山东德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin105∘A.6−24 B.62.已知向量a=m,2,b=m,m，则m=2是a//A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要3.已知3sinα+5cosα=AA.A=4,tanφ=−35 B.A=344.已知1+sin2α2cos2A.15 B.−15 C.55.已知不共线的平面向量a,b,c，两两夹角相等，a=1,A.3或36 B.3 C.3或6 6.如图所示，在▵ABC中，∠BAC=90∘,AB=6,AC=8,D是BC的中点，点E在AD上，且AE=2ED，则BE⋅ADA.293 B.−293 C.47.若角α∈0,π2,β∈0,A.31010 B.45 C.8.如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A,B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，则OA⋅BP的取值范围是A.−10,2 B.−18,6 C.−23,2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法不正确的是(

)A.若a//b，b//c，则a//c

B.若a⋅b<0，则a,b为钝角

C.若a,10.已知cosα+β=−55,A.tan2α=34 B.cosα−β=211.已知两个非零向量a,b的夹角为θ，定义运算⊗:a⊗b=A.∃θ∈0,π2,a⊗b=a⋅b

B.a在三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=3,b=2，若a⊥a−13.已知cosα=35，且α∈0,π2，则14.如图正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,AD上的点，若P为AB的中点且DQ=14DA，则tan∠PCQ=

；若△APQ的周长为2，则∠PCQ的大小为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平面向量a=3,4,(1)求b⋅(2)求m=2a−b16.(本小题15分)已知平面向量a=3(1)求fx(2)若锐角α满足fα2=117.(本小题15分)如图，在扇形POQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π3,B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.其中CD在半径OQ(1)当α=π6时，求矩形(2)角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．18.(本小题17分)如图1，在▵ABO中，∠AOB为直角，OC=14OA,OD=12(1)用a,b表示向量(2)设OM=ma+n(3)如图2，过点M的直线与边OA､OB分别交于点E､F，设OE=λOA,OF=μOB19.(本小题17分)把由平面内夹角成π3的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，e1，e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2，则把实数对x,y(1)求2a(2)求向量a与b的夹角的余弦值；(3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy′，若向量m在平面直角坐标系中的坐标为4,23，求向量m的“广义坐标”．参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.B

9.ABD

10.BC

11.ACD

12.π613.0.5

14.7615.解：(1)因为a//b，所以3x−36=0所以b因为a⊥c，所以a所以c所以b⋅(2)由(1)知，m=2n所以m⋅m=n设m,n的夹角为θ因为θ∈0,π，所以θ=3π4;即向量m

16.解：(1)由f=取2kπ−π2≤2x−故fx的单调增区间为kπ−(2)由(1)知fx=sin所以sin2α+

17.解：(1)在Rt▵OBC中，BC=2sin30在Rt▵ADO中，ADOD所以OD=所以CD=OC−OD=设矩形ABCD的面积为S，则S=CD⋅BC=2(2)在Rt▵OBC中，BC=2sin在Rt▵ADO中，ADOD所以OD=所以CD=OC−OD=2cos设矩形ABCD的面积为S，则S=CD⋅BC=2=2sin由0<α<π3，得所以当2α+π6=π2因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为

18.解：(1)由题意，AD=(2)解法一：由OM=ma+n所以存在非零实数k使得CM=k所以OM=所以m=1−k4n=k又因为D､M､A三点共线，所以存在非零实数t使得DM=t所以OM=又OM=ma+nb由①②解得m=1解法二：因为OC=14因为OD=12因为OM=mOA+n因为A､M､D三点共线，所以m+2n=1，而OM=4m因为M､C､B三点共线，所以4m+n=1由m+2n=14m+n=1，得m=(3)解法一：由(2)知OM=因为F､M､E三点共线，所以存在非零实数h使得FM=h因为FM=OM−消去h得μ+3λ=7λμ，所以1λ解法二：由(2)知，OM因为OE=λOA,所以OM=因为M､E､F三点共线，所以17λ+3

19