全等三角形详解-六大模型

全等三角形六大模型

学生版

【例1】(2020秋•襄城区期末)如图，点8、E、。、尸四点在一条直线上，NA=N。，AB//DE,老师说:

再添加一个条件就可以使△A8C空△QER下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=OE；乙说:

添加AC〃OF；丙说：添加IBE=C尸.

(1)甲、乙、丙三个同学说法正确的是______;

(2)请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明.

【变式1-11(202()秋•苏州期末)如图,1。，8尸相交于点0,DF,AB=DF,点E与点C在/好上,

且BE=CF.

(1)求证：△ABCWADFE：

(2)求证：点。为8尸的中点.

【变式1-2］（2020秋•富顺县校级月考）如图1,4,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE//AF,且及七

=AF,求证：△AFC/ADEB,如果将BO沿着AO边的方向平行移动，如图2,3时，其余条件不变，

结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

⑴⑵(3)

【变式1-3］（2021春•雁塔区校分期中）如图①点4、B、C、D在同一直线上，AB=CD,作CE_LAD,BF

LAD,且AE=OF.

（1）证明：即平分线段6G

（2）若沿4。方向平移得到图②时，其他条件不变，（I）中的结论是否仍成立？请说明理由.

【题型2轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【例2】（2020秋•杭州校级月考）如图，在△ABC和△84。中，AC与8。相交于点£已知AQ=8C,另

外只能从下面给出的三个条件①/D4B=NC84,②③NZ）8A=NC4B选择其中的一个用来

证明在△A8C和全等，这个条件是.（填写编号），并证明△ABC之△BAD.

【变式2-1］如图，AB=AC,BEVACE,CO_L4B于。，BE、CO交于点O,求证：08=OC.

【变式2-2］（2020秋•海珠区校级期中）如图，PBVAB,PCLAC,PB=PC,。是4尸上一点.求证：Z

BDP=ZCDP.

【变式2-3］如图，AI3=AC,。、£分别是A3、4c的中点，AMJ_C。于M,ANLBE干N.

求证：AM=AN.

【题型3旋转模型】

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋

转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加〔减）公共角的条件.

【常见模型】

【例3】（2020秋•渝水区校级期中）如图，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.求证：ZABD=ZACE.

【变式3-1］（2020秋•怀宁县期末）如图，已知：AD=AB,AE=AC,ADLAB,AELAC.猜想线段CO与

BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想.

【变式3-2］（2020秋•合江县月考）已知△44C和△AOE均为等腰三角形，且NZMC=ND4E,AB=AC,

AD=AE.

（1）如图1,点E在8c上，求证：BC=BD+BEx

（2）如图2,点E在CB的延长线上，求证：BC=BD-BE.

D

图1图2

【变式3-3]（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△AOE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE

=90°.

（1）当点D在人C上时，如图①，线段80,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想;

（2）将图①中的△AOE绕点人顺时针旋转a（0°<a<90°）,如图②，线段BO,CE有怎样的数量关

系和位置关系？请说明理由.

【题型4一线三等角模型】

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD_LDE,AB1AC,CE1DE,那么一定有NB=NCAE.

【常见模型】

【例4】(2020秋•覃塘区期中)己知：D,A,£三点都在直线，??上，在直线机的同一侧作△A8C,使A6

=AC,连接8Q,CE.

(1)如图①，若N8AC=90°,BDLm,CELn,求证：丝△ACE；

(2)如图②，若/BDA=/AEC=/BAC,请判断BD,CE,OE三条线段之间的数量关系，并说明理

由.

【变式4-1](2020春•香坊区期末)如图，在△ABC中，点。是必8C上一点，CD=AB,点E在边AC上,

且/BAD=/CDE.

(1)如图1,求证：BD=CE；

(2)如图2,若DE平分NADC,在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与NAOE相等的角(N

AOE除外).

【变式4-2］（2020春♦历下区期中）C。是经过N4cA定点C的一条直线，CA=CB,E、F分别是直线CO

.上两点，且N8£C=NC&=/0.

