6.2.3向量的数乘运算（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在梯形ABCD中，CD//AB，，点P在线段BC上，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，因为，根据向量的运算可得，所以，故选:B.2．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选:B.3．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝，＝，则向量＝（）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图:因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以，所以.故选：C.4．在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，，则＝（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知可得，.故选：A.5.已知点M是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】设点是上一点,且,点是上一点，且，如下图所示：由，可知，以为邻边作平行四边形,连接，延长，交于，设,因为，所以，由平行四边形，可知,设，，所以,,因此与的面积之比为3，故选:C.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列关于向量的叙述正确的是（）A．向量的相反向量是B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝D．若向量a与b满足关系，则a与b共线【答案】ABD【解析】对于选项A,,向量的相反向量是，正确；对于选项B,,模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确；对于选项C,,若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝，错误，因为与可能方向相反；对于选项D,若向量与满足关系，则与b共线，正确.故选:ABD.7．若点D，E，F分别为▵ABC的边BC，CA，AB的中点，且AB=a，BC=b，则下列结论正确的是A.DA=a−12b B.BE【答案】BC【解析】如图，DA=−BD−AB=−12BC−AB=−a−12b，故A错误；

BE=12BA+BC=8．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP=2PC，点M、N在过点P的直线上，若AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0A.1m+2n为常数B.m+2n的最小值为3

C.m+n的最小值为169D.m、【答案】ABD【解析】如下图所示：由BP=2PC，可得AP−AB=2(AC−AP)，

∴AP=13AB+23AC，

若AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0，

则AB=1mAM，AC=1nAN，

∴AP=13mAM+23nAN，

∵M、P、N三点共线，

∴13m三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用表示)【答案】【解析】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝,故答案为：.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为___________【答案】【解析】由，可得，所以，又三点共线，由三点共线定理，可得：，，故答案为：.11．知两个非零向量与不共线，，，．若，则的值为_____________；若，，三点共线，则的值为_____________．【答案】；.【解析】∵，∴．由，，又，，三点共线，则，，得故答案为:；.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．(1)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．(2)设为的边的中点，，求的值【答案】(1)1;(2)【解析】(1)由于A，B，P三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．(2)∵（）-∴mn故答案为：(1)1;(2).13．设e1,e2是两个不共线向量，已知AB=2(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF=3e1−ke2，且B，【答案】(1)答案见解析;(2)12【解析】(1)证明：由已知得BD∵AB∴AB又∵AB与BD有公共点∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知知

BD∵BF→=3e1→−k∴BF=λ即3e得λ=3解得k=12．14．如图所示，在▵ABO中，，OD=12OB，AD与BC

相交于点M.设OA=a，OB=b．

(1)(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设OE→=λOA→，OF→=μOB→，其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时，λ=1，μ=12，此时；当EF与BC重合时，λ=13，μ=1，此时1【答案】(1)OM=【解析】(1)设OM=ma+nb(m∈R,n∈R)，由A可知存在，且a≠−1)使得AM⇀=α则OM⇀−OA所以OM=1α+1a+由B，C，M三点共线，可知存在，且β≠−1)使得CM⇀=β则OM⇀−OC⇀=β∴m=1由①②得m=15，n=2(2)能得出结论．理由：由于E，M，F三点共线，则存在实数，且γ≠−1)，使得EM⇀=γMF⇀，

于是OM⇀=OE⇀所以15a+25b=A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一]下面四种说法,其中正确的是()A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mbB.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-naC.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=bD.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n2.[探究点三]已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线3.[探究点一]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC等于(A.BC B.12AD C.AD 4.[探究点二]若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.

5.[探究点三]已知O,A,B是平面内任意三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.

6.[探究点二]如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b(1)用a,b分别表示向量AE,(2)求证:B,E,F三点共线.7.[探究点一](1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b-a-23b+(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.B级关键能力提升练8.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于()A.14a+12b B.13aC.12a+14b D.23a9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λA.2 B.32 C.3 D.10.已知△ABC的重心为O,则向量BO=()A.23AB+C.-23AB+111.如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且AP=mAB+nAD(m,n∈R),则1m+2A.3 B.3+22C.4 D.4+2212.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈[0,+∞A.外心 B.内心C.重心 D.垂心13.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使向量a,b共线的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b14.在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MA=,MN=.(用a,b表示)

15.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3OB+2OC=0,则AB=

BC,|AB16.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.用向量a与b表示向量OC.17.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=13BD.求证:M,N,C三点共线C级学科素养创新练18.用向量运算刻画三角形的重心.(1)已知△ABC,求一点G满足GA+GB+(2)求证:满足条件GA+GB+GC=0的点G是参考答案1.AB由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.2.A∵向量BD=BC+CD=2a+4b,AB=a∴BD=2AB,即A,B,D三点共线.3.C如图,EB+FC=EC+CB4.等腰梯形由已知得AB=-57因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,所以四边形ABCD又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.5.-2因为点P在直线AB上,所以AP=λAB,λ∈R,即OP−OA=λ(OB−OA),即OP=λOB+(1-λ)OA,所以16.(1)解∵AD=12(AB+∴AE=23AD∵AF=12AC=12b,(2)证明由(1)知BF=-a+12b,BE=BA+AE=-a+13(a+b)=-23∴BE=23BF.又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.7.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1a+∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103i+-103(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=111a+211∴y=3x-b=3111a+2118.D∵△DEF∽△BEA,∴DFAB=DEEB=13,∴DF=13AB.∴AF=AD+DF=AD+13AB.∵AC=AB+AD=a,BD=AD−AB=b,联立得AB=12(a-9.CAB+AC=PB又PA+PB+PC=0,即∴AB+AC=-3PA=λAP=-λPA,∴λ=10.C设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,所以BO=23BE=23×(AE−AB)=2311.C因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则BP=λBC(0<λ≤1),则AP=AB+BP=AB+λBC=AB+λ(BA+AD+DC)=AB+λ-AB+AD+12AB=1-12λAB+λAD,所以m=1-12λ,n=λ,则1m+2n=11-12λ+2λ=22-λ+2λ12.B题中向量式中有OP,OA两共起点的向量,于是可利用移项得OP−OA=∴AP=λAB|AB|+AC|AC|.令AB|AB|+AC|AC|=AM∵AP=λAM,∴AP,AM∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.13.AB选项A中,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得出4a+b=0,∴b=-4a,且a≠0,所以向量a,b共线.选项B中,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ都不为0,∴a=μλb,所以向量a,b共线选项C中,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴得不出向量a,b共线;选项D中,∵在梯形中AB与CD不一定平行,∴得不出向量a,b共线.故选AB.14.-12b-a-14a+14b如图,∵四边形∴AD=BC,又AN=3NC,∴A,N,C三点共线,且CN=-14AC,则MA=MB+BA=12DA+BA=-12b-a15.22∵OA-3OB+2OC=0,∴OA−OB=2(OB−OC),∴BA∴AB=2BC,∴|AB||16.解∵AB=a,AO=b,点A是BC的中点,∴AC=-a.∴OC=OA+AC=-17.证明设BA=a,BC=b,则由向量减法的三角形法则可知CM=BM−BC又∵N在BD上且BN=13BD∴BN=13BD=13(BC+CD)=13(a+b),∴CN=BN−BC=13(∴CN=23CM,又∵CN与CM有公共点C,∴C,M,N18.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD