北师大版高中数学选择性必修第一册 第1课时 空间中的角【作业原卷+答案】

03

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系

第1课时空间中的角

A级必备知识基础练

1.［探究点一］若两异面直线［与，2的一个方向向量分别是m=（10-1）,112=（0,-1,1）,则直线与，2的夹

角为（）

A.30°B.60°C.120°D.15O0

2」探究点一］将正方形ABC。沿对角线8。折起，使得平面48。_L平面C8。,则异面直线48与CQ所

成角的余弦值为（）

A.jB.yC.-|D.-y

3」探究点二］如图，在三棱柱ABC-A\B\C\中AAi_L底面44cAAi=3/8=AGBG2,则AAi与平面

ABCi所成角的大小为（）

A.30。B.450C.60°D.9O0

4」探究点三］己知正方形A3CD所在平面外一点P,PAJ_平面ABCD若PA=A8,则平面PA8与平面

PCD所成的锐二面角的平面角为（）

A.30。B.45°C.60°D.90°

5.［探究点二、三］（多选题）如图工E_L平面ABCD,CF//AEAD!/BC^D±

ABAE=BC=2AB=AD=1,。尸=1则（

A.BD1EC

B.4尸〃平面4OE

C.二面角的平面角的余弦值为:

D.直线G?与平面区。笈所成角的正弦值为5

6.［探究点一］在长方体ABCfMiBCiQi中，已知D4=QC=4,OD］=3,则异面宜线人B与小。所成角的

余弦值为.

7」探究点三］在正方体中，点£为39的中点,则平面4EQ与平面A8CQ所成的锐二

面角的平面角的余弦值为.

8」探究点一、三2024安徼芜湖镜湖期末汝口图，在正方体ABCD-Ai8Gd中，点E,F分别是棱

BCQQi的中点.

（1）求直线&D与“所成角的余弦值；

（2）求平面4石尸与平面夹角的余弦值.

B级关键能力提升练

9.如图，在三棱锥C-OAB中,。4_10伐。。_1平面Q4e,OA=6,OB=OC=8,CE=；CB,。下分别为ABIC的

中点，则异面直线。户与OE所成角的余弦值为（）

\/106同

AA句B-^rC.

10.在空间直角坐标系O-xyz中,经过点。（如州㈤,且法向量为m=（A4,C）的平面方程为4（上期）+约「

州）+C（Z-Zo）=O,经过点P（K0,）&Z°）且一个方向向量为n=（〃,匕（"）（/”（*））的直线/的方程为02==

管，根据上面的材料解决下面的问题:现给出平面«的方程为心），+鱼2.7=0,经过点（0,0,0）的直线/的

君程为令=I=为则直线/与平面a所成角为（）

-35vZ

A.60°B.120°C.30°D.I50°

11.（多选题）如图，在直三棱柱43cx防G中＜C=C8=2.4Ak3,448=90。,则（）

CB

A

4

A点Ci到平面AiBiC的距离为I

B.点G到平面AiB.C的距离为号

C.直线AiG与平面48c所成角的正弦值为号

D.直线4G与平面人由C所成角的正弦值为詈

12.如图，三棱柱A8C-48£的侧棱与底面垂直A4kA8=AC=1,A8_LAC,N是8C的中点，点P在4历

上，且满足元=7石瓦,当直线PN与平面/WC所成的角取得最大值时，的值为（）

B

R四D等

AiBT

13/2024广东东莞月考］在三棱柱/WC-A用Ci中，侧面正方形BBiGC的中心为点立面

BBGC,且B囱=无点E满足融与猛（0夕S1）,则直线BG与平面ABC夹角的正弦值

为.

14.《九章算术》足我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直

角三角形的四面体称为鳖嚅如图,四面体PA3c为鳖嚅,P4_L平面A4CA8_L4C,且PA=A8=8C=1,则

二面角A-PC-B的平面角的余弦值为.

15.如图I,在等边三角形A4C中，点Q,石分别为边上的动点且满足QE〃4C,记£=2.将△AQE

沿QE翻折到的位置并使得平面MOE_L平面OECB,连接M丛MC得到图2,点N为MC的中

点.

