【课件】实际问题与一次函数 2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.4实际问题与一次函数23.4实际问题与一次函数课时1建立一次函数模型1.在经历应用一次函数解决实际问题的过程中，体会函数模型思想．2.了解分段函数的特点，能根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象．在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画.实际问题一次函数抽象解析式根据条件再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.问题1：在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间是一次函数关系，其图象如图所示，则y

关于x

的函数解析式为___________，弹簧不挂物体时的长度为_____cm．y=0.5x+1010问题2：某玉米种子的价格为40元/kg.若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过

2kg的种子，超过部分的种子价格打六折.（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系?付款金额=种子价格×购买量分析：通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与______有关，设购买xkg种子，付款金额为y

元．则有：购买量购买量/kg种子价格/（元/kg）付款金额/元0≤x≤24040xx>22kg种子价格+超过2kg部分的种子价格24x+32+40×240×0.6×(x－2)因此，写函数解析式与画函数图象时，应分______和_______讨论.0≤x≤2x>2解：（1）设购买量为xkg，付款金额为y

元.当0≤x

≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x；当x>2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x－2)kg(即超出2kg部分)按24元/kg(即六折)计价.函数解析式为y=80+24(x–2)=24x+32.函数解析式也可以合起来表示为分段函数y/元O40206080100x/kg213y=40xy=24x+32函数图象如图所示.（2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？因为4>2，所以y=24×4+32=128.因此，一次购买4kg种子，需付款128元.y=40x，0≤x

≤2，24x+32，x>2.y/元O40206080100x/kg213y=40xy=24x+32一次函数应用的两种类型：(1)题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解.(2)题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.①计费标准随用水量/里程的变化而变化；②有明确的临界值（分段点），临界值处计费规则发生改变.分段计费是生活中最常见的分段函数应用场景，比如下面这两种.这些计费方式有什么共同的特点?

根据分段计费的共同特点，可以总结出分段计费问题的3个核心解题要素.①分段点：计费规则发生变化的临界值，是分类讨论的分界依据；②计费区间：以分段点为界，划分自变量的取值范围，必须做到不重不漏；③区间计费规则：每个区间内的单价、计价方式，核心是区分“标准内全额计价”和“超标部分单独计价”.

某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费y(单位:元)与每月用水量x(单位:m3)存在如图所示的函数关系．（1）求y

关于x

的函数解析式；（2）若某用户某月缴纳水费63元，则该用户当月的用水量是多少立方米？解:（1）当0≤x

≤15时，设y关于x

的函数解析式为y

＝mx(m

≠0).由题意，得15m

＝27，解得m＝1.8，所以y＝1.8x．当x＞15时，设y

关于x的函数解析式为y

＝kx+b(k

≠0)．15k+b=27，20k+b=39，由题意，得k=2.4，b=－9，解方程组，得所以y=2.4x－9.综上，y

关于x

的函数解析式为y=1.8x，0≤x

≤15，2.4x－9，x>15.（2）因为63＞27，所以将y

＝63代入y

＝2.4x－9，得2.4x－9＝63，解得x＝30，则该用户当月的用水量是30m3．（2）若某用户某月缴纳水费63元，则该用户当月的用水量是多少立方米？

y=1.8x，0≤x

≤15，2.4x－9，x>15.一次函数的应用函数的形式确定解析式单一函数直接根据题意分段函数待定系数法1.小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学，该厂的日薪计算方式：一天内组装玩具不超过80个时，固定工资120元，组装超过80个玩具时，除了固定工资120元，超过的部分，每个再另给2元.下列能表示该厂日薪y(元)与一天内组装的玩具数量x(个)之间的函数图象大致是(

)C2.某品牌笔记本单价为5000元/台，若一次购买不超过3台，价格不变；若一次购买超过

3台，超过部分的笔记本价格打七折．则付款金额y(元)关于购买台数x(台)的函数解析式为________________________．3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题：（1）王爷爷的电子钱包中原有零钱____元；（2）苹果降价前每千克____元，降价后每千克____元；801210（3）请求出y关于x的函数解析式．解：由图象和（1）（2）可得，当0≤x≤50时，y=12x+80；当50<x≤80时，y=10(x－50)+680，即y=10x+180.综上，y关于x的函数解析式为y=12x+80，0≤x

≤50，10x+180，50<x

≤80.23.4实际问题与一次函数课时2选择方案1.能根据实际方案的数量关系，列出对应的一次函数解析式，并确定自变量的实际取值范围．2.能通过函数图像直观对比不同方案的费用变化，理解“临界点”的几何意义.①办健身卡有月卡、季卡、年卡；②打印资料有两家店不同的收费标准；③出门旅游租车有不同的计费方案.面对这些不同的方案，我们怎么选才能最省钱、最划算？同学们在生活中一定遇到过这样的选择：方案A无年费，每次30元方案B年费100元，每次20元甲厂制版费100元+每份0.2元乙厂无制版费，每份0.4元这些方案选择问题，有什么共同的特点？

方案的优劣（费用高低）不是固定的，会随着自变量的变化而变化，存在一个优劣切换的临界点.游泳馆年卡方案印刷厂收费方案探究

下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.套餐年卡费用/元套餐内游泳次数/次套餐外单次收费/元A6002040B12005040C1800不限次选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？根据省钱原则选择方案该问题要我们做什么？选择方案的依据是什么？分析：(1)要比较三种收费方式的费用，需要做什么？分别计算每种套餐的费用.(2)怎样计算费用？费用=年卡费用+套餐外费用套餐外费用=套餐外单次收费×次数套餐年卡费用/元套餐内游泳次数/次套餐外单次收费/元A6002040B12005040C1800不限次(3)A，B，C三种套餐中，所需要的费用是固定的还是变化的？在套餐A，B中，游泳次数是影响所需的费用的变量；在套餐C中，所需的费用是定值.请写出三种套餐的游泳费用y与年游泳次数x之间的函数解析式.套餐年卡费用/元套餐内游泳次数/次套餐外单次收费/元A6002040B12005040C1800不限次解：设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x的函数.在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式y1=600，0≤x

