2026年高考数学终极冲刺：专题 排列组合（抢分专练）（原卷版）

4/4专题排列组合题型考情分析考向预测1.排列数与组合数2024年新高考卷2：14题考查了全排列问题2024年全国甲卷：4题考查了有限制条件的排列问题2023年新高考卷Ⅰ：13题考察查加法计数原理和组合计数2023年新高考卷Ⅰ：3题考察查组合计数2023年全国甲卷：9题考查了排列数的计算2023年全国乙卷：7排列组合综合问题2022年新高考卷Ⅰ：5题考察查实际问题中排列组合计数1.有限制条件的排列是高频热点近5年多次考查“有限制条件的排列问题”，题目常通过“相邻/不相邻”“特殊元素优先”“位置限制”等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用。2,.组合问题则多与实际场景结合（如分配问题、选组问题），强调对“无序性”本质的理解。2.人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空3.人坐座位模型2：染色（平面、空间）4.分配问题：球不同，盒不同5.分配问题：球同，盒不同6.书架插书模型7.代替元法：最短路径8.代替元法：空车位停车等9.数列思想：上楼梯等10.环排问题：直排策略题型1排列组合数排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝性质＝n！，0！＝1＝1，，正确理解组合数的性质(1)：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.(2)：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有种方法；②含特殊元素A有种方法.【例1】组合数恒等于（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）若，为正整数且，则（

）A． B．C． D．题型2人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法?先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法?先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种【例2】（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有.（用数字作答）【变式2-1】（25-26高三上·江西景德镇·期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（

）A．144种 B．156种 C．188种 D．240种【变式2-2】（多选）2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（

）A．男、女各站在一起，共有24种排法B．男生不能排在一起，共有54种排法C．男生必须排在一起，共有48种排法D．男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法题型3人坐座位模型2：染色（平面、空间）染色问题，要从“颜色用了几种”，“地图有没有公用区域”方向考虑：1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤2.尽量先从公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否可以“拓扑”转化比如，以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构【例3】一个长方形，被分为、、、、五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域涂色不相同，则不同的涂色方法有种．【变式3-1】对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（

）A． B． C． D．【变式3-2】现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（

）A．264种 B．216种 C．192种 D．144种题型4分配问题：球不同，盒不同基本规律球不同，盒子不同（主要的）方法技巧：无限制，指数幂形式，，有限制“先分组再排列”分类讨论球不同、盒不同核心用分步乘法计数原理，逐个球安排。无限制时，n个不同球放入m个不同盒，共种放法。有限制则分步处理：每球独立选盒，注意“每盒至少1球”先分组再分配，均匀分组需除序消重；特殊盒优先放指定球，再排剩余球。关键抓住“球有序、盒有序”，分步不重复、不遗漏即可。【例4】将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种 B．90种 C．180种 D．270种【变式4-1】（2026·四川泸州·模拟预测）现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（

）A．15 B．90 C．24 D．36【变式4-2】（2026·福建二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答）题型5分配问题：球同，盒不同基础模型：个相同元素分给个不同对象，每个对象至少1个元素，方法数为.变形模型：若允许对象为空，先给每个对象补1个元素转化为“至少1个”的基础模型，方法数为.技巧要点：确保元素相同、对象不同，转化为隔板模型时需验证边界条件（如“至少1个”或“允许为空”）.【例5】（25-26高二上·辽宁·期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有种.【变式5-1】15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有种.【变式5-2】方程共有组正整数解，共有组非负整数解．题型6书架插书模型书架插书法：（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；也可以把有顺序得“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比法）“书架插书”模型书架插书法：、书架上原有书的顺序不变；（2）、新书要一本一本插；（3）、也可以把有顺序的“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比法）【例6】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【变式6-1】（2024·云南·二模）某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节目(3个歌唱节目和2个舞蹈节目).根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保持不变，再在节目单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排最后，则不同的插入方法一共有（

）A．18种 B．20种 C．30种 D．34种【变式6-2】从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按先后顺序，但大小写可以交换位置，如或都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）题型7代替元法：最短路径代替元法核心是等价转化，将复杂元素替换为简单模型，把陌生问题化为常规排列组合。遇到相同元素、重复限制时，用“虚拟元”替代重复部分，消序去重；多类元素混杂时，统一转化为选位模型，简化分类讨论。最短路径问题本质是组合选位，横向、纵向步数固定，只需确定行走顺序。总步数中选取横向（或纵向）的步数位置，用组合数直接计算，无需穷举。解题关键是先算总步数与两类步数差，再用组合公式求解，避免重复或遗漏。【例7】2025年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（

）

A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条C．若图中H处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条D．若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条【变式7-1】（多选）如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（

）A．甲从M到达N处的走法种数为20B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9C．甲、乙能在处相遇的走法种数为36D．甲、乙能相遇的走法种数为164【变式7-2】（山东省泰安市2024-2025学年高三下学期二轮检测）在平面直角坐标系中，定义Ax1,y1,BA．dB．若C为平面内任意一点，则dC．当地政府拟沿满足dP,A+dP,BD．外卖员从A点送餐到B点，在保证路程与dA,B相等的前提下，左转次数X的期望为题型8代替元法：空车位停车等空座位型，1.单独空座位，可以看成相同元素无排列，字母化法处理。2.如果2个或者3个或者更多空座位相连型，与单独空座位则属于不同元素3.空座位，属于相同元素，则符合“直选不排”原理【例8】一条长椅上有6个座位，3个人坐．要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为（

）A．36 B．48 C．72 D．96【变式8-1】某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48 B．54 C．72 D．84【变式8-2】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种题型9数列思想：上楼梯等“上台阶”模型，也可以如“走路口”模型一样，转化为“数字化法”，一步n级台阶，可以记为数字n，一步一阶设为数字1，一步两阶设为数字2，一步n阶，记为数字n，则把吗、阶台阶，变为数字“和”形式。然后总台阶可以借助“不定方程”计算。【例9】有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.【变式9-1】斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（

）种上楼方法.A．377 B．610 C．987 D．1597【变式9-2】某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有种．题型10环排问题：直排策略在圆排列数中：（1）个元素围成一圈其圆排列数为（2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为．（3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理【例10】现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（

）A． B． C． D．【变式10-1】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．【变式10-2】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（

）A．60种 B．48种 C．30种 D．24种1．（2026·黑龙江一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（

）A．81 B．72 C．36 D．122．（2026·四川泸州一模）要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．12 B．14 C．16 D．203．（2026·安徽淮南一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（

）A． B． C． D．4．（2026·四川成都一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（

）A．96种 B．72种 C．48种 D．36种5．（2026·广东汕头一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（

）A．7或 B．5或 C．3或 D．1或6．（2026·安徽安庆一模）将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（

）A．12 B．30 C．60 D．90二、填空题7．（2025·福建厦门二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有__________种.8．（2026·福建一模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答）9．（2026·山东淄博月考）西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有___________种.10．（2025·浙江一模）对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为__________.11．（2025·福建漳州模拟）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则整点到整点的T步的条数为______.（结果用数字表示）12．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________