初中数学八年级下册《矩形的折叠：变换中的不变量与通法》教案

初中数学八年级下册《矩形的折叠：变换中的不变量与通法》教案

一、教材与学情分析

（一）教材分析

本节课“矩形的折叠：变换中的不变量与通法”属于初中数学八年级下册的教学内容，其知识根系深植于七年级学习的全等三角形、轴对称性质，以及本册刚刚掌握的平行四边形、矩形性质与勾股定理。它并非孤立的知识点，而是将这些核心知识通过“折叠”这一动态变换进行统摄与融合的综合应用课。从知识体系的建构来看，矩形的折叠问题完美体现了“图形与几何”领域中“变化中的不变性”这一核心哲学思想，是培养学生几何直观、逻辑推理和数学抽象素养的绝佳载体。它既是矩形性质应用的延伸，更是后续学习相似三角形、三角函数乃至高中解析几何的重要铺垫。

（二）学情分析

八年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经掌握了全等三角形、矩形性质、勾股定理等基础知识，具备了一定的识图和简单推理能力。然而，面对矩形折叠这种动态、抽象的几何变换问题时，学生的思维障碍通常体现在三个方面：一是难以想象折叠前后的图形位置变化，空间观念有待加强；二是无法精准捕捉折叠变换中的【非常重要】不变量（如对应边相等、对应角相等、折痕的性质）；三是面对复杂图形时，不会将分散的线段和角通过转化思想集中到一个可解的直角三角形中。因此，本节课的核心任务不是讲授新知识，而是引导学生在“动”中寻“静”，在“变”中抓“不变”，帮助学生跨越从直观感知到逻辑推理的鸿沟，构建解决此类问题的思维模型。

二、教学目标与核心素养

1.理解并掌握矩形折叠问题的本质是轴对称变换，能精准识别折叠前后的【基础】对应点、对应边、对应角以及【高频考点】折痕的垂直平分线性质。

2.经历从简单的矩形折叠操作到复杂图形分析的探究过程，学会运用勾股定理、全等三角形等知识建立方程模型，解决折叠图形中的线段长度计算问题，体会【非常重要】方程思想、转化思想和数形结合思想。

3.通过对不同折叠方式的分类探究，能够提炼出解决矩形折叠问题的基本策略（找等量、设未知数、构Rt△、列方程），提升几何直观和逻辑推理能力，培养批判性思维与发散性思维。

4.在小组合作与动手实践中，感受几何图形的对称美与数学逻辑的严谨性，增强探究欲望和学习自信心，形成良好的数学思维品质。

三、教学重难点

1.【重要】教学重点：探寻矩形折叠运动中的不变量，利用轴对称的性质和勾股定理求解线段长度。

2.【难点】教学难点：灵活运用转化思想，将复杂的折叠图形分解、重构为基本的几何模型（如“K”型图、子母型相似等），并建立方程模型解决问题。

四、教学实施过程

（一）创设情境，激活思维——从生活到数学

课堂伊始，我并未直接抛出抽象题目，而是给每位学生分发一张矩形纸片。我提出一个看似简单的任务：“请你想办法，通过一次折叠，使矩形的一个顶点落在它的对边上。”学生们立刻动手操作，课堂气氛瞬间活跃。在学生展示不同的折法时，我利用几何画板动态演示这一过程，并追问：“在刚才的折叠过程中，什么发生了变化？又有什么始终没有改变？”这一问题直指数学本质，引导学生初步感知折叠是一种轴对称变换。学生们通过观察和讨论，能够总结出：图形的位置和形状发生了改变，但折叠前后图形的大小、形状不变，即【基础】全等性，且【重要】折痕所在的直线就是对称轴，也是对应点连线的垂直平分线。这一环节的设计，不仅让学生在“做数学”中积累了基本活动经验，更将生活情境抽象为数学问题，为后续的深入探究埋下了伏笔。

（二）初探模型，提炼通法——从操作到推理

在学生建立初步感知后，我顺势呈现本节课的第一个核心探究问题，这是一个源于教材又略高于教材的经典问题：

“如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B恰好落在对角线AC上的点F处。求BE的长。”