≤20，600+40(x－20)，x>20.化简，得y1=600，0≤x

≤20，40x－200，x>20.套餐年卡费用/元套餐内游泳次数/次套餐外单次收费/元A6002040B12005040C1800不限次类似地，可以得到刻画套餐B，C的游泳费用y2，y3

关于年游泳次数x

的函数解析式.套餐A费用y1=600，0≤x

≤20，40x－200，x>20.套餐B费用y2=1200，0≤x

≤50，40x－800，x>50.套餐C费用y3=1800，x≥0.请比较y1，y2，y3的大小.y/元O40020060080010001200140016001800x/次2010304050y2y3y1结合图象与解析式可知：当年游泳次数__________时，选择套餐A能节省游泳费用；当年游泳次数__________时，选择套餐B能节省游泳费用；当年游泳次数__________时，选择套餐C能节省游泳费用.0≤x<3535<x<65x>65画出y1，y2，y3的图象如图所示.这个实际问题的解决过程中是怎样思考的？实际问题一次函数问题设变量找对应关系实际问题的解一次函数问题的解解释实际意义例

如表给出了A，B，C三种上宽带网的收费方式．收费方式月使用费用/元包时上网时间/h超时费用/(元/min)A30250.05B50500.05C120不限时选取哪种方式能节省上网费？解：设月上网时间为xh，A，B，C三种收费方式的月上网费用分别为y1

元、y2

元、y3元，则y1，y2，y3关于x

的函数解析式如下:y1=30，0≤x

≤25，30+0.05×60(x－25)，x>25.化简得y1=30，0≤x

≤25，3x－45，x>25.收费方式月使用费用/元包时上网时间/h超时费用/(元/min)A30250.05B50500.05C120不限时方式B：y2=50，0≤x

≤50，50+0.05×60(x－50)，x>50.化简得y2=50，0≤x

≤50，3x－100，x>50.方式C：y3=120，x≥0.画出函数图象如图所示.收费方式月使用费用/元包时上网时间/h超时费用/(元/min)A30250.05B50500.05C120不限时结合解析式及函数图象可知：

选择方式B最省钱；

实际问题(多个)函数模型确定方案抽象构造直线交点图象间位置关系121.如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200min，则B方案比A方案便宜________元．2.某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案．方案一：以团队为单位办理会员卡(会员卡花费a元)，所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(

)A．a＝400B．原票价为400元/人C．方案二中y关于x的函数解析式为y＝240xD．若方案一比方案二更优惠，则x>6D3.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：

A方案：每月收取基本月租费15元，另收通话费为0.2元/分；

B方案：0月租费，通话费为0.3元/分.（1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式；（2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出哪种付费方式合算？解：（1）

A方案：y1=15+0.2t（t≥0），

B方案：y2=0.3t（t≥0）.（2）这两个函数的图象如下：t（分）O501501001020y（元）503040●●y1=15+0.2ty2=0.3t●观察图象，可知：当通话时间为150分钟时，选择A或B方案费用一样；当通话时间少于150分钟时，选择B方案费合算；当通话时间多于150分钟时，选择A方案合算.23.4实际问题与一次函数课时3设计方案灵活运用变量关系建立一次函数模型，并设计最佳方案解决相关实际问题．①学校组织研学旅行，要在总预算内租车，既要保证所有师生都有座位，还要让租车总费用最少；②工厂采购原材料，要在满足生产需求的前提下，让采购成本最低.同学们在生活中一定遇到过这样的问题：面对这些多重约束条件，我们该怎样设计出最佳方案？客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280探究

某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.（1）共需租多少辆客车？（2）给出最节省费用的租车方案.问题1：题干中有哪些影响租车方案的条件？客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280①总人数要求：234名学生+6名教师，合计240名师生；②教师数量要求：共6名教师，每辆车上至少要有1名教师；③费用要求：租车总费用不超过2300.问题2：如何由乘车人数确定客车总数呢？①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于240÷45辆，即6辆．②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6．综合起来可知客车总数为6辆．客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280问题3：我们的目标是让租车总费用最少，如果租用甲种客车x

辆，那总费用y和甲种客车数量x之间有什么关系？

客车种类载客量/人租金/元甲45400乙30280问题4：如何确定y=120x+1680中x的取值？

整合得到一元一次不等式组：

综合起来可知x的取值为4或5.问题5：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由．方案一：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆；方案二：租用甲种客车5辆，乙种客车1辆；对于y=120x+1680，因为120＞0，所以y随x的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160(元)．解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲品牌酸奶的进价为8元/罐；乙品牌酸奶的进货总金额y(单位：元)与进货量x(单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙品牌酸奶的销售量不低于150罐，且不高于400罐．（1）根据图象求出y

与x

之间的函数关系式；（2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为w

元，求出w(单位：元)与乙品牌酸奶的进货量x之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．（1）根据图象求出y

与x

之间的函数关系式；解：设y与x之间的函数关系式为

y=kx(k

≠0)，把(50，500)代入y=kx(k≠0)，得k=10，所以y=10x．（2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为w

元，求出w(单位：元)与乙品牌酸奶的进货量x之间的函数关系式