勾股定理与全等构造 培优练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第5讲勾股定理与全等构造

题型①倍长中线

【例】如图在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6.求BC的长.

实战演练

题型②间接倍长中线

1.如图.在△ABC中,AB=5,BC=3,过点A作AD〃BC,/CAD=90>,AD=8,E是BD的中点.求AE的长

题型③倍长类中线

2.如图.在△ABC中,NACB=60\P,Q分别在AC,BC上,M是AB的中点，且二若AP=4,BQ=6,求PQ的

长.

2

题型①构内K型

【例1】如图、在△ABC中,AC=BC,NACB=90o,NADC=90o,CD=2,AD=4j^BD的长为.

题型②构外K型

【例2】如图.在四边形ABCDa,ZABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,AD=5V2连接BD.求BD的长.

实战演练

1.如图，在四边形ABCD中,AB=3a,BC=7,CD=5,NABC=NADC=45。.求BD的长.

8

C

2.如图.在四边形ABCD中，48=NC=4O=13,8Q=24,口加090.求口8。。的面积.

板块三勾股定理与全等构造(三)对角互补

模型1等腰直角对直角模型2等边对120。角

条件：

4cZ>60°,BAD=\20°tBC=CD.

双垂或构手拉手—AD+AB=\^AC.

双垂或构手拉手—AD+AB=AC.

典例精讲

题型①90c对90°

【例】如图，在四边形ABCD中,NABC-NADC—9(r,AD-CD.

⑴求证：AB+BC=x^DB;

(2)若BD=BA.BO1.求四边形ABCD的的面积.

实战演练

题型②60。对120。

如图.在四边形ABCD中,AD=CD,/ADC=12()o,NCBA=60o,BC=l,AB=3.求BD的长.

A

题型①90。夹45°

【例1】如图在等腰RtAABC由NACB=90。,点D,E在AB±,ZDCE=45°,AD=3,BE=4,KIJAC的长为

题型②120。夹60°

【例2】如图，在△ABC中,AB=AC,NBAC=120。,点D,EBC边上,NDAE=60。，

的度数为

实战演练

题型③6()。夹3。

1.如图.D,E为等边△ABC的边BC上两点，［DAE=30,OE=VT3,EC=2,则BD的长为

B-

DE

题型④135。夹90°

2.如图,D,E是△ABC的边AB上两点NACB=135o,NDCE=90\CD=CE,AD=2,DE=3厕BE的长为

板块五勾股定理与全等构造（五）构双等边三角形

题型①点在等边三角形内

【例1］如图.P为等边△ABC内的一点，21=4f8=2西，。=2.求NAPC的度数

第5讲勾股定理与全等构造

板块一勾股定理与全等构造（一）倍长（类）中线

典例精讲

【例】解:延长AD至点F,使DF=DA,连接CF,

,:ZADB=ZFDC,BD=CD,

r.ADFC^ADAB,.\FC=AB=5,

L/4〃2+”C2=122+52=l69=4C2,

；・ZF=90°,

[DC=>JD^+FC2=y16\,

[8c=2002同

实战演练

1.解:延长AE交BC的延长线于点F.

VAD/7BC,

；・ZADE=ZEBF,ZDAE=NF,NACB=ZCAD=90°.

,:BE=ED,

/.△DAE^ABFE.

ABF=AD=8,AE=FE.

/.CF=BF-BC=5,

匚AC=jAB2-Bd=4,

[1AF7Ad

AE=FE=：AF=W.

22

2解:延长QM至点F,使MF=QM,连接PF,AF.易证△AMF^ABMQJOAF=BQ=6,ZB=ZMAF,

；.AF〃BC,

•・・PM_LFQ,且QM=MF,

・・・PQ=PF,过点F作CA的垂线、垂足为D,

VZC=60%

・・・NDAF=60°.在RtADAF中.DA=\AF=3.DF=3v5,

ARtADPF中.

尸尸=。加+。/=72+。y5/=76,

匚PQ=PF=2贿

板块二勾股定理与全等构造（二）一线三垂直

典例精讲

【例1]2&解:过点B作BE_LCD.交CD的延长线于点E,可证aCEB迫/XADC,

ABE=CD=2,CE=AD=4,

/.DE=CE-CD=2,

[BD=>JBE2+DE2=2y/2.

