初某中学考数学-几何变换历年真题和考点总结

§7几何变换

教学目标

教学目标

板块

A级目标B级目标C级目标

能运用平移的知识

能按要求作出简单平面图形平移后的

了解图形平移，理解平移中对应点连线平行（或在解决简单的计算问

平移图形；能依据平移前后的图形，指出平

同一条直线上）且相等的性质题；能运用平移的知

移的方向和距离

识进行图案设计

能按要求作出简单平面图形经过一次

或两次轴对称后的图形；掌握简单图形

了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对能运用轴对称进行

轴对称之间的轴对称关系，并能指出对称轴；

称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称图案设计

掌握基本图形的轴对称性及其相关性

质

能运用旋转的

了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的能按要求作出简单平面图形旋转知识解决简单的计

旋转距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此后的图形，能依据旋转前后的图形，指算问题；能运用旋转

相等的性质；会识别中心对称图形.出旋转中心和旋转角.的知识进行图案设

计.

会运用定理及其推

掌握平行线分线段成比例定理的内容

比例及定理熟知定理内容论的内容来解决相

以及其推论，同时会运用定理解决问题

似的问题

会运用相似三角形

掌握相似三角形的概念，判定及性质，

相似三角形了解相似三角形相关的知识解决有

以及掌握相关的模型

关问题

学习内容

“知识梳理

一、几何变换

1、几何变换

几何变换是一类重要的解题方法，通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理：通过几何变换可以将

互不相邻的元素集中到•起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有

意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中.

几何变换可以分为以下几类：

1.平移：即保持点沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换.平移的性质有：保持角度不变，保持几何图形

全等.

2.轴对称：将图形沿直线翻折.轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在对称轴上，保

持几何图形全等.

3.中心对称：将图形关于一个点对称.中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持几何图形全等.

4.旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度.旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应直线的夹角等

于旋转角，保持几何图形全等.

5.位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换.初中几何暂时不涉及这部分内容.

2、平移变换

1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形

状和大小.

注：⑴平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换.

⑵图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据.

⑶图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这

个特征是得出图形平移的基本性质的依据.

2.平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改

变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等（或在同一直线上），对应

线段平行且相等，对应角相等.

平移变换前后的图形具有如下性质：

⑴对应线段平行（或共线）且相等；

⑵对■应角的两边分别平行且方向一致；

⑶对应的图形是全等形.

注：⑴要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征.（2）"对应点所连的线段平行且相等〃，这个

基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据.

3.简单的平移作图

想一想：

⑴生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面

⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图

形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质（如：平移不改变图形的大小和

形状等）作图，要找出图形的关键点.

⑶平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离.

4.平移变换的方法应用

⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论

有机地联系起来.

⑵平移法在应用时有三种情况：

①平移条件：把条件中的某条线段或角平移：

②平移结论：把结论中的线段或角平移；

③同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移.

5.平移变换的主要功能：

把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种

思想我们称之为“集散思想”.或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化.

应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置.也可以使线段在保持平行且

相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的.因为应用平移变换可以

把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因

此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题.

3、翻折变换

轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.

这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.

如F图，A4BC是轴对称图形.

两个图形轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直

线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

如下图，A48c与关于直线/对称，/叫做对称轴.A和A，，B和BlC和C'是对称点.

轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系:

轴对称图形两个图形轴对称

区图形的个数1个图形2个图形

别对称轴的条一条或多条只有1条

数

联系二者都的关于对称轴对称的

对称轴的性质：

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴

是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

如图，直线/经过线段AB的中点。，并且垂直于线段AB,则直线/就是线段AB的垂直平分线.

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

如图，点P是线段A8垂直平分线上的点，则PA=PB.

线段垂直平分线的判定：

与条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线匕

成轴对称的两个图形的对称轴的画法.

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出

连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.

成轴对称的两个图形的主要性质：

①成轴对称的两个图形全等

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线

轴对称变换的方法应用：

轴对称变换是通过作图形关于•直线的对称图形的手段，把图形中的某•图形对称地移动到一个新的位置上，使图形

中的分散条件和结论有机地联系起来.常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想.

