【中考数学一轮复习】第五章圆53与圆有关的计算学案

【2026年中考数学一轮复习】第五章圆5.3与圆有关的计算1．会计算圆的弧长、扇形的面积．2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．1．圆的弧长公式l=nπR180（R为圆的半径，2．扇形的面积公式S扇=nπR2360=13．圆锥的侧面与全面积（1）圆锥的侧面展开图是以圆锥的母线为半径，圆锥底面圆的周长为弧长的扇形．（2）设母线长为l、底面半径为r，则S侧=πrl4．正多边形的有关计算已知正多边形的边数n，外接圆半径为Rn边长an=2Rn■考点一弧长、扇形面积的计算►

典例1：（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形AOB中，OA=6，∠AOB=75°，点C在AB上，连接OC，AD垂直平分OC交OB于点D，则BC的长度为（

）A．π4 B．π3 C．π2【答案】C【分析】由垂直平分线的性质易证△AOC是等边三角形，进而得出∠BOC=15°，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：∵AD垂直平分OC，∴AO=AC，∵AO=CO，∴CO=AO=AC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=15°，∴BC的长度为15π×6◆变式训练1．（2026·浙江衢州·一模）半径为30cm，圆心角150°的扇形面积为________cm【答案】375π【分析】根据扇形的面积公式解答，即S扇形【详解】解：S扇形所以扇形的面积是375πcm2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在Rt△ABC中、AB⊥CB，点O在边AB上，以O点为圆心作圆，交OC于点E，交OA于点F，AC与⊙O相切于点D，BC=DC．连接OD．(1)求证：OB=OD；(2)若AD=23，AF=2【答案】(1)见解析(2)2π【分析】（1）因为AC是⊙O的切线，则OD⊥CD，进而用HL判定证明Rt△BOC和Rt△DOC全等，则（2）设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中，可根据勾股定理OD2+AD2=O【详解】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，在Rt△BOC和RtCO=COBC=DC∴Rt△BOC≌∴OB=OD．（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中，232∴AO=4，∴sinA=∴∠A=30°，∴∠DOB=120°．∴∠COB=∠COD=60°，∴S扇形■考点二圆柱、圆锥的相关计算►

典例2：（2026·云南·一模）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，母线长为30cm，则该圆锥的底面圆半径为（

A．5cm B．10cm C．15cm D．【答案】B【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的关系，列等式即可求解底面半径.【详解】圆锥侧面展开图中，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，对应公式为2πr=nπl180，其中r为底面圆半径，n为侧面展开图圆心角度数，已知n=120°，l=30cm2πr=化简得2πr=20π，两边同除以2π，得r=10cm◆变式训练1．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径r为6cm，高h为8cm的圆锥体，那么这个扇形的面积是________【答案】60π【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积．【详解】解：设圆锥的母线为l，这个扇形的圆心角∠AOB=n，则l=r∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长，则nπl180∴n×π解得：n=216，则S扇形2．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践【主题】制作圆锥【素材】直径为40 cm【实践操作】步骤1：如图1，把直径为40 cm的圆形卡纸剪出一个圆心角为60∘的最大扇形步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处．【实践探索】(1)求剪下的扇形ABC的半径．(2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径r．【答案】(1)20(2)10【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键．（1）连接OB，OC，BC，过点O作OH⊥BC于H，可证明△BAC是等边三角形，得到AB=BC，由圆周角定理可得∠BOC=120°，则由三线合一定理可得∠BOH=60°，（2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可．【详解】（1）解：如图所示，连接OB，OC，BC，过点O作∵扇形ABC的圆心角为60∘∴AB=AC，∴△BAC是等边三角形，∴AB=BC，∵∠BOC=2∠BAC=120°，∴∠BOH=12∴BH=OB⋅sin∴AB=BC=203∴剪下的扇形ABC的半径为203（2）解：60π×103∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径r为103■考点三不规则图形的面积的计算►

典例3：（2025·湖北武汉·模拟预测）如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，⊙O与AB相切，且点O到直线AB的距离等于△ABC中AB边上的高，⊙O与边AC，BC分别相交于点P，Q，连接PQ，若PQ=4，当⊙O在边AB上滚动时，阴影部分的面积为（