【例2】解:连接AC过点D作DE_LBC,交BC的延长线于点E.

VZABC=90°,

匚AC7AB、Bd=5,

C/1C2+C£>2=5O=JD2,

・•・ZACD=90°,

AZACB+ZDCE=90o.

VZACB+ZCAB=90°,

.\ZCAB=ZDCE.

,/ZABC=ZE=90°,AC=CD=5,

AAABC^ACED,

ACE=AB=3,DE=BC=4,

ABE=BC+CE=7,

：BD=yjBE2+DE2=y165.

实战演练

1解:分别过点A,D作BC的垂线.垂足为F,E.连接AC.

VZABC=45°,AF±BC,

LAF=BF=^AB=3,

/.FC=BC-BF=4,

匚AC7A户+Fd=5.

VCD=5,.\AC=CD,

AZCAD=ZADC=45°,

・•・ZACD=90°,

AZACF+ZDCE=90o.

VAF1BC,DE1BC,

AZAFC=ZE=90°,

/.ZACF+ZCAF=90°,

AZCAF=ZDCE,

r.AACF^ACDE,

CE=AF=3,DE=CF=4,

ABE=BC+CE=10,

[BD=1B*+DR=2回.

2.解:过点A作AO±BD于点0,作CE_LAO交AO的延长线于点E.

VAB=AD,

[BO-DO-^BD-\2,

匚AO=J蔡匚/=5.

VZBAO+ZEAC=ZACE+ZEAC=90°,

AZBAO=ZACE.

•?ZAOB=ZAEC=90°,AB=AC,

/.△ABO^ACAE,

.,.AE=OB=12,EO=7,

VZAEC=ZAOD=90°,

・・・BD〃EC,

匚SCBD=GBDOE=84.

板块三勾股定理与全等构造（三）对角互补

典例精讲

【例】解:⑴过点D作DFJ_BD,交BC的延长线于点F,

匚匚BDF=90,=1/DC,

.\ZADB=ZCDF.

•・•ZA+ZDCB+ZADC+ZABC=360°,ZADC=ZABL90。，

/.ZA+ZDCB=180°.

VZDCF+ZDCB=180°,

AZA=ZDCF.

VAD=CD,

/.△ADB^ACDF,

ACF=AB,DF=DB,

匚口8。b=901BFZiDB,

AAB+BC=CF+BC=BF,

[AB+BC=6DB；

Q)UAB+BC=\fiDB,DB=AB,

匚DB+\=V2DB,2DB=V2+1,

2

/.S四边形ABCD=SAABD+SACBD=SDCF+SCBD=SDRF=\DB-DF=；Z)5=V5+|.

实战演练

解延长BA至点E,使AE=BC=1,连接DE厕BE=AB+AE=4.过点D作DHJ_AB,垂足为H,VZBAD+ZC

ZABC+ZADC=360°,ZABC=60°,ZADC=120°,

AZBAD+ZC=180°.

VZBAD+ZDAE=180°,

/.ZC=ZDAE.

VAD=CD.AE=BC,

AABCD^AEAD,

ADE=DB,ZBDC=ZADE,

.,.ZBDE=ZADC=120°,

AZE=ZDBE=30°.

VDH±AB,ADE=2DH,

CEH=6DH,

VDB=DE,DH±BE,

匚EH=：BE=2,

匚小DH=21DH=*,

[1BD=DE=2DH=R

板块四勾股定理与全等构造(四)夹半角

典例精讲

【例1】6V2解过点C作CF_LCE使CF=CE,连接FA,FD,可得NFCA=NBCE,

可证△FCA^AECB,FA=BE=4,ZFAC=ZB=ZCAB=45°,

匚UFAD=45'+45=90,HACDFgACDE,可彳导DE=DF,

匚DF=3A卢+4Df

/.DE=5.AB=12,AC=6V2

【例2】45°解:向右作NDAS=120o,AD=AS,连接ES.

222

先证△ADE^AASEJODE=SE.又•••SC=BD,由8。2=。产+石。2得5C=£C+5E,

•••△SEC为直角三角形，

/./DFS=90。，

又「ZAED=ZAES,ANAED=45°.

实战演练

1.3解:在AE右侧作NDAF=6(r,AF=AD,连接EF,FC作EH1FC于点H则△CAF丝/XBADJCF二BD,NAC

F=ZB=60°.