M

(1)当£N〃平面MB。时，求人的值；

(2)试探究:随着，值的变化,二面角的平面角的大小是否改变?如果改变，请说明理曲如果不

改变,请求出二面角的平面角的正弦值大小.

C级学科素养创新练

16.如图，在四棱锥P-ABCD中,P4_L平面A8CQ<O〃8a4£>_LCQ,且AD=CD增,BC=2版,PA=2.

(1)取PC的中点M求证:ON〃平面PAB.

(2)求直线AC与PO所成角的余弦值.

(3)在线段P。上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACT)所成锐二面角的平面角为45。?如果存

在，求出与平面M4C所成角的大小;如果不存在，请说明理由.

参考答案

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系

第1课时空间中的角

1.B由题意，两异面直线Zi与1的一个方向向量分别是m=(l,0,-1),112=(0,可得

二企,|ii2|二&,iirn2=-l,设异面直线人与，2所成的角为。，则cos1=|cos<ni,n2>|”心=

又因为0。〈公90。,所以0=60、即直线八与/2的夹角为60°.故选B.

2.A取8。中点为0,连接AO,CO.所以4OJ_8O,CO_L8。,又因为平面A8DJL平面C8Z)且交线

为8O,4Ou平面A8Z),所以AO_L平面C8O,OCu平面CBD,则AOJ_CO,设正方形的对前线长度

为2,如图所示，建立空间直角坐标系人(0,0,0,0),C(0,1,0),D0,0,0),所以近=(1,0,・1),而=(-

11,0),cos<福CD>====所以异面直线A8与。。所成角的余弦值为去故选A.

3.A4.B

5.BC以点A为坐标原点,AB,AO工E所在直线分别为工轴、户轴、z轴,建立空间直角坐标系(图

略)，

)，所以前因为前•

则A(0,0,0),仅1,0,0),C(1,2,0),0(。』,0),E(0,0.2)/(1,2?=(-IJ,0),FC=(1,2,-2),

正=1#),则8。与EC不垂直，故选项A错误;因为标二(1,(),0)为平面4OE的法向量，又因为丽二(

02?,则前♦同二0,因为直线8RI平面AOE,所以8£〃平面AOE,故选项B正确;由题意，丽=(-

m•m=0,即

U,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-22),设平面51。的一个法向量为m=(a,b,c),则

jnBF—0,

bQ+b=0,7(

,8令〃=1,则a=l,c=q,故m=M,l,设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),则

2b+-c=0,4

7

=o,即：二0：令z=l,则x=y=2,故n=(2,2,l),故cos<m,n>=-=二面角E-BD-F

n-BE=0,-X十LZ—U,Mini

的平面角为锐角，因此其余弦值为:，故选项C正确;设直线CE与平面BOE所成的角为。.则sin

Z7=|cos<CE,n>|=^1^=小故选项D错误.故选BC.

6凄如图，以。为坐标原点,QA,O£.。/所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

标系.

由已知得A|(4,0,0),8(443)闻4,4,0),C(0,4,3)..♦・48=(0,4,3)四。二(-4,0,3),

—・♦・―・・・・・・Q

cos<418,B1C>=—.

8.解(1)以4为坐标原点，分别以直线AB工。/A为x轴,)，细,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

不妨设AB=2,则不2,1,0)尸(0.2,1)出(2,0,2),。(0,2,0),所以瓦方=(-2,2,-2),EF=(-2,1,1),

所以cos<瓦万历“驾售=।4+2,=1

1/0但尸|J22+22+22XJ(-2)2+12+12

所以直线8。与E尸所成角的余弦值为?.

⑵因为4(0,0,2),所以区41=(2-1,2).

,•

设平面4E尸的一个法向量为n=(xj,z),由n_L瓦石ml屁，则有〃丝12xy4-2z。，令工7,

ri-EF=-2%+y+z=0.

则产2,z=4,所以平面A//7的一个法向量n=(3,2,4).

易得平面AIBIGQ的一个法向量为丽*=(0,0,2).

设平面AiE产与平面A\B\C\D\的夹角为。，所以cos3=|cos<n,AA[>\=——；'，=

4V29

29,

即平面A|E/与平面AiSG功夹角的余弦值为粤.