）A．2π−4 B．22π−2【答案】A【分析】设⊙O与边AB的切点为G，过点C作CM⊥AB与点M，连接OC，OG，则OG⊥AB，证明Rt△POK≌Rt△QOJHL．根据S阴影【详解】解：设⊙O与边AB的切点为G，过点C作CM⊥AB与点M，连接OC，OG，则OG⊥AB，∴OG∥CM，∵OG=CM，∴四边形OGMC是平行四边形，∵∠OGM=90°，∴四边形OGMC是矩形，∴∠OCM=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC，CM⊥AB，∴∠CAB=∠CBA=∠ACM=∠BCM=∠ACO=45°，∴∠KOC=∠JCO=∠JOC=45°，∴四边形OKCJ是正方形，∴KO=KC=JO=JC=2∴∠KOJ=90°，∵∠PKO=∠QJO=90°，OK=OJ∴Rt△POK≌∴∠POK=∠QOJ，∴∠POK+∠KOQ=∠QOJ+∠KOQ=90°，∴∠POQ=90°，∵PQ=4，OP=OQ，∴∠OPQ=45°，∴OP=OQ=PQsin∴S阴影故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，扇形的面积，熟练掌握判定和性质，扇形面积公式，切线性质是解题的关键．◆变式训练1．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形AOB中，OA=2, ∠AOB=90°，点C为AB的三等分点，连接OC，过点B作BD⊥OC交OA于点D．连接CD．则阴影部分的面积为【答案】2【分析】根据点C为AB的三等分点得，∠AOC=30°，∠COB=60°，根据BD⊥OC得，∠OBD=30°，进而根据直角三角形30°三角函数值计算OE，进而得出CE，根据勾股定理计算BE，在Rt△OED中，结合30°三角函数值解直角三角形得DE，再由S【详解】解：如图所示，BD、CO交于点E，∵在扇形AOB中，OA=2, ∠AOB=90°，点C为AB∴∠AOC=13∠AOB=30°∵BD⊥OC，∴∠OBD=30°，∵OB=OC=OA=2，∴OE=1∴CE=OC−OE=1，BE=O在Rt△OED中，DE=OE⋅S阴影====2故答案为：2π2．（2026·山东聊城·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OD．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若∠B=30°,⊙O的半径为5，求DE的长；(3)若∠C=30°，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)DE=(3)75【分析】（1）连接AD，易得AD⊥BC，三线合一，得到BD=CD，进而得到OD是△BAC的中位线，得到OD∥AC，进而得到DE⊥OD，即可得证；（2）先证明△ADO为等边三角形，进而得到∠ODA=60°，AD=OA，平行线的性质，得到∠DAE=∠ADO=60°，解Rt△DAE（3）根据S阴影【详解】（1）证明：连接AD，∵AB为直径，∴OA=OB,∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴OD是△BAC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠B=30°,∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∵OD=OA，∴△ADO为等边三角形，∴∠ODA=60°，AD=OA，∵OD∥AC，∴∠DAE=∠ADO=60°，∵DE⊥AC，∴DE=AD⋅sin∵⊙O的半径为5，∴AD=OA=5，∴DE=5（3）解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，由（2）可知：△ADO为等边三角形，DE=5∴∠AOD=60°，AE=AD⋅cos作DF⊥OA于点F，则AF=OF=5∴DF=A∴S==75■考点四与正多边形的有关计算►

典例4：（2026·河北秦皇岛·一模）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为2，⊙O与正八边形的边AH和EF分别相切于点A和点E，则劣弧AE的长为（

）A．43π B．2518π C．【答案】D【分析】连接AO，EO，BE，延长EO交AB或其延长线于一点N，可求得∠H=∠G=∠F=135°，结合六边形AOEFGH的内角和为720°，可求得∠AOE=135°，根据同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，可求得点B与点N重合，得到∠ABO=90°，最后利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接AO，EO，BE，延长EO交AB或其延长线于一点N．∵⊙O与正八边形的边AH和EF分别相切于点A和点E，∴OA⊥AH，OE⊥EF．∴∠OAH=∠OEF=90°．∵八边形ABCDEFGH为正八边形，∴∠H=∠G=∠F=8−2∵六边形AOEFGH的内角和=6−2∴∠AOE=720°−∠OAH−∠OEF−∠H−∠G−∠F=135°．∴∠AON=180°−∠AOE=45°．∵八边形ABCDEFGH为正八边形，∴BE⊥FE．又∵NE⊥FE，同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，∴直线BE与直线NE为同一条直线，∴点B与点N重合．∴∠ABO=90°．∴AO=AB∴劣弧AE⌢的长=◆变式训练1．（2026·陕西汉中·一模）苯（分子式为C6H6）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形ABCDEF【答案】60°【分析】根据正多边形各边所对中心角相等且等于360°除以边数即可解答．【详解】解：∵点O为正六边形ABCDEF的中心，∴六边形各边所对中心角相等，∴其中心角的度数为360°÷6=60°．2．（2025·四川广安·一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、FD．(1)若P是CD上的动点，连接BP、FP，求∠BPF的度数；(2)若△ADF的面积为23，求⊙O的面积．（结果保留π【答案】(1)60°(2)4【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．（1）连接AP、FO，利用弦和圆周角的关系即可求出∠BPF的值；（2）证明△AOF是等边三角形，利用三角函数求出DF=3AF，AD=2AF，再根据△ADF的面积为【详解】（1）如图所示，连接AP、FO，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AF=AB，∠AOF=360°∴∠APF=1∵AF=AB，∴∠APB=∠APF=30°，∴∠BPF=∠APB+∠APF=60°；（2）∵∠AOF=60°，AO=FO，∴△AOF是等边三角形，∴∠DAF=60°；∴DF=3AF，∴S△ADF∴AF=2，即⊙O的半径为2．面积为：πA基础达标练1．（2025·山东东营·中考）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是10cm的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（