轴对称变换应用时有下面两种情况：

（1）图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；

（2）图形中有垂线条件时，可考虑用此变换.

4、旋转有关概念

旋转：把一个图形绕着某一点。转动一个角度的图形变换叫做旋转，点。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果

图形上的点尸经过旋转变为点小，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点.（如图）

注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角.

⑵每一组对应点所构成的旋转角相等.

旋转的性质：

①旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）

③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）

旋转作图的基本步骤：

山旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件：

⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度.

具体步骤分以下几步：

连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心.

转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

截：即在角的另边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点.

连：即连接所得到的各点.

5、中心对称

中心对称的有关概念：

把•个图形绕着某一点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,

这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如图）

D

B

注意：

⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角（180。）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的•种特殊关系.

⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系.

中心对称的特征：

关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.

关于中心对称的两个图形是全等图形.

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.

如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.

中心对称图形：

把一个图形绕着某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个

点就是它的对称中心.（如图⑶）

中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形.若把中心对称图形的两个部分分别看作

两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形.

关于原点对称的点的坐标特征：

两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称.

中心对称图形与旋转对称图形的比较：

名称定义区另U联系

旋转对称如果一个图形绕着某一点旋转角度不一旋转对称图形只有旋转180。才是中心

图形旋转一定角度（小于周角）定是180。对称图形，而中心对称图形一定是旋转

后能与原图形完全重合，那对称图形

么这个图形叫做旋转对称

图形

中心对称如果一个图形绕某一点旋必须旋转180。

图形转180。后能与自身重合，

那么这个图形叫做中心对

称图形

中心对,尔图形与轴对称图形比较：

名称定义基本图形区别举例

中心如果一个图形绕着某绕某一点旋转180。线段、平

对称点旋转180。后能与自行四边

图形身重合，那么这个图形、矩形、

形叫做中心对称图形三1菱形、圆

轴对

如果一个图形沿某一沿某•条直线翻折180。线段、等

图

称

条直线翻折180。后，(对折)腰三角

形

直线两旁的部分能够形、矩形、

互相重合，那么这样菱形、正

的图形叫做轴对称图方形、圆

形11

二、相似

1、比例线段

板块一比例的性质

1.巴=£="=*,这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;

bd

2.q=£o2=@（反比定理）；

bdac

3.q=£=g=9（或《=£）（更比定理）；

bdcdba

Aaca+bc+d/AUz士rm、

4.-=—<=>------=-------（合比定理）；

bdbd

5.=分比定理）；

bdbd

.aca+bc+d公八Liz士iffn

6.-=-<=>------=-------（合分比定理）；

bda-bc-d

acm...八、a+c+-+m〃/七r[/士m、

7.一=—=…=—（b+d+…+/?WO）<=>-----------------=一（等比定理1）.

bdnb+d+…+

板块二成比例线段

1.比例线段

对于四条线段。，b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如巴=£(即

bd

a.b=c-.d),那么这四条线段a,b,c,"叫做成比例线段，简称比例线段.

2.比例的项

在比例式色=£(a:h=c:d)中，a,d称为比例外项，b,c称为比例内项，”叫做a,人,c的第四比例项.

bd

三条线段3=2(a:b=b:c)中，匕叫做a和C的比例中项.

bc

3.黄金分割

ACB

如图，若线段AB上一点C把线段A6分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是48和8C的比例中项（即

AC2=ABBC）则称线段4B被点C黄金分割，点C叫线段A8的黄金分割点，其中AC=叵448=0.6184B,

2

8。二土3-」J?一48。0.38248,ACAB的比叫做黄金比.

2

板块三平行线分线段成比例定理

1.定理

三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例.

2.推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

3.推论的逆定理

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

4.三角形一边的平行线性质

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

如图，AB//CD//EF,则4£=胆，丝=空，=二=空.若将AC称为上，CE称为下，A£•称

CEDFACBDAEBFAEBF

为全，上述比例式可以形象地表示为卜?咔卜，下下关卜=卡卜，y下=下

当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“字型，"X"字型.则有8c〃”雷警，*■噜

板块四拓展定理

1、梅涅劳斯定理

梅内劳斯（Nfenelaus公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家.梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理.