9.B

10.C由题知，平面a的法向量m=(l,-I,企)，直线/的方向句量n=(-3,5,/)，设直线/与平面a所

成的角为0,

所以sine=lcos<m,n>%+]；：：蓝25+2=?

所以夕=30°.故选C.

11.BD以G为原点二方，画，京的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系G-x)z则Ai(2Q0)B(0,2,0),C(0Q3),所以匹瓦二(-2,2,0),卡=(-2,。,3).设平面

A内。的法向量为n,则卜竺1='2X+2、=支令x=3,得n=(3,3,2).因为砧*=(-2,0,0),所以点

(jr4iC=-2x+3z=0,

C到平面AEC的距离介乎二松。警32)=等直线4G与平面A向C所成角的正弦

估为&C],川_6_3^22

“砧所|-2XN/22-221

故选BD.

12.A如图，以A为坐标原点所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则尸(人。,1),二PN=(；-九",-1),易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0』),设直浅PN与

平面枷所成的角为。，则singcosv^n十^=^^.9^时，sin。=若此时角9

J(4)4

最大.故选A.

13.坐在三棱柱ABC-48G中，平面A8C〃平面48G,

又因为正方形88iGC,所以8G_L8C,且AiMJ_平面BBCC,以M为坐标原点，分别以直线

MB、MBi,MAi为x轴j轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

_________xy

由题意知=k=w或，则所以

4(0,0,75).8©1,0),8(1,0,0),G(-1,0,0),

砌=(0』,.&),晒=(-l,O,-&).设平面486的法向量为n=(“，,z),则『竺i=y~^二°'令

ynA1C1=-x-y/2z=0,

z二1,则A--V2,y=V2,

所以n=(-鱼,&1)也即是平面ABC的一个法向量，

又西二(20,0),设直线BCi与平面A8C的夹角为0,

Sin^=|C°S<n-5Cl>l=^=—

即直线8G与平面ABC夹角的正弦值为孚.

14.i依据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则40,0,。),8(1,0,0),P(0,0J),C(1,1,0),所以

4C=(l,l,0),4P=(0,0,1)尻=(04,0),丽=(1,0,・1).设平面APC的法向量为n产(即》,z1),则

nxAC=0,

^-AP—0,

,flJ.y'_n不妨设)『1,则汨=-1,11|=(-1,1,0),设平面尸8C的法向量为112=(12J2,Z2),则

(巧十%=5

敢叫一0,［、2—B不妨设X2=l,则Z2=1,2=0,112=(1,。,1),设二面角A-PC-B的平面角为a,

xz

ri?；PB=0,(2~z=5

由图可知。为锐角，则cosa=|cos<n,,n2>|=^-^=方==

I九11叱1V2XVZZ

15.解(1)取MB的中点为P,连接DP,PN,

B

因为MN=CN、MP=BP,所以NP//I3C.

又因为DE〃8C，所以NP〃DE,即N,EQ『四点共面，

又因为E7V〃平面BMD,ENu平面NEDP,平面NEDPC平面MBD=DP,

所以EN//PD,

即四边形NEDP为平行四边形,

所以N~=O区则OE=；8C,即；.=1.

(2)取QE的中点、。，连接MOMMO_L。2因为平面MOE,平面DEC3,平面MDECI平面

DECB=DE,且MO1DE,所以MOV平面DECB,建立空间直角坐标系，如图，

R

不妨设BC=2,则M(0,(),g/1),。(/1,(),()),8(1,8(1力,0),所以而二(〃),-8R,丽=(1・2,旧(1)),()),设平

而BMD的法向量为m=(.%*),则(竺削="-用2=0,即卜=中?•今x=O,即

{DBm=(l-A)x+V3(l-2)y=0,{x=-V3y,

m=(V3,-l,l).又因为平面EMD的法向量n=(0,l,0),所以cos<m,n>=而;=十=-也即随着2值的

变化,二面角8-MQ-E的平面角的大小不变，且sin<m,n>=口=第，所以二面角B-M4E的平

面角的正弦值为警.

16.(1)证明取BC的中点E,连接DE,交4c于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(0,-l,0)