（1）若直线CO经过N8C4内部，且E、尸在射线CO上，

①若N8C4=90°,ZP=9O°,例如图1,贝ij8ECF,EF\BE-AF].（填

②若0°<ZBCA<180°,且NB+N8c4=180°,例如图2,①中的两个结论还成立吗？并说明理由;

（2）如图3,若直线CD经过N8C4外部，且N0=N8C4,请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系

（不需要证明）.

【变式4-3］（2020秋•余杭区月考）如图①，点B、。在NM4N的边AM、AN上，点、E,尸在/MAN内部

的射线A。上，ZKN2分别是△A8E、ZiCA尸的外角.已知A8=AC,Z1=Z2=ZBAC.求证：△

ABE^^CAF.

应用：如图②，在△ABC中，AB=AC,点。在边BC上，且CD=2BD,点E,尸在线段AD

上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面积为15,求△/WE与△€?£）厂的面积之和.

【题型5倍长中线模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添

加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

【例5】（2020秋•津南区校级期中）己知：在aABC中，AD是BC边上的中线，E是4。上一点，且8E=

AC,延长BE交4c于F,求证：AF=EF.

【变式5-1］（2020春•大庆期末）如图.AB=AE,ABLAE,AD=AC.八。_1_人。，点例为8c的中点，求

证：DE=2AM.

E

D

BKfC

【变式5-2］（2020秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AB>AC,E为8c边的中点，AZ）为NBAC的

平分线，过后作A。的平行线，交/1B于F,交C4的延长线于G.

求证：BF=CG.

【变式5-3］（2020秋•安陆市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他

们一起活动吧.

【探究与发现】

（1）如图1,AD是的中线，延长人。至点£使£Z>=4£>,连接BE,写出图中全等的两个三角

形__________________

【理解与应用】

（2）填空：如图2,EP是AOE产的中线，若EF=5,DE=3,设则x的取值范围是.

（3）已知：如图3,人。是△ABC的中线，/BAC=NAC8,点Q在8C的延长线上，QC=BC,求证:

AQ-1AD.

【题型6截长补短模型】

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;

补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以

【例6】（2020秋•涪城区校级月考）如图，AB//CD,E为AO上一点，且8£、C£分别平分NAZJC,NBCD.

求证：AE=DE.

【变式6-1］（2020秋•靳春县期中）如图，AB//CD,8E平分乙ABC,CE平分乙BCD,若E在A。上.

求证：（1）BE±CE：

(2)BC=AB+CD.

【变式6-2］（2020秋•新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+

ZAED=180°,求证：DA平分/CDE.

A

【变式6-3］（2020秋•北流市期中）已知△ABC中，BD,CE分另J平分NA8C和/ACB,BD、CE交于点O.

（1）直接写出NBOC与N4的数量关系;

（2）若NA=60°,利用（1）的关系，求出NBOC的度数;

（3）利用（2）的结果，试判断BE,CD,8C的数量关系，并证明.

全等三角形六大模型

教师版

【题型1平移模型】

【例1】（2020秋•襄城区期末）如图，点8、E、C、尸四点在一条直线上，NA=NO,AB//DE,老师说:

再添加一个条件就可以使△。匹F.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添力口乙说:

添加AC〃。丹丙说：添加BE=CK

（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是;

（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明.

【解题思路】（1）根据平行线H勺性质，由可得N8=NOEC,再加上条件NA=ND,只需要添

加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC〃。/不能证明

（2）添加48=。£然后再利用ASA判定△48Cg△。所即可.

【解答过程】解：(I)说法正确的是：甲、丙,

故答案为：甲、丙；

(2)证明：*：AB//DE,

：,ZB=ZDEC,

在Z\A8c和△。七/中

(Z-A=ZD

\AB=DE，

【乙8=(DEF

：.(ASA).

【变式1-1](2020秋•苏州期末)如图，AD,Br相交于点O,AB//DF,AB=DF,点E与点C在B尸上,

且BE=CF.

(1)求证：△ABgADFE；

(2)求证：点。为4b的中点..