A．50cm2 B．50πcm2 C．100【答案】B【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为S=πrl(r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长l=10cm，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径r=10÷2=5【详解】解：则所需铁皮面积S=π×故选B2．（2025·江苏盐城·中考）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，AB⏜是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则ABA．24πcm B．12πcm C．10πcm【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得OA=OB=AB=18cm，则△OAB是等边三角形，进而根据弧长公式l=【详解】解：依题意，OA=OB=AB=18cm∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB=60°．∴AB⏜的长为60故选：D．3．（2026·山西阳泉·一模）如图，先以正方形ABCD的边AD为直径画圆，然后以A为圆心，AB为半径画BD，最后以AB的中点E为圆心，BE为半径画弧BF与AD交于点F，若AD=2，则图中阴影部分的面积为（

）A．32π−1 B．π−1 C．4 D．【答案】A【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．【详解】解：如图，空白①的面积为2×2−1空白部分②的面积为S正方形所以阴影部分的面积为S=4−=34．（2026·山西吕梁·一模）在边长为6的正方形ABCD中，E，F，G，H为各边的中点，连接EF，GH相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点A．36−94π B．9−94π【答案】D【分析】根据阴影部分的面积=S【详解】解：根据题意得AB=AD=BC=CD=6，OF=OH=HC=CF=3，∴③的面积=S又①的面积=②的面积，∴阴影部分的面积=====54−275．（2026·甘肃武威·一模）如图，点A,B,C,D为一个正多边形的部分顶点，点O为正多边形的中心，若∠AOD=120°，则这个正多边形的边数为（

）A．6 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】如图：连接OC、OB，根据题意求得∠AOB=40°，根据周角为360°，即可求得正多边形的边数．【详解】解：如图：连接OC、OB，∵点O为正多边形的中心，∠AOD=120°，∴∠AOB=1∴360°÷40°=9，∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意．6．（2026·浙江舟山·一模）某圆锥的母线为6cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________【答案】12【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，其中r是底面半径，【详解】解：圆锥的侧面积为π×2×6=127．（2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留π）【答案】21【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为∠AHG=135°．∠IHG=120°，然后求得∠AHI=105°，利用扇形面积公式nπ【详解】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，六边形GHIJKL是正六边形，∴∠AHG=8−2×180°8∴∠AHI=360°−135°−120°=105°，∴S阴影部分8．（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为12cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为5cm，那么这张扇形纸板的圆心角是【答案】150【分析】利用圆的底面周长即是扇形的弧长，求解即可．【详解】解：设扇形纸板的圆心角为n°，∵圆的底面周长即是扇形的弧长，∴2×5×π解得：n°=150°则扇形纸板的圆心角是150°．9．（2025·四川绵阳·中考）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH=FG．(1)证明：四边形BGEH为平行四边形；(2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明过程见解析(2)16【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键．（1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据正六边形的概念，确定∠BAF的度数，进而确定∠BOF的度数和OB的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可．【详解】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=EF=CD=AF=AB=DE，∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC，又CH=FG，∴△BCH≌△EFGSAS∴BH=EG，∵CD=AF，CH=FG，∴CD−CH=AF−FG，即DH=AG，∴△DEH≌△ABGSAS∴EH=BG，∴四边形BGEH是平行四边形；（2）解：如图，连接OB，OA，OF，∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴OB=OA=OF，∠BAE=5−1∴△AOB≌△AOFSSS∴∠OAB=∠OAE=1∴△OAB和△OAF都是等边三角形，∴OB=OA=OF=AB=AF=4，∠AOB=∠AOF=60°，∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°，S△AOB∴S扇形∴阴影部分的面积为S扇形B强化提升练10．（2026·河北石家庄·一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CB=6，点O在射线AC上（点O不与点A重合）；过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径在AC上方画半圆O，交射线AC于点E，F两点（点E在F的左侧），设OD=x．(1)当点O为AC中点时，求x的值；(2)如图2，当点O与点C重合时，连接DF，求弧DF及弦DF的长；(3)当半圆O与边BC无交点时，直接写出x的取值范围．（参考数据：sin37°取35，cos37°取45，【答案】(1)x=(2)弧DF的长度为：25475π，弦DF(3)0<x<3或x>