分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)

教材分析

本节课选自《2022人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主

要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实例

概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原理和分步计

数原理就是在此基础上的发展。由于罗列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，

所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的重点是两个原理的理解与应

用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。

教学目标与核心素养

课程目标学科素质

A.通过实例能归纳总结出分类加法计数原1数.学抽象：两个计数原理

理与分步乘法计数原理；2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题

3.数学运算：运用计数原理解决计数问题

B.正确理解“完成一件事情”的含义，能

4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题

根据具体问题的特征，选择“分类”或者

“分步”.

C.能利用两个原理解决一些简单的实际问

题.

重点难点

重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用

难点：准确应用两个计数原理解决问题

课前准备

多媒体

我学过程

教学过程教学设计意图

核心素质目标

一、问题导学

计数问题是我们从小就时常遇到的，通过列举一个一个地数

是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不

高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简

单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.通过导语，匡助

学生回顾计数问题，

引出学习课题。

问题1.用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的一

个坐位编号，总共能编出多少种不同的号码？

因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编

出26+10=36种不同的号码.

问题2.你能说说这个问题的特征吗？

上述计数过程的基本环节是：

(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类;

通过具体问题，已发

(2)分别计算各类号码的个数；

学生思量，通过分

(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.

析、比较、归纳、形

你能举出一些生活中类似的例子吗？成对计数原理的认

普通地，有如下分类加法计数原理：识。发展学生数学运

算，数学抽象和数学

建模的核心素质。

完成一件事，有两类办法.在第1类办法中有m种不同的方法，

在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N=m+n种

不同的方法.

二、典例解析

例1.在填写高考志愿时，一位高中毕业生了解到，A,B两所大学各

有一些自己感兴趣的强项专业，如表，

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那末他共有多少种选择？

分析:要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学

中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有

共同的强项专业，所以符合分类加法il数原理的条件.

解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种

专业选择

方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业

是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的

专业选择种数N=5+4=9.

利用分类加法计数原埋解题的普通思路

(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类；

(2)计数:求出每一类中的方法数；

(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.

问题3.如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有m种

1

不同的方法，在笫二类方案中有m种不同的方法，在笫三类方案中

有m种不同的方法，那末完成这件事共有多少种不同的方法？如果

3

完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方

法，那末应该如何计数呢？

分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法，且:第一类办法中

在典例分析和练

有m种不同的方法，第二类办法中有m种不同的方法……第n类办

12习中让学生熟悉两

法中有m种不同的方法，那末完成这件事共有N=m+m+…+m种

n12n个计数原理的基本

不同的方法.步骤，并能区分它们

跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个的联系和区别，发展

数是（）学生逻辑推理，直观

A.18B.36C.72D.48想象、数学抽象和数

解析：方法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分学运算的核心素质。

成八类，在母一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5

个、4个、3个、2个、1个.由分类加法计数原理知，满足条件的两

位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.

方法二按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，

在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、

6个、7个、8个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1

+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.

方法三考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思

想解决.所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的

两位数为11,22,33,…，99,共9个；有10,20,3（）,...»90共

9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有

90—18=72（个）.在这72个两位数中，每一个个位数字⑷小于十位数

字S）的两位数都有一个十位数字（〃）小于个位数字S）的两位数与之对

应，故满足条件的两位数的个数是72+2=36.故选B.

答案：B

问题4.用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A,

1

A,…A,B,B,…的方式给教室里的一个坐位编号，总共能编出

1912

多少种不同的号码？

方法二：曾于6撷文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意

一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6x9=54种不同

的号码.

问题5.你能说说这个问题的特征吗？

上述计数过程的基本环节是：

(1)由问题条件中的“和“，可确定完成编号要分两步；

(2)分别计算各步号码的个数；

(3)将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.

你能举出一些生活中类似的例子吗？

例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一

名代表班级参

加比赛，共有多少种不同的选法？

分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步，选男生；第二步，选女

生.

解：第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；

第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择；

根据分步计数原理，共有30X24=720种不同方法.

