6.1平面向量的概念（提升练）原卷版

第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在四边形中，且，则四边形的形状一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形2．下列命题中，正确的是（）A．有相同起点的两个非零向量不共线B．“”的充要条件是且C．若与共线，与共线，则与共线D．向量与不共线，则与都是非零向量3．给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．44．如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5.下列关于向量的结论：（1）若，则或；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则．其中正确的序号为（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列有关向量命题，不正确的是A．若，则 B．已知，且，则 C．若，，则 D．若，则且7．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（）A．共线 B．相等C．模相等，方向相反 D．模相等8．下列说法中，正确选项是（）A.时间、摩擦力、重力都是向量；B.向量的模是一个正实数；C.相等向量一定是平行向量；D.向量与不共线，则与都是非零向量三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.图中所示向量与向量长度相等的向量有________________________；图中所示向量与向量相等的向量有____________________10．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量则：（1）与向量相等的向量有_______；（2）与向量共线，且模相等的向量有________；11．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.则=___________.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量.13．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.14．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.（1）画出所有的向量；（2）求的最大值与最小值．A级必备知识基础练1.[探究点一]有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是()A.1 B.2C.3 D.42.[探究点三]给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是()A.①② B.②C.②③ D.③④3.[探究点三]如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量PQ相等的向量是 ()A.PR与QR C.RA与CR 4.[探究点二]若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形ABCD的形状为(A.正方形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形5.(多选题)[探究点三]下列说法正确的是()A.若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形B.在平行四边形ABCD中,一定有ABC.若a=b,b=c,则a=cD.若a∥b,b∥c,则a∥c6.(多选题)[探究点一]下列说法正确的是()A.向量不能比较大小,但向量的模能比较大小B.|a|与|b|是否相等与a与b的方向无关C.若a∥b,b∥c,则a∥cD.若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上7.[探究点二]在四边形ABCD中,AB=DC,且AB,AD是单位向量,则四边形8.[探究点三]如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与AB相等的向量共有几个?(2)与AB平行且模为2的向量共有几个?(3)与AB方向相同且模为32的向量共有几个?B级关键能力提升练9.已知a为单位向量,下列说法正确的是()A.a的长度为一个单位长度B.a与0不平行C.与a共线的单位向量只有一个(不包括a本身)D.a与0不是平行向量10.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是()A.与AB相等的向量只有一个(不包括AB本身)B.与AB的模相等的向量有9个(不包括AB本身)C.BD的模为DA模的3倍D.CB与11.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)

12.已知|AB|=1,|AC|=2,若∠ABC=90°,则|BC|=.

13.已知在四边形ABCD中,BC=AD且|AB|=|BD|=|BC|=2,则该四边形内切圆的面积是14.已知在四边形ABCD中,AB=DC,且|AB|=|AC|,tanD=3,判断四边形ABCD15.中国象棋中规定:马走“日”字,如图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量AA1与AA2C级学科素养创新练16.(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是()A.|AB|=|EF|B.AB与C.BD与D.CD17.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且|AC|=5.(1)画出所有的向量AC;(2)求|BC|的最大值与最小值.参考答案1.C因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.B①起点相同,方向相同,但大小不一定相同,所以两个非零向量的终点不一定相同,故错误;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同,故正确;③两个平行的非零向量的方向相同或相反,故错误;④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线,有向线段所在的直线可能平行,故错误.故选B.3.B向量相等要求模相等,方向相同,因此AR与RC都是和PQ4.C由BA=CD知,AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为|AB|=|AD|,所以四边形ABCD5.ABC对于A,由BA=CD,知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形,又因为|AB|=|AD|,所以四边形ABCD为菱形,故A正确;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平行且相等,AB,DC的方向相同,所以AB=DC,故B正确;对于C,由向量相等的定义知,当a=b,b=c时,有a=c,故C正确;对于D,当b=0时不成立,故6.AB对于A,向量既有大小又有方向,不能比较大小,向量的模可以比较大小,故选项A正确;对于B,|a|与|b|分别表示向量a与b的大小,与a,b的方向无关,故选项B正确;对于C,当b=0时,向量a与c可以是任意向量,都满足a∥b,b∥c,故选项C不正确;对于D,若向量AB与向量CD是共线向量,表示AB与CD的有向线段可能不在同一条直线上,得不出A,B,C,D四点在一条直线上,故选项D不正确.故选7.菱形由AB=DC可知四边形ABCD又AB,AD是单位向量,所以|AB|=|AD|=1,所以四边形ABCD8.解(1)与向量AB相等的向量共有5个(不包括AB本身).(2)与向量AB平行且模为2的向量共有24个.(3)与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个.9.A∵已知a为单位向量,∴a的长度为一个单位长度,故A正确;a与0平行,故B错误;与a共线的单位向量有无数个,故C错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D错误.10.ABCA项,由相等向量的定义知,与AB相等的向量只有DC,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与AB的模相等的向量除AB外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=32DA,所以BD=3DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以CB与DA共线,故11.①③④若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.12.3由勾股定理可知,|BC|=|AC|2-|AB|13.3π4由BC=AD知四边形ABCD为平行四边形.由|AB|=|BD|=|BC|知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°,菱形ABCD的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,令其半径为r,则r=12|BD|sin60°=32,所以该内切圆的面积S=πr2=π14.解∵在四边形ABCD中,AB=DC,∴AB∴四边形ABCD是平行四边形.∵tanD=3,∴∠B=∠D=60°.又|AB|=|AC|,∴△ABC是等边三