初中数学几何模型大全经典题型含答案

初中数学几何模型大全+经典题型〔含答案〕

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

说明：以角平分线为轴在角两边进展截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进展边或者角的等量

代换，产生联系。垂直也可以做为轴进展对称全等。

说明：上图依次是45°、30°°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或

者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼

接在一起，成对称全等.

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容.通过"8"字模型可以证明。

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形及正方形的混

用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两

组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，

证明另外两个顶点及中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角

边，转化成要证明的等腰直角三角形和的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等

三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

对称最值（两点间线段最短）

说明：通过对称进展等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

说明：找到及所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值.

三角形f四边形

四边形f四边形

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移及旋转完成形状改变

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8"字的规律。

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通辽等量代换来构造相似三角形的作

用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的一样及不同之处，另外，相似、射影定理、相交

弦定理（可以推广到圆嘉定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进展代换，进

展证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线.

初中数学经典几何题（附答案）

经典难题（一）

1、：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD±AB,EF±AB,EG1C0.

求证：CD=GF.（初二J

Ad

2、：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=15°.

求证：△PBC是正三角形.（初二）

3、如图，四边形ABCD、ABCD都是正方形，M氏、G，D,分别松仙、明卜CCN瓯的中点7J

求证：四边形AAQD?是正方形.（初二）

CD的中点，AD、IC的町乡发‘MN?个淤力

4、：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、

求证：ZDEN=ZF.IS（二）///LAJ

经典难，

1、：AABC中，H为垂心（各边高线的交点），0为外心,且OM’BC于M.1/JN

（1）求证：AH=20M；

B1二代

N

D

（2）假设/BAC=60",求证：AH=AO.（初二）

2、设MN是圆。外一直线，过。作OA_LMN于A,自A引网的两条直线，交圆于B、C及D、E.直线EB及

CD分别交MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，那么由此可得以下命题：

设MN是圆0的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别

求证：AP=AQ.（初二）

4、如图，分别以aABC的AC和BC为一边，在AABC的外例作正方形ACDS和B「中

点.c

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,AE=AC,AE及CD相交于F.

求证:CE=CF.（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE/7AC,且CE=CA,直线EC交D

求证：AE=AF.（初二）

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFXAF；分NDCE.

求证：PA=PF.（初二）

4、如图，PC切圆。于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF及=

B

DC,BC=AD.（初三）

经典难题（四）

1、：AABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3,PB=4,PC=5.

求：NAPB的度数.（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且NPBA=NPDA.

求证：ZPAB=ZPCB.（初二）

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB-CD+

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB」的一点，AE及CF

AE=CF.求证：NDPA=NDPC.（初二）

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证:

2、：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

AI)

4、如图，ZXABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分别是AB、AC上的点，ZDCA=30°,

的度数.

经典难题（一）

LAB,连接E0.由于G0FE四点共圆，所以NGFH=/0EG,

EOGOCO

即△GHFs^OGE,可得——=——=——，又CO=EO,所以CD=GF得证＜

GFGHCDBC

2.如下列图做△!）«：使及AADP全等，可得△PDG为等边△,从而可得

△DGC^AAPD^ACGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=NPCG=15°

所以NDCP=30",从而得出△PBC是正三角形

3.如下列图连接BG和ABuF及A正并延长相交于Q点，

连接EB；并延长交CzQ于H点，连接FB：并延长交A?Q于G点，

由/UE=4A>B>=1BC=FBa,EMJAB=JBC=FC>,又NGFQ+NQ=90°和

B

NGE&2+NQ=90°,所以NGERFNGFQ又NBFC^NA^Bz,

可得△BFC必△胡EB?,所以Aa=B2c2,

又NGFQ+NHBF=90°和NGFQ=NEBA,

从而可得/AR090°.

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形AAGDz是正方形.

4.如下列图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得NQMF=NF,NQNM=NDEN和NQMN=NQNM,从

而得出NDEN=NF.

经典难题(二)

1.(1)延长AD到F连BF,做OGXAF,

XZF=ZACB=ZBHD,

可得BH=BF,从而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=20M

(2)连接Ub,UC,既得NBUC=1Z。'，

从而可得NB0M=60°,

所以可得0B=20M=AH=A0,

得证。

JLCD,0G1BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,0Q.

ADACCD2FDFD

由于----=----=----=-----=----,

ABAEBE2BGBG

由此可得△ADFgAABG,从而可得NAFC=NAGE.

又因为PFOA及QGOA四点共圆，可得NAFC=NAOP和NAGE=NAOQ,

ZAOP=ZAOQ,从而可得AP=AQ。

EG+FH

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CLFH.可得PQ=----------°

2

由△EGA92XAIC,可得EG=AI,由△BFHq^CBI,可得FH=BI。

从而可得PQ=-------=――»从而得证。

22

经典难题（三）

△ADE,到AAfiG,连接CG.

由于ZABG=ZADE=900+45°=135°

从而可得B,G,D在一条直线上，可得△AGB9ZkCGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得AAGC为等边三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,从而可得NAEC=75°.

又ZEFC=ZDFA=45°+3O°=750.

可证；CE=€F.

_LDE,可得四边形CGDH是正方形.

由AC=CE=2GC=2CH,

可得/CEH=30°,所以NCAE=NCEA=NAED=15°,

又NFAE=90°+45°+lS=150°,

从而可知道NF=15°,从而得出AE=AF.

±CD,FE1BE,可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X.

tanZBAP=tanZEPF=—=--------------------,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-.¥+Z

即2(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABPgZJ>EF,

得到PA=PF,得证。

经典难题（四）

1,顺时针旋转aABP60”,连接PQ,那么△PBQ是正三角形。

可得APOC是直角三角形。

所以NAPB=150°°

2.作过P点平行于AD的直线，并送一点E,使AE〃DC,BE/7PC.

可以得出NABP=NADP=NAEP,可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得NBAP=NBEP=NBCP,得证。

3.在BD取一点E,使NBCE=NACD：既得△BECsaADC,可得：

BEAD

----=1,即AD*BC=BE*AC>①

BCAC

又NACB=NDCE,可得△ABCs/y)EC,既得

AI3DE

——=——，即AB・CD=DE・AC,②

ACDC

由①+<§)可得：AB・CD+AD・BC=AC(BE+DE)=AC•BD,得证。

s

±AE,AG±CF,由SA〃E=—^2=S©c，可得：

AE.PQAE.PQ

-------=------—,由AE=FC.

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可得DQ=DG,可得NDPA=NDPC（角平分线逆定理）。

经典难题（五）

1.（1）顺时针旋转ABPC60°,可得4PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,

即如下列图：可得最小

(2)过P点作BC的平行线交AB,AC及点D,F.

由于/APD〉NATP=/ADP,