这是一个典型的【高频考点】“单点折叠”问题。我并未直接讲解，而是将探究的主动权交给学生，采用“问题链”的方式逐层深入：

第一个问题：“折叠的核心条件是什么？你能从中得到哪些结论？”学生基于轴对称性质，很快能找到：△ABE≌△AFE，从而得出AB=AF=8，BE=FE，∠AFE=∠B=90°。

第二个问题：“我们要求的是BE的长，但BE既在直角三角形中，又未知。如何利用已知的边长（AB=8,AD=BC=10）与其建立联系？”此问旨在引导学生发现，AF已知为8，则对角线AC可通过勾股定理求得为√(AB²+BC²)=√(64+100)=2√41，那么FC=AC-AF=2√41-8。这一步骤至关重要，它实现了已知与未知的首次“链接”。

第三个问题：“现在，BE（或EF）与FC以及EC（即BC-BE=10-BE）同在Rt△EFC中，这不就是我们熟悉的直角三角形吗？”至此，学生恍然大悟，在Rt△EFC中，利用勾股定理：(10-BE)²=BE²+(2√41-8)²。通过解这个方程，BE的长度便迎刃而解。

求解完毕后，我引导学生进行复盘，共同提炼出解决此类问题的【非常重要】“三步曲”：

第一步：找等量。根据轴对称性质，标记出所有相等的边和角，以及垂直关系。

第二步：设未知。通常将所求线段或与所求密切相关的线段设为未知数x。

第三步：构方程。将已知量和未知量通过勾股定理、相似或全等关系，集中到同一个直角三角形中，列出方程求解。

这一环节，我摒弃了题海战术，而是通过一个精典例题的深度剖析，让学生自己“悟”出解题的通法，实现了从“学会一道题”到“会解一类题”的跨越。

（三）变式拓展，深化模型——从单一到多元

当学生对基本模型有了深刻理解后，我进一步引导学生探究更为复杂的折叠情形，即【热点】“双点联动”或“隐性的折叠”。我展示了第二个问题：

“在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将矩形折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长。”

这个问题初看之下，学生往往无从下手，因为折痕EF并非矩形的一边，也不与任何已知边平行。此时，我再次引导学生回到折叠的本质：

第一个追问：“点B与点D重合，对称轴是谁？”学生立刻明白，折痕EF即为点B、D连线的垂直平分线。我随即让学生画出草图，并连接BD、BE、DF。

第二个追问：“垂直平分线带来了哪些新的等量关系？我们能证明四边形BEDF是一个特殊的四边形吗？”通过小组讨论，学生利用垂直平分线的性质得到EB=ED，再结合矩形对边平行，可以证明∠EBD=∠FDB，从而推出BE∥DF，进而证明四边形BEDF是菱形。至此，问题转化为“在Rt△ABE中，已知AB=6，AE+EB=8，且EB=ED，求菱形对角线EF的长”。

第三个追问：“目标已经转化到了Rt△ABE，设AE=x，则BE=8-x，利用勾股定理即可求出x。但EF如何求？”这又是一个新的难点。我提示道：“在菱形中，求对角线除了用边长，还常用什么性质？”学生回忆起来：菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高。于是，连接BD，利用菱形面积=AB×(AD-AE-FC)？不，这里要小心。实际上是菱形面积=矩形面积减去两个三角形面积，或者更直接地，利用菱形面积=底×高=AB×(AD-AE)？此处理应引导学生准确找出菱形的高即为AB，而菱形的底是BE。但高不是AD，需修正。严谨的做法是：菱形BEDF中，已知BE=8-x（已求出），又知道BD（通过Rt△ABD可求），利用面积=(1/2)×BD×EF=BE×AB，从而建立方程求解EF。

这一变式，难度陡然上升，它综合了垂直平分线性质、菱形判定、勾股定理、面积法等多种知识，对学生的综合分析能力提出了更高要求。我在这个环节扮演的是“推手”角色，不断用追问激发学生思考，让他们在“山重水复疑无路”的困境中，体验“柳暗花明又一村”的思维快感，深刻体会转化思想在解决复杂问题中的魅力。

