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文档简介

2027届新高考数学热点精准复习二元不等式的证明

知识拓展

策略一对称化构造f(x)=0等价于2a=-xlnx,易知f(x)的定义域为(0,+∞),由题意知f(x)=0有两个不相等的正根,则关于x的方程2a=-xlnx有两个不相等的正根,即直线y=2a与曲线y=-xlnx在x∈(0,+∞)上有两个交点.

(2)证明:x1+x2>4a.

即g(x)单调递减,所以g(x)>g(2a)=0,所以g(x1)=f(x1)-f(4a-x1)>0,即f(x1)>f(4a-x1),故x1+x2>4a.感悟提升

(3)判断单调性:对F(x)求导,讨论F(x)的单调性,从而判断F(x)在极值点单侧的正负,得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系.(4)比较大小:代入x1或x2,根据f(x)与f(2x0-x)的大小关系,借助f(x1)=f(x2)将自变量统一到极值点同侧,再通过f(x)的单调性得出结论.训练1(2026·青岛调研)已知函数f(x)=x-lnx-a.(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;

(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.

例2(2026·杭州质检节选)若x1,x2是函数f(x)=ex-ax(x>0)的两个零点,且x1<x2,求证:x1+x2>2且x1x2<1.策略二比(差)值换元

感悟提升比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差),继而将所求解问题转化为关于t的函数问题.

指数、对数均值不等式拓展视野

在对数均值不等式中,令a=em,b=en,则lna=m,lnb=n,从而可得指数均值不等式.

①②

训练

(2026·郑州调研节选)已知函数f(x)=ex-ax(a>1)有两个不同的零点x1,x2,x1<x2,求证:x1+x2>2.

3.(2026·武汉质检节选)已知函数h(x)=lnx和g(x)=ax,若存在两个实数x1,x2,且x1≠x2,使得h(x1)=g(x1),h(x2)=g(x2),证明:x1x2>e2.

4.(2026·重庆诊断)已知函数f(x)=lnx-ax有两个零点.(1

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