【变式1-2](2020秋•富顺县校级月考)如图1,4,B,C,。在同一直线上，AB=CDtDE//AF,且。石

=AF,求证：△AFgADEB.如果将BO沿着AO边的方问平行移动，如图2,3时，其余条件不变，

结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

EEE

【变式1-3］（2021春•雁塔区校级期中）如图①点4、B、C、。在同一直线上，A8=CO,作CEJ_A。，BF

LAD,RAE=DF.

（1）证明：E尸平分线段8C；

（2）若△8/7）沿人。方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.

【题型2轴对称模型】

【例2】（2020秋•杭州校级月考）如图，在3c和△ZM3中，4C与4。相交于点E,已知AO=4C,另

外只能从下面给出的三个条件①NOA8=NC8A,②NO=NO③NO8A=NCA3选择其中的一个用来

证明在△A8C和△84。全等，这个条件是.（填写编号），并证明△ABC名△BAO.

D

AB

【解题思路】选择条件①，根据全等三角形的判定定理SAS进行证明即可.

【解答过程】解•：这个条件是：①，证明如下:

在△A8O与△84。中，

(BC=AD

\z-CBA=Z.DAB,

<BA=AB

/.^ABC^ABAD(SAS).

【变式2-1］如图，AB=AC,BELAC^E,CO_LAB于。，BE、CD交于点O,求证：OB=OC.

【变式2-2］（2020秋•海珠区校级期中）如图，PBA.AB,PCLAC,PB=PC,。是AP上一点.求证：Z

BDP=ZCDP.

【变式2-3】如图，A/3=4C,。、E分别是A8、4c的中点，AA1J_C。于M,AN1BE千N.

求证：AM=AN.

A

【题型3旋转模型】

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋

转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.

【常见模型】

【例3】（2020秋•渝水区校级期中）如图，AB=AC,AD=AE,ZBAC=^DAE.求证：ZABD=ZACE.

【解题思路】根据等式的性质得出NB4O=NCAE,利用SAS证明△A8。与△ACE全等，进而解答即可.

【解答过程】证明：・・・N84C=NZME,

/.ABAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△A8O与aACE中，

(AB=AC

{/.BAD=Z.CAE,

[AD=AE

:.XABDWRACE(SAS),

・•・NABD=ZACE.

【变式3-1](2020秋♦怀宁县期末)如图，已知：AD=AB,AE=AC,AD1AB,AE1AC.猜想线段CO与

BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想.

【变式3-2](2020秋•合江县月考)已知△4BC和△AOE均为等腰三角形，且N84C=ND4E,AB=AC,

AD=AE.

(1)如图1,点E在BC上，求证：BC=BD+BE；

(2)如图2,点石在C8的延长线上，求证：BC=BD-BE.

【变式3-3](2021春•浦东新区期末)如图，在△ABC和△AOE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE

=90°.

（1）当点。在AC上时，如图①，线段8。，有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想：

（2）将图①中的△AOE绕点A顺时针旋转a（00<a<90°）,如图②，线段8。，C£有怎样的数量关

系和位置关系？请说明理由.

【题型4一线三等角模型】

【例4】（2020秋•覃塘区期中）已知：。，A,E三点都在直线"?上，在直线机的同一侧作△A8C,使AB

=AC,连接B。，CE.

(1)如图①，若/B4C=90°,BDLn,CELnu求证：AABD^/^ACE；

（2）如图②，若N3D4=NAEC=/84C,请判断BD,CE,OE三条线段之间的数显关系，并说明理

由.

图①图②

【解题思路】(1)根据3Q_L直线〃?，。£_1_直线机得N3D4=NC£A=90°,而NB4C=90°,根据等

角的余角相等得NC4£=NA8D,然后根据“A4S”可判断△ADBgACEA：

(2)由N8D4=NAEC=NBAC,就可以求出NBAO=NACE,进而由ASA就可以得出△84。空△ACE,

就可以得出BO=AE,DA=CE,即可得出结论.