问题6.如果完成一件事有三个步骤，做第1步有m种不同的方

1

法，做第2步有m种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，

那末完成这件事共有多少种不同的方法？

N=mXmXm

123

如果完成一件事需要有n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那

么应当如何计数呢？

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第

1

2步有m种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，那末完成

2n

这件事的方法总数如何计算？

分步乘法计数原理普通结论：

N=mxmx•••xm

12n

例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的

文艺书，第3层放有2本不同的体育杂志.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法？

(3)从书架上取2本不同学科的书，有多少种不同的取法？

解：(1)根据分类加法计数原理可得：N=4+3+2=9；

(2)根据分步乘法计数原理可"得：N=4x3x2=24：

(3)需先分类再分步.

第一类：从一、二层各取一本，有4x3=12种方法；

第二类：从一、三层各取一本，有4x2=8种方法；

第三类：从二、三层各取一本，有3x2=6种方法；

根据两个基本原理，不同的取法总数是

N=4x3+4x2+3x2=26

答:从书架上取2本不同种的书，有26种不同的取法.

应用分步乘法计数原理解题的普通思路

跟踪训练2.有6幺同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况

下各有多少种不同的报名方法？（不一定6名同学都参加）

（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；

（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限.

解：（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的

报名方法.

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36=729.

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，

因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选

法，第三个项目有4种选法.

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6x5x4=120.

（3）每人参加的项FI不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1

人参赛.根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63=

216.

三、达标检测

1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取通过练习巩固本节

出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（）所学知识，通过学生

A.20种B.15种C.10种D.4种解决问题，发展学生

解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方的数学运算、逻辑推

法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，理、直观想象、数学

若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4建模的核心素质。

本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4+4

+6+1=15（种）.故选B.

答案：B

2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由

选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（）

A.56B.65C.30D.11

解析：（1）第一位同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，...，

挨次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的

选法.故选A.

3.4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3

张卡片排放在一起,可组成个不同的三位数.

解析:分三个步骤：

第一步:百位可放8-1=7个数；

第二步:十位可放6个数；

第三步:个位可放4个数.

根据分步乘法计数原理，可以组成N=7X6X4=168个不同的二位数.

答案:168

4.如图所示的电路图，从A到B共有条不同的路线可通

电

解析:先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类，经过支路②有

1种方法;第三类，经过支路③有2X2=4种方法，所以总的路线条数

N=3+1+4=8.

答案：8

5.如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C，求其中

1

经过3条棱的路线共有多少条？

解:从总体上看有三类方法，分别经过AB,AD,AA.从局部上看每一类

1

又需分两步完成.故第一类经过AB,有m=1X2=2条;第二类:经过

1

AD,有m=1X2=2条;笫三类:经过AA，有m=1X2=2条.根据分类加

213

法计数原理，从顶点A到顶点C经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6

条.

6.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英

语,3人会日语,从中选出会英语和口语的各一人到边远地区支教，有多

少种不同的选法？

解:由题意知，有1人既会英语乂会H语,6人只会英语,2人只会日语.

方法一:分两类.

第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法，从会日语的3人中选

1人有3种选法.此时共有6X3-18（种）选法.

第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法，从只会日语的2人中选1

人有2种选法，此时有1X22（种）选法.所以由分类加法计数原理知，

共有18220（种）选法.

方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情

形,入选后又分两种情况:（1）教英语;（2）教日语.

第一类:甲入选.

（1）甲教英语，再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理，有

1X2.2（种）选法;

（2）甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有

1X6-6（种）选法.故甲入选的不同选法共有2,6-8（种）.

第二类:甲不入选.

可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步，从

只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有6X

2J2（种）不同的选法.综上，共有8.12.20（种）不同的选法.

四、小结

两个原理的联系与区别通过总结，让学生进

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最一步巩固本节所学

基本、最重要的方法.内容，提高概括能

2.区别力。

分类加法计数原理分步乘法计数原理

区别完成一件事共有n类办法，关完成一件事共有n个步骤，关键

键词是“分类”