（四）高阶探究，触类旁通——从模型到素养

为了满足优等生的学习需求，并进一步拓宽全体学生的思维边界，我引入了更具挑战性的问题，即【难点】“角的折叠与存在性问题”：

“在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上的一动点，将△ABE沿AE折叠，当△B‘EC为直角三角形时，求BE的长。”

此题打破了以往条件充足的常规，加入了“分类讨论”这一重要的数学思想。我组织学生进行小组探究，并要求他们画出所有可能的情形。

经过激烈的讨论与图形绘制，学生发现，由于折叠后点B的落点B’位置不确定，导致△B‘EC为直角三角形需要分三种情况讨论：∠B’EC=90°、∠EB‘C=90°、∠B’CE=90°。其中，∠B‘CE=90°的情况不可能存在，因为B’C是折痕AF的对应线段？需要仔细推理。在探究过程中，学生不仅要熟练运用折叠性质，更要具备敏锐的空间想象力和严谨的分类意识。当∠EB‘C=90°时，通过证明A、B’、C三点共线，将其转化为类似“初探模型”的问题；当∠B‘EC=90°时，则需要构造“一线三垂直”模型，利用相似三角形求解。

这一环节的设计，将问题从“定值计算”推向“动点存在性探究”，极大地挑战了学生的思维深度。学生在分类讨论中，思维的严密性得到锤炼；在模型构造中，几何直观和建模能力得以提升。我则在各小组间巡回指导，适时点拨，鼓励学生展示自己的分类图形和求解过程，让不同的思维火花在碰撞中迸发。

（五）归纳总结，画龙点睛——从碎片到网络

临近下课，我并未急于布置作业，而是引导学生回顾本节课的探究历程，从知识和思想方法两个维度进行总结。

知识层面，我们再次强调了矩形折叠的本质是轴对称变换，涉及的全等、勾股、相似等知识并非孤立，而是通过“折叠”这根线串联成了一个知识网络。

思想方法层面，这是本节课的点睛之笔。我和学生一起提炼出三大核心思想：

其一，【非常重要】转化思想：将复杂的折叠图形问题，通过找对应点、对应边，转化为熟悉的三角形或特殊四边形问题。

其二，【非常重要】方程思想：当几何中的等量关系无法直接计算时，设出未知数，利用勾股定理或相似比建立方程，是解决几何计算问题的“万能钥匙”。

其三，分类讨论思想：当图形的位置不确定时（如动点问题），必须全面考虑各种可能性，避免漏解。

最后，我用一句话作为小结：“折叠千变万化，但‘轴对称’的性质亘古不变。抓住不变量，方得以应万变。”这一总结，将碎片化的知识升华为统摄性的数学观念，有助于学生构建良好的认知结构。

（六）分层作业，巩固延伸——从课内到课外

为了实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”这一课标理念，我设计了分层作业：

1.【基础必做】完成课后练习题中关于矩形折叠的基架题，旨在巩固本节课提炼的“三步曲”解题通法。

2.【拓展选做】寻找一道包含矩形折叠的中考真题或改编题，尝试用一题多解（如用相似、勾股、三角函数）的方式求解，并比较不同解法的优劣，旨在培养发散性思维。

3.【探究挑战】以小组为单位，利用矩形纸片，设计一个包含折叠的数学问题，并给出解答，下节课进行“最强大脑”评比。此作业旨在激发学生的创造力和探究热情，将数学学习延伸至更广阔的时空。

五、板书设计

一、本质：轴对称变换

（全等性：对应边等、对应角等）

（垂直平分性：折痕垂直平分对应点连线）

二、通法：“三步曲”

1.找等量（标记全等）

2.设未知（巧设未知数）

3.构方程（Rt△或相似）

三、思想

转化思想

方程思想

分类讨论

四、学生展示区

（典型例题的图示与方程）

六、教学反思

本节课的设计，始终坚持以学生为主体，以问题为主