二口反7/=60QCH=；EC=1,

【.由△ADE之ZXAFE,彳导EF=DE=闲,

匚777=产-£7/2=4,

.\BD=CF=FH-CH=3,

2.?解:设EB=x；gBC上方作NBCF=90\CF=BC,连接FAFE.FB8bFCE^ABCD,

4

/.FE=BD=3+x,

ZFEC=ZBDC=45°,

・•・ZFEA=90°,

可得口/C尸=1351=口力。优

AAACB^AACF,

.*.AF=AB=5+x,

[52+(3+X)2=(X+5)2,

匚

44

B

板块五勾股定理与全等构造（五）构双等边三角形典例精讲

［例1］解:在BP下方作等边△BPD,连接CD,

.\ZBPD=60°,PD=PB=2V5

VABAP^ABCD,

AAP=CD=4,

JCD=4,PD=2®PC=2,

［尸不十尸口口。/＞。=90口

•・•NBPD=60。,，ZBPC=150°,

VCD=4,PC=2,.\ZPDC=30°.

AZBDC=ZAPB=90o.

/.ZAPC的度数为360-150-90°=120°.

【例2】解以BD为边在BD左侧作等边△BDE,连接AE,

证AADE^ACDB,

ZEAD=ZBCD,AE=BC=5.

•・•在四边形ABCD中,NABC=/ADC=60。，

AZBAD+ZBCD=360°-l20°=240°,BPZEAD+ZBAD=240°,

・・・NEAB=I2O。过点E作EFJ_AB,交BA的延长线于点F,

贝」AIF=\AE=^EF=\y^.

BD=BE7EF2+B产=1

解在CD下方作等边△CDE,连接AE.

•:△ABC和^CDE均为等边三角形，

ADC=DE=CE=3,AC=BC,ZACB=ZDCE=ZCDE=60°,

AZADE=ZADC+ZCDE=90。,/BCD二NACE,

.•・ABCDg△ACE,JAE=BD=5,

AD=《Af-DE2=4.

板块六勾股定理与全等构造（六）构双等腰直角三角形

典例精讲

【例I】解过点A向上作AM_LAD,且AM=AD.连接CM.DM,则△ABD丝△ACM,MD=V2AD=5V2,ACM=B

又丁ZADM=45°,ZADC=45°,AZCDM=90°,

CM=JCN+MA瓜,

BD=>/66.

【例2】解:将△ACD绕点A顺时针旋

转90°?IJAABD：连接DD',

则AACD^AABD',

/.CD=BD',AD=AD',

△ADD为等腰直角三角形，

AD=y[2y

[DDADD=45J,

VZADB=75°,

口BDD=12(),在ABDD，中,BD-DD-2,口4。。=120,

LBD=43BD=143,□CD=2V5.

解在CP右侧作CEJ_CP.CE二CP,连接PE,BE,

AZCEP=ZCPE=45O,

P£=vJPC=4,

VZACB=ZPCE=90°,

.\ZACP=ZBCE.

VAC=BC,・•・AACP^ABCE,

・•・BE=AP=3,ZAPC=ZCEB.

匚P片+BE2=25=PB)

JNPEB=90°,

AZAPC=ZCEB=135°.

板块七勾股定理与全等构造（七）构120。的双等腰三角形

典例精讲

【例】解:在OC右侧作NDOC=ZAOB=120°,DO=CO=1,

可得cz)=v5oc=v5,

可证△ADO^ABCO,ZADO=ZBCO=60°,ZODC=30°,

・•・ZADC=90°,

在RtAADC中,AD=BC过点O作OH_LBC于点H.CH=g,OH=曰、BH=J13-泻,口"=4,CJC^^+CD2

=16+3=19,□JC=V19.

实战演练

1解将△APC绕点A顺时针旋转120。,得到△APB连接PP,过点A作AHJ_PP于点H.可得/APP三30P

P=6PA,PC寻B,

ZAPB=60°,.\ZBPP'=90°,

匚(vipxy+pKpc2,

匚3PA2=Pd-PB)

2.解才巴^ABD绕点A逆时针旋转120。得到△ACE,

连接ED,过点E作EG1CD于点G,则AE=AD,NEAD=I2O。,

AZADE=ZAED=30°,

・・・NEDG=6()。,设CD=V5X,