梅涅劳斯定理：X、丫、Z分别是△A8C三边所在直线8C、CA.48上的点.则X、Y,Z共线的充分必要

条件是:备等I"

根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两

点在三角形的边上；或X、丫、Z三点分别都在三角形三边的延长线上.

证明：（1）必要性，即若X、Y,Z三点共线，则空.必.丝=1.

XBZAYC

设A、B、C到直线XYZ的距离分别为〃、0、c,则

生，，法上、”，，三式相乘即得空空任，2J

XBbZAaYCcXBZAYCbac

（力充分性,即若导•保关=】，则x、y、z三点共线.

设直线xz交AC于y',由己证必要性得：幺.也.2=1

XBZAYC

▽中小CXBZAY,AY'AY

又因为-----------=1,所fir以iJ一丁=—.

XBZAYCYCYC

因为1和y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上，并且能分得比值相等,所以『和y比重合为一点，也

就是X、Y>Z三点共线.

梅涅劳斯定理的应用，-是求共线线段的笔，即在露条各三个比中，已知其中两个可以求得第三个.二

是证明三点共线.

2、塞瓦定理

连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线.塞瓦（GeGevol647-1734）是意大利数

学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理.

塞瓦定理：从△ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线4X,BY,CZ.贝ijHX,BY,CZ共点的充分必要条件是

BXCYAZ,

------------------=1.

XCYAZB

充分性命题：设△4BC的三条塞瓦线AX,BY,CZ共点，则必有"L0•丝=1.

XCYAZB

必要性命题：设△ABC中，AX,BY,CZ是三条塞瓦线，如果些•包•丝=1,则AX,BY,CZ三线共点.

XCYAZB

我们先证明充分性命题.

如图，设4X,BY,CZ相交于P点，过A作边的平行线，分别交BY,CZ的延长线于8',C.由平行截割定

阳BXABCYBCAZBXCYAZ,

理，得——=—；,—=——上面三式两边分别相乘得:

XCACYAAB'ZBBCXCYAZB

我们再证明必要性命题.

4

假设AX与8y这两条塞瓦线相交于尸点，连CP交于2'.则CZ'也是一条过P点的的塞瓦线.根据已

、丁,1IMz.*-I*BXCYAZIruBXCY4Z口二—/曰1AZ4Zuu।、।4Z4Ze.1

证充分性命题，可得-----------=1,由因为-----------=1,进而可r得^=—.所以——=—,因此

XCYAZBXCYAZBZBZBABAB

AZ'=AZ.所以Z'与Z重合，从而CZ'和CZ重合，于是得出4X,BF,CZ共点.

塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用.第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题.第二

方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系

式.利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式.

2、相似三角形

板块一相似的有关概念

1.相似形

具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同，大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似

变换.

2.相似图形的特性

两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.

3.相似比

两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.

板块二相似三角形的概念

1.相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

如图，ZVIBC与△A'8'C'相似，记作aABCsZvTB'C',符号s读作“相似于”.

2.相似比

相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”，"相似形'’不一定是

“全等形

板块三相似三角形的性质

1.相似三角形的对应角相等

如图，IXABC与△A'8'C'相似，则有NA=NA',NB=NB',NC=NC'.

A

A

2.相似三角形的对应边成比例

如图，△ABC与△A'B'C'相似，则有的=隼=坐=k（k为相似比）.

A'BfB'CA'C'

3.相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.

如图1,△ABC与△4'8'C'相似，AM是△A8C中BC边上的中线，A'M'是△A'8'C'中，C'边上的中线，则有

ABBC_AC_AM

（k为相似比）.

7^B'C'~A'C'~~A'M'

如图2,△ABC与△4'B'C'相似，4H是aABC中BC边上的高线，A'”'是△A‘B'C'中B'C'边上的高线，则有

ABBC_BC__AH

k（改为相似比）.

