新大材料力学课件第6章 弯曲应力

第六章弯曲应力

第六章弯曲应力§6-1引言§6-2弯曲正应力§6-3弯曲切应力§6-4梁的强度条件§6-5梁的合理强度设计§6-6双对称截面梁的非对称弯曲纵向对称面MF1F2q一、平面弯曲§6-1引言梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。第六章弯曲应力引言

纯弯曲

FS=0

M≠0,M=常量

如

CD

段

横力弯曲

FS≠0

M≠0

如AC,DB

段aFFDCBaA二、纯弯曲和横力弯曲的概念FaMACDBFFADCBFS第六章弯曲应力引言三、弯曲应力与内力的关系弯曲正应力

σyz弯曲切应力

τ第六章弯曲应力MyzFs引言

思路：第四章扭转变形应变分布平面假定物理关系应力分布应力公式方程静力

已知内力求应力，这是静不定问题，需要研究变形才能解决。一、试验与假设1.观察实验：§6-2弯曲正应力第六章弯曲应力弯曲正应力damb横线纵线mnnc2.变形规律⑴横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。⑵纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。mmnnc′a′b′MMd′第六章弯曲应力弯曲正应力damb横线纵线mnnc3.假设（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。（2）单向受力假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维仅承受单向拉应力或压应力。mmnnc′a′b′MMd′第六章弯曲应力弯曲正应力

根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层。中间层与横截面的交线

梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。第六章弯曲应力4.中性层，中性轴（1）中性层（2）中性轴弯曲正应力MM中性层中性轴对称轴二、弯曲正应力一般公式y

z

轴——中性轴y

轴——对称轴dambmnncmmnnc′a′b′MMd′ambmnnmmnna′b′1.几何方面第六章弯曲应力弯曲正应力smax压在弹性范围内，2.物理方面yxsmax拉y为梁弯曲变形后中性层的曲率中性轴的位置？中性层的曲率M第六章弯曲应力弯曲正应力中性轴Z轴为形心轴3.静力学方面

yzMyz第六章弯曲应力弯曲正应力y轴为对称轴，自然满足yzMyz第六章弯曲应力弯曲正应力弯曲变形计算的基本公式梁的弯曲刚度。ÞEIzyzMyz第六章弯曲应力弯曲正应力弯曲正应力的一般公式。

弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M>0时，下拉上压；当M<0时，上拉下压。第六章弯曲应力弯曲正应力

当y=ymax,有1.截面关于中性轴对称三、最大弯曲正应力smax压yxsmax拉yM第六章弯曲应力弯曲正应力Wz

——截面对

z

轴的抗弯截面系数yx2.截面关于中性轴不对称smax压smax拉yM第六章弯曲应力弯曲正应力zyOdAyz图形对于y

轴的静矩图形对于z

轴的静矩1.静矩、形心及其相互关系

（1）

静矩（面积矩）代数量单位：m3第六章弯曲应力弯曲正应力四、与应力分析相关的截面图形的几何性质

A分力之矩之和合力之矩（2）形心zyOdAyzzyOC第六章弯曲应力弯曲正应力形心坐标公式第六章弯曲应力弯曲正应力

图形对过形心的轴的静矩为零。

AzyC（3）结论

如图形有对称轴，形心肯定在对称轴上第六章弯曲应力弯曲正应力zyCyyz-zdAdA（4）简单图形的形心(a)形心坐标公式(b)确定形心的规律

图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。

图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。第六章弯曲应力弯曲正应力简单图形的形心yzCyzCyzC第六章弯曲应力弯曲正应力

(5)组合图形的形心

组合图形——由几个简单图形组成的图形。第六章弯曲应力弯曲正应力ⅠⅡC(zc，yc)C1(zc1，yc1)zyC2（zc2，yc2)同理，可得：第六章弯曲应力弯曲正应力对于组合图形的形心第六章弯曲应力弯曲正应力第六章弯曲应力弯曲正应力hbzOy2.Iz和

Wz的计算第六章弯曲应力弯曲正应力ydzCDyzCd3.

惯性矩平行轴定理

第六章弯曲应力弯曲正应力hbzOyaz1O1已知求工程中常见的平面弯曲是横力弯曲五、正应力公式的推广6-2

实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l

与横截面高度h之比l/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲LlABq第六章弯曲应力弯曲正应力解：作弯矩图宽b=120mm,高h=180mm的矩形截面简支梁如图所示，求跨中截面上a,b,c三点的正应力。q=4kN/m3mz120180bac50a点：b点：c点：M(kN.m)4.5例题6-1y第六章弯曲应力弯曲正应力解：作弯矩图

图示简支梁由56号工字钢制成，求危险截面上的最大正应力σmax及同一截面上a点的正应力σa

。F=150kN5mz166560a21a点：5mM(kN.m)375CBAy查型钢表：例题6-2第六章弯曲应力弯曲正应力

求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：№10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求应力：σcmaxσtmax例题6-3第六章弯曲应力弯曲正应力194页，习题

6－4

习题

6－5

198页，习题6－7

195页，习题6－8第六章弯曲应力作业作业弯曲正应力σyz弯曲切应力

τ第六章弯曲应力MyzFs§6-3弯曲切应力弯曲切应力一、矩形截面梁的弯曲切应力⑴横截面上各点的切应力，均平行于剪力或截面侧边。⑵切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、公式推导lABq1、假设：第六章弯曲应力弯曲切应力