【解答过程】解：(1)证明：如图①，VD,A,E三点都在直线加上，ZBAC=90°,

••・NB4O+/CAE=90°，

VBDlrn,CELrn,

：.ZADB=ZCEA=90°,

・・・NBW+NABO=90°,

：.NABD=NCAE,

在△ABO和△AC£中，

<Z-ADB=Z.AEC

I2LABD=Z.CAE,

lAB=AC

AAABD^AACE(AAS)；

(2)DE=BD+CE.

理由是：如图②，VZBDA=^AEC=ZBAC,

・••由三角形内角和及平角性质，得：

ZBAD+ZABD=ZBAD+ZCAE=ZCAE+ZACE,

：.ZABD=ZCAE,ZBAD=ZACE,

在△A8D和△ACE中，

(Z-ABD=LCAE

\AB=AC,

[^BAD=/.ACE

:.XABD咨XACE(ASA),

：・BD=AE,AD=CE,

・•・DE=AD+AE=BD+CE.

【变式4-1］（2020春•香坊区期末）如图，在△ABC中，点D是边8c上一点，CD=AB,点E在边AC上,

且4。=。£ZBAD=ZCDE.

（1）如图1,求证：BD=CEx

（2）如图2,若。七平分/4）已在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与NAOE相等的角（N

AOE除外）.

【变式4-2］（2020春•历下区期中）CO是经过N8CA定点C的一条直线，CA=CB,E、产分别是直线CO

上两点，且N8EC=NC悌=/0.

（1）若直线CQ经过N8C4内部，且从尸在射线CO上，

①若NBC4=90°,/0=90°,例如图1,贝ijBECF,EF\BE-AF］.（填“>"V"，"=”）；

②若0°<NBC4<180°,且N0+/8C4=18O°,例如图2,①中的两个结论还成立吗？并说明理由；

（2）如图3,若直线CD经过N8CA外部，且/B=NBCA,请直接写出线段石/、BE、AF的数量关系

（不需要证明）.

【变式4-3］（2020秋•余杭区月考）如图①，点仄C在NAMN的边AM、AN上，点、E,尸在NM4N内部

的射线AO上，/I、N2分别是△人BE、△G4尸的外角.已知人B=AC,ZI=Z2=ZBAC.求证：△

XBE@XCAF.

应用：如图②，在△ABC中，A8=AC,AB>BC,点。在边4c上，且CD=2BD,点、E,F在线段A。

上.Z\=Z2=ZBAC,若△ABC的面积为15,求AABE与△「£）产的面积之和.

【题型5倍长中线模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决儿何问题时，常常采用“倍长中线法”添

加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

【例5】（2020秋•津南区校级期中）己知：在△ABC"AO是灰?边上的中线，E是A。上一点，且8E=

AC,延长BE交AC于F,求记：AF=EF.

【解题思路】根据点。是的中点，延长人。到点G,得到△AOCgAGOB,利用全等一:角形的对应

角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明4七等于七只

【解答过程】证明：如图，延长A。到点G,使得AO=QG,连接4G.

•・・AO是6c边上的中线（己知），

:.DC=DB,

在△AOC和△GO8中，

（AD=DG

\^ADC=乙GDB（对顶角相等）

[DC=DB

:.XADC空丛GDB(SAS),

：,ZCAD=ZG,BG=AC

又.：BE=AC,

:・BE=BG,

：・/BED=NG,

■:乙BED=/AEF,

，ZAEF=ZCAD,

即：ZAEF=ZME,

：.AF=EF.

【变式5-1］（2020春•大庆期末）如图.AB=AE,ABLAE,AD=AC.AO_LAC,点M为BC的中点，求

证：DE=2AM.

【变式5-2］（2020秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AB>AC,E为8C边的中点，AZ）为N84c的

平分线，过E作4。的平行线，交A8于F,交C4的延长线于G.

求证：BF=CG.

G

【变式5-3](2020秋•安陆市期中)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他

们一起活动吧.

【探究与发现】

(1)如图I,八。是△人4c的中线，延长人。至点E,使石。=人。，连接写出图中全等的两个三角

形__________________

【理解与应用】

(2)填空：如图2,£户是△£)£尸的中线，若EF=5,DE=3,设则x的取值范围是.

(3)已知：如图3,AO是△A8C的中线