7^B'C'-A'C'-~A'Hr

如图3,ZVIBC与△4'B'C'相似，AO是△ABC中NBAC的角平分线，4'。'是△A'B'C'中NB'A'C'的角平分线,

则有券=^=彩…券（‘为相似比）.

BDBD

图3

4.相似三角形周长的比等于相似比.

如图4,ZVIBC与△A'B'C'相似，则有?=里=半7=々（/为相似比）.应用比例的等比性质有

，夕B'CAC

ABBCACA6+8C+AC,

------=------=-------=------------------------=k.

A'B'B'C'A'C'+B'C'+A'。'

A

BC

5.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

如图5,△A3C与△A'8'C'相似，A”是△A8C中8C边上的高线，A'”'是△A‘8'C'中"C'边上的高线，则有

—­RCAH

AB_BC_AC%（女为相似比）.进而可得强凶-=（---------=隼•叫=8

拓7-B'C'_4'C'

AHS.B'C'-A'H'BCAH

2

板块四相似三角形的判定

1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角对应

相等，两个三角形相似.

3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应

成比例，两个三角形相似.

5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直

角三角形相似.

6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们

的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.

板块五相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法

1.横向定型法

欲证组=生，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC,三个字母A,B,C恰为AABC的顶点；分

BEBF

母的两条线段是BE和8F,三个字母8,E,尸恰为△8EF的三个顶点.因此只需证△ABC.

2.纵向定型法

欲证组=变，纵向观察，比例式左边的比48和8c中的三个字母4,B,C恰为aABC的顶点；右边的比两条

BCEF

线段是OE和EF中的三个字母。，E,尸恰为△OEF的三个顶点.因此只需证△48C.

3.中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变

换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时，常用到中间比.

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和

结论要熟练掌握和透彻理解.

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量

代换，进而证明之.

复合式的证明比较复杂.通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为

基本的比例式或等积式，然后进行证明.

板块六相似证明中常见辅助线的作法

在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形,同时再结合等量代换得到要证

明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.

如图：A。平分N8AC交8C于。，求证：—.

DCAC

/E

4//

证法一：过C作CE〃A£>,交BA的延长线于E./N

NI=NE,N2=N3.

：N1=N2,?.Z3=ZE.二AC=AE.

BDC

...BDBA_BA

DCBEAC

点评：做平行线构造成比例线段，利用了"A”型图的基本模型.A

/h

证法二；过B作AC的平行线,交AD的延长线于E.B~~C

Z.Nl=N2=NE,，.'/

AB=BE1/

AB\/

'：BE//AC,——.\/

DCAC.ACu

V

E

点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型.

板块七相似证明中的面积法

面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题.

常用的面积法基本模型如下：

<-BCAH„„

如图：2^=2--------=处

XCD

SAACDCD-AH

2

JJ

c—BC-AHAAc

如图:S△八sc_2AH_A。

S^BCD1.BC,DGDG°D

2

ABADAB-AD

如图:_S/\ABD%A?。

SaACES^AE/JS4ACE~AE^AC~AEAC

板块八相似证明中的基本模型

AA

例题讲解

板块一：几何变换

考点一：轴对称图形

例1(2012•柳州)娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是()

.圆等边三角形矩形等腰梯形

考点：轴对称图形.

分析：根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可.

解答：解：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；

B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；

C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；

D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误.

故选C.

点评：本题考查轴对称图形的概念，解题关键是能够根据轴对称图形的概念正确找出各个图形的对称轴的条数，属于

基础题.

例2(2012•成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(-3,5)关于y轴的对称点的坐标为()

A.(-3,-5)B.(3,5)C.(3.-5)D.(5,-3)

考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标.

分析：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答.

解答：解：点P(-3,5)关于y轴的对称点的坐标为(3,5).

故选B.

点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

对应训练

考点：轴对称图形.

专题：常规题型.

分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.

解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选B.

点评：本题考查了轴对•称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对■称轴，图形两部

分沿对称轴折叠后可重合.

2.(2012•沈阳)在平面直角坐标系中，点P(-1,2)关于x轴的对称点的坐标为()

A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(2,-1)D.(-2,1)

考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标.

分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答.

解答：解：点P(-1,2)关于x轴的对称点的坐标为(-1,-2).

故选A.

点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

考点二：最短路线问题

例3(2012•黔西南州)如图，抛物线丫=，x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A(-1,0),点M(m,

2

0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是()

25

D.

41

考点：轴对称-最短路线问题；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质.

分析：首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C',求得直线C'D的解析式，与x轴的交点的

横坐标即是m的值.

解答：解：丁点A（-1,0）在抛物线y='x2+bx-2上,

2

-X(-1)2+bx(-1)-2=0,

2

3

b=—，

2

13

抛物线的解析式为y=-x2--x-2,

22

顶点D的坐标为（?3，-上25），

28

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小.

设抛物线的对称轴交X轴于点E.

：ED〃y轴,

：.ZOCrM=ZEDM,ZCZOM=ZDEM

.•.△C'OM^ADEM.

.OM_PC

"~EM~~ED'

即，一=2,

325

----m一

28

.24

..m=——.

41

故选B.

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式,

作出辅助线，找对相似三角形.

对应训练

3.（2012•贵港）如图，MN为。。的直径，A、B是。。上的两点，过A作AC_LMN于点C,过B作BD_LMN于点D,

P为DC上的任意一点，若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是.

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.

专题：探究型.

分析：先由MN=20求出。0的半径，再连接OA、0B,由勾股定理得出OD、0C的长，作点B关于MN的对称点B',

连接AB',则AB'即为PA+PB的最小值，B'D=BD=6,过点B'作AC的垂线，交AC的延长线于点E,在RtZ\AB'E

中利用勾股定理即可求出AB'的值.

解答：解：：MN=20,

AOO的半径=10,

连接OA、OB,

在RtZXOBD中，OB=10,BD=6,

0D=yJOB--BD-=A/102-62=8：

同理，在RtZ\AOC中，OA=10,AC=8,

0C=yjOA2-AC2=A/102-82=6,

：.CD=8+6=14,

作点B关于MN的对称点B',连接AB',贝ljAB'即为PA+PB的最小值，B'D=BD=6,过点B'作AC的垂线，交AC

的延长线于点E,

在RtAAB;E中，

；AE=AC+CE=8+6=14,B'E=CD=14,

.•.AB'=^AE2+B'E2=V142+142=1472.

故答案为：14&.

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾

股定理求解是解答此题的关键.

考点三：中心对称图形

例4（2012•襄阳）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

考点：中心对称图形；轴对称图形.

分析：依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答.

解答：解：B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但

不是轴对称图形.

故选A.

点评：对轴对称与中心对称概念的考查：

如果一个图形沿着•条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

如果••个图形绕某一点旋转180。后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

对应训练

4.（2012•株洲）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

考点：中心对称图形；轴对称图形.

分析：根据中心对称图形的定义旋转180。后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果

-个图形沿-条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判

断出答案.

解答：解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确：

D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误.

故选C.

点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴.

考点四：平移旋转的性质

例5（2012•义乌市）如图，将周长为8的aABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为（）

A.6B.8C.10D.12

考点：平移的性质.

分析：根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案.

解答：解：根据题意，将周长为8个单位的等边AABC沿边BC向右平移1个单位得到aDEF,

，AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC；

又：AB+BC+AC=8,

四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=l+AB+BC+l+AC=10.

故选；C.

点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对

应线段平行且相等，对应角相等.得至lJCF=AD,DF=AC是解题的关键.

例6（2012•十堰）如图，。是正aABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60。

得到线段B。'，下列结论:①△B。'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60。得到;②点0与0'的距离为4；③NAOB=150。；

r9r-

④S四边形AOBO=6+3>/3；⑤SAAOC+SAAOB=6+—.其中正确的结论是（）

4

A.①②③⑤B.©©③④C.①②③④⑤D.①②③

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理.

分析：证明△B。'A四△BOC,又NOBO'=60。，所以△B。'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60。得到，故结论①正

确；

由△0B。’是等边三角形，可知结论②正确：

在△AOO'中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数，