第六章弯曲应力弯曲切应力第六章弯曲应力弯曲切应力第六章弯曲应力弯曲切应力第六章弯曲应力下侧部分截面对中性轴

z的静矩其中弯曲切应力第六章弯曲应力(1)t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。弯曲切应力切应力分布图

切应力沿腹板厚度均匀分布。（1）假设：1.工字形薄壁梁二、工字形与箱形薄壁截面梁的弯曲切应力第六章弯曲应力

腹板上各点处的弯曲切应力平行于腹板侧边；下侧部分截面对中性轴

z的静矩其中腹板翼缘弯曲切应力第六章弯曲应力弯曲切应力第六章弯曲应力（2）切应力的计算公式当y=0

时，切应力最大当

时，切应力最小当腹板厚度d远小于翼缘宽度b时，最大与最小切应力的差值甚小，因此，腹板上的切应力可近似看成是均匀分布的翼缘上的切应力比腹板上的切应力小，强度计算时一般可以不予考虑。弯曲切应力第六章弯曲应力2.箱形薄壁截面梁下侧部分截面对中性轴

z的静矩其中梁上、下盖板上的切应力比腹板上的切应力小，强度计算时一般可以不予考虑。弯曲切应力三、圆形截面梁的弯曲切应力1.关于其切应力分布的假设：Otmaxkk'O'd第六章弯曲应力（1）离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；（2）这些切应力沿y方向的分量ty沿宽度相等。最大切应力tmax

在中性轴处弯曲切应力最大切应力tmax

在中性轴处2d/3p第六章弯曲应力Otmaxkk'O'd弯曲切应力OC四、弯曲正应力与弯曲切应力比较当

l>>h时，smax>>tmax第六章弯曲应力LhbzCy弯曲切应力

FS=15kN，Iz=8.8410-6m4，b=120mm，d=20mm，yC

=45mm。试求

：tmax；腹板与翼缘交接处切应力

ta解：例题6-4第六章弯曲应力弯曲切应力6-4梁的强度条件材料的许用弯曲正应力梁的强度条件一、弯曲正应力强度条件1.强度条件smax压yxsmax拉yMmax第六章弯曲应力

拉、压强度相等的低碳钢等塑性材料制成的梁

拉

、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁梁的强度条件第六章弯曲应力yxsmax压smax拉yM讨论梁的强度条件第六章弯曲应力

梁的弯矩图同号BlAqql28M

xyyxsmax压smax拉梁的强度条件第六章弯曲应力

梁的弯矩图异号yM

x3lAql第六章弯曲应力2.强度条件的应用2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:1）校核强度:梁的强度条件二、弯曲切应力强度条件1.梁的切应力强度条件对等直梁，有第六章弯曲应力材料在横力弯曲时的许用切应力2.强度条件的应用2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:1）校核强度:梁的强度条件确定截面尺寸3.需要校核切应力的几种特殊情况：2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力1)梁的跨度较短，M

较小，而

Fs

较大时，要校核剪应力。3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。第六章弯曲应力梁的强度条件

T

字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[

t]=30MPa，[

c]=60MPa.其截面形心位于C点y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。解：1)求约束反力2）画弯矩图例题6-5第六章弯曲应力梁的强度条件第六章弯曲应力梁的强度条件B截面—（上拉下压）:3）求应力D截面—（下拉上压）:4)强度校核梁的强度足够196页，习题

6－15197页，习题

6－16

习题

6－19198页，习题6－20

第六章弯曲应力作业作业一、合理选择截面形状1.梁的截面的合理放置（包括合理放置与合理设计截面）§6-5梁的合理强度设计比较合理的截面形状，是使用较小的截面，却能获得较大抗弯截面系数的截面，即Wz/A越大越合理。第六章弯曲应力梁的合理强度设计第六章弯曲应力梁的合理强度设计2.合理设计截面第六章弯曲应力梁的合理强度设计工字形、槽形、圆环截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理第六章弯曲应力梁的合理强度设计3.根据材料特性选择截面

对于抗拉强度等于抗压强度的塑性材料最好选用关于中性轴对称的截面。smax压yxsmax拉yM第六章弯曲应力梁的合理强度设计

对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方。因为得：yxsmax压smax拉My第六章弯曲应力梁的合理强度设计二、变截面梁与等强度梁第六章弯曲应力L1.变截面梁横截面沿梁的轴线变化的梁，称为变截面梁bzCy即其中因等宽度矩形截面，则高为：梁的合理强度设计第六章弯曲应力LbzCy因为得：梁的合理强度设计2.等强度梁第六章弯曲应力各个横截面具有同样强度的梁，称为等强度梁梁的合理强度设计三、梁的合理受力第六章弯曲应力梁的合理强度设计第六章弯曲应力梁的合理强度设计第六章弯曲应力§6-6双对称截面梁的非对称弯曲yz双对称截面梁的非对称弯曲当杆件的两个相互垂直的对称平面内都有载荷作用时，梁将在两个方向同时发生平面弯曲，这种弯曲称为