又因为4>0,所以4=2.则椭圆的长轴长为

2a=2x2=4.故选C.

3.B解析由题可得，点&（0力）43,0）及c,0）,・・・瓦2=3力）.

•・,|BQ|=2|£>F|,则点。为线段由尸靠近点尸的三等分点,

一—,

故..Df9y^1b）,0D71.....二（如

由。。〃4&得手=笔化简得吒=去故选B.

4.B解析由双曲线定义得,|AFI||A”2|二|3Q||4B|二2«|BF2|二2C

设|BFI|=|4B|=肛则|8尸2|=九24由图,|A五2|=|AB||8尸2|=2a,|A尸]|=4〃,

在AABFi中,由余弦定理得cos/ABFi=巴‘匕竺Q="

2mm9

解得m=3a,

\BF2\=m2a=a.在△8/7iB中.由余弦定理得cosZF?BF\=cosNABFiJa+：-4c_i

2x3aa9

，7/=3。2,故离心率e=5=/=亨.故选B.

5.D解析抛物线V=4而x的准线方程为x=V5,»]c=V5，则FI(V5,0),F2(V5,0),

b(X=-C,

、=-展居可得”一些

{%=・C,V~

即点A(G-).

a

因为AFi_LFi@,且NFF乂=；,

4

则2A为等腰直角三角形，

俏=2,（a=1,

且|AFi|二|FE|工哼=2c,可得合2,所以,c=V5,解得卜=2,

°°[2=]+/,卜=圾

因此双曲线的标准方程为片[=1.故选D.

6.ACD解析由双曲线的性质知,焦点到渐近线的距离为瓦故A正确；

当点P为双曲线顶点时，直线PQ与尸人的斜率之积为0,故B错误；

由题意点尸在圆广+）2=/上，又|PO|二|PFi|,所以人/二会代入圆的方程，可得yp二与，将点

P（$,字）代入双曲线方程可得,《一篇二1,

224az4b'

即除3+2其

所以e=a=J1+人=N4+2V5=V5+1,故C正确；

直线/的方程为x=c,与渐近线产土夕相交于A（喏）,B（喏），

所以罚=（2喏），钻=（应即cos：番督=三占=/化简可得912,解得沁低

74+茁

所以双曲线渐近线方程为,，=±2倔;故D正确.

故选ACD.

7.BCD解析由题得,82=2px8,解得〃=4,则C:/=8x,F（2,0）,

由题可设直线MN:x=ty'+2M立抛物线方程得）用）16=0,显然/>0,

所以yi+”=8f,yiy2=16,贝iJ|MN|=Vl+R•J（y】+丫2）2~4丫1%=8（1+»）28,当且仅当/=（）时

等号成立,A错误；

由抛物线的定义知|MN|=XI+X2+4,而线段MN的中点横坐标为夸，

所以线段MN的中点与直发x=2的距离为空+2,即为|MN|的一半，

所以以线段MN为直径的圆与直线x=2相切,B正确；

^MF=2F7V,_S.51>0>）2贝]）"=2|”|,而）””二16,

所以y\=4V2,p=2\/2,

贝”y\+y2=St=2y/2='二子，

所以xi+x2=/(yi+y2)+4=?x2&+4=5,贝!||MN|=XI+X2+4=9,C正确;

由OM-ON=xiX2+yiy2=(/2+1)y\y2+2t(y\+p)+4=16Z216+16r2+4=12,D正确.

故选BCD.

8.2(答案不唯一，只要l<e<而即可)

解析由题意知,双曲线。的渐近线方程为)匚土%，要便直线与双曲线C无公共点,

只需0<-<2即可.由0<-W2,得0<三手W4,所以1</《5,故1<e<V5.

aaa，

9.4解析因为抛物线C：y2=4x的焦点为凡所以F(l,0),

由题意可得ZAPF=ZPFx,ZAPF+ZAFP+ZFAP=7i,

所以/£4尸=兀/4&=兀空=

JO

.又由抛物线定义得|P4|二|PF|,

所以△PA"为等边三角形，没准线与x轴交于点己在RSAC中,NE4F三30°,

所以|A川二2|FF|=4,

所以|PF|=|A*=4.

10.V解析由已知可设以8|二天，

则|AF2|=2X,|BFI|=|AB|=3X,

由椭圆的定义有|瓯|+18乃|=2〃=4尤故x节

・・・|„=MQ|,|M|二|AB|W，故点A为椭圆的上顶点或下顶点.

22

a2।9Q9a

在aARB中，由余弦定理推论得cos/FiA雇工？~=士

2a~3

在△AO/2中，设NOAB二。，

故cosFiAB=cos2〃=12sin?〃=3得sin%—,

33

故—=吗二sin0巫.

a\AF2\3

11.A解析依题意，点A(«0),直线/的方程为y=k(x+a),

圆(xc)2+)2=(c〃)2的圆心为(c,0),半径为ca,

由直线/与圆(W)2+)，2=(C4)2相切，得霭Lea,

令双曲线离心率为％又哼夕<1,则号=弛@=与亘=Ji+总

3e-1c-ak7kz

因此1+ZT=Jl+专日应⑵,即扬W'Ml,解得3We<3+2或,

所以C的离心率的取值范围是[3,3+2&].故选A.

12.ACD解析对于A,由C的渐近线的斜率为±a则，=：,

所以C的离心率为J1+/=J1+：=苧,故A正确；

对于B,由C的渐近线方程为y=±争，设C：y/=Z:(Z:>0),

又点(2,鸟在C上，所以：=1=%,即。:.)2二1,

所以〃二百,故B错误；

对于C,由过点正2的直线与C的右支相交于两点,不妨设|AB|=〃?,因乃|二〃，

若|4*=4〃,/BAA=90°,

贝IIAQ|uZa+mjen|=2〃+七

在RtAAFiB中，由勾股定理得(2〃+加)2+(加+〃)2=(2〃+〃产，结合〃Z+〃=4Q,解得m=a,n=3a,

故|AFi|=3a,|A尸2|=〃,

在RtAAFiF2中,由勾股定理得(2c)2=(3a)2+a\即4c2=10a2,

所以6-=半，故C正确；

a2

对于D,设尸(xo,jo)(x(#±a),

则常厚1，即羽=9诏。2）,

又M(a,O),N(a,O),

所以kpM'kpN=y°,-^―=2°2

z

x0+ax0-aXQ-a

故选ACD.

13.f解析由SAQ&F2=2S“&F2,可得IQ@I=2|P乃I,设|PBg〃，则

|QF2|二2"[JP”|=2H%JQ~|=2a2/%由PQ_LRQ,则|P&|2=|PQ|2+|Q川2,即

(2加加9苏+(2。2姆,解得呜，所以明|=2◎:小Q间亭,

在RSQFE中，有|"2『=|Q&『+|QF2『,即4c?=萼+率解得盘=也所以椭圆C的

离心率e=-=孚

a3

14.ACD解析当），力0时有。。），2二1,且渐近线为），二土*当），<0时有C《+y2=］如图［

图1

曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，根据

对称性，只需讨论。2（）的情况.

若4=0,

当b<\时，直线y=ax+b与曲线无交点；

当b=\时，直线y=ax+b与曲线有1个交点；

当b>\时，直线y=ctx+b与曲线有2个交点；

当时，如图2.

图2

由图知，以直线）=or+b与椭圆部分相切为界，此时有1个交点；

此时〃不变,匕一>1,直线与曲线有2个交点;/?—8,直线与曲线无交点，

所以当0＜44点力＜1时直线与曲线的交点个数有0』,2三种可能；

当时,“?£((),》,直线尸以+/?与曲线有2个交点；

当如图3,分别以直线产仆+匕与曲线双曲线、椭圆部分相切为界，

图3

直线在双曲线部分相切线上方时，直线与曲线恒有1