第二章 2.10　函数与方程 课件2027高考数学一轮总复习

第二章函数的概念与基本初等函数2.10函数与方程2027高考数学一轮总复习内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解.202320242025新课标Ⅰ卷T15新课标Ⅰ卷T7

新课标Ⅱ卷T6,T9,T11

必备知识回顾1.函数的零点(1)函数零点的定义:使________的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:知识梳理f(x)=0x轴f(x)=02.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有____________,那么,函数y=f(x)在区间_________内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得_________,这个c也就是方程f(x)=0的解.3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且______________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间________,使所得区间的两个端点逐步逼近____,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0f(a)·f(b)<0一分为二零点

1.若连续函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是其图象与x轴交点的横坐标.2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数若有零点,则必有无穷多个零点.1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数f(x)=2x的零点为0.(

)(2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(

)(4)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.

(

)基础检测√×√×

B3.(人教A版必修第一册P144练习T2改编)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(

)A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)解析:因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=0在(0,+∞)上只有一个实数根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.B

-5关键能力提升

B

(2)设函数f(x)=ln|x|+|x|-2的零点都在区间[a,b](a,b∈Z,a<b)内,则b-a的最小值为(

)A.8

B.6 C.4

D.2【解析】

因为函数f(x)=ln|x|+|x|-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=ln|-x|+|-x|-2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln

x+x-2在(0,+∞)上单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=ln

2>0,则存在x0∈(1,2),使得f(x0)=0,因此函数f(x)在(0,+∞)的唯一零点x0∈(0,b],则b≥2,由偶函数的性质得a≤-2,于是b-a≥4,所以b-a的最小值为4.故选C.C1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不满足条件时,一定要结合函数性质进行分析判断.规律总结

B

B

B

C

函数f(x)零点个数的判断方法(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有多少个不同的解就有多少个零点.(2)借助函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)把函数f(x)拆分为两个较简单的函数,画这两个函数图象,看其交点的个数,交点有多少个,就有多少个零点.规律总结【对点训练2】

(1)函数f(x)=(a+1)x-ax+x(a>1)的零点的个数为

(

)A.1B.2C.3D.无法确定,与a的取值有关A解析:当a>1时,由指数函数的图象(如图)与性质知,当x>0时,(a+1)x-ax>0,所以f(x)>0,当x<0时,(a+1)x-ax<0,所以f(x)<0,又当x=0时,f(x)=0,所以函数f(x)只有一个零点.故选A.(2)(2025·河北保定一模)已知f(x)是定义在R上的函数,且有f(x+1)=f(x)+1,当0<x≤1时,f(x)=3x+1,则方程f(x)=4的根的个数为

(

)A.1 B.2C.3 D.4C解析:因为f(x)是定义在R上的函数,且有f(x+1)=f(x)+1,当0<x≤1时,f(x)=3x+1,所以-1<x≤0时,0<x+1≤1,则f(x)=f(x+1)-1=3x+3,1<x≤2时,0<x-1≤1,f(x)=f(x-1)+1=3x-1,2<x≤3时,0<x-2≤1,f(x)=f(x-2)+2=3x-3,3<x≤4时,0<x-3≤1,f(x)=f(x-3)+3=3x-5,画出函数f(x)的图象与直线y=4,如图,由图象可知方程f(x)=4的根的个数为3.故选C.

B

D

1.利用函数零点求参数范围的方法规律总结2.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积),实质上是等高线问题,重在“减元”,结合函数图象要充分利用“函数值相等”,树立目标意识,预设“消谁留谁”,利用“函数值相等”的逆向使用,探究出自变量间的等量关系.3.遇到复杂函数零点问题,先分析奇偶性、周期性、对称性,可减少计算量.

A

C解析:当x≤0时,函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,-1]上单调递减,则f(x)∈

[-4,+∞),在[-1,0]上单调递增,则f(x)∈[-4,-3];当x>0时,f(x)=-2+ln

x在(0,+∞)上单调递增,则f(x)∈R,在直角坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=k,如图,

由图象知,当k=-4或k>-3时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个交点,即方程f(x)=k有两个实数解.故选C.

C

嵌套函数的零点函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设出中间函数,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.教材拓展

6

(1,2)高考真题教材典题考教衔接B

高考真题教材典题D解析:由题意知f(x)=g(x),则a(x+1)2-1=cos

x+2ax,即cos

x=a(x2+1)-1.令h(x)=cos

x-a(x2+1)+1.易知h(x)为偶函数,由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零点,所以h(0)=0,即cos

0-a(0+1)+1=0,解得a=2.故选D.课时作业15

基础巩固C2.(5分)函数f(x)=lnx+2x-5的零点为x0,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析:因为函数f(x)=ln

x+2x-5在(0,+∞)上单调递增(提示:增+增=增),且f(2)=ln

2-1<0,f(3)=ln

3+1>0,所以x0∈(2,3),所以k=2.故选C.

C

C

C

D6.(5分)已知函数f(x)=ex+lnx满足f(a)f(b)·f(c)<0(0<a<b<c).设函数f(x)的零点为x0,则(

)A.x0<a B.x0>aC.x0<c D.x0>c解析:因为f(x)=ex+ln

x在(0,+∞)上单调递增,且0<a<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c).因为f(a)·f(b)f(c)<0,所以f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0或f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0(题眼:根据函数的单调性及同号相乘得正,异号相乘得负判断出函数值的符号).若f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,由函数零点存在定理可知x0∈(a,b);若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,由函数零点存在定理可知x0∈(c,+∞).综上所述,x0>a.故选B.B7.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=(

)A.-12 B.-6 C.-8 D.4C解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴f(x)的一个周期T=8.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴由f(x-4)=-f(x),得f(4-x)=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称.结合f(x)在区间[0,2]上是增函数和以上信息,作出函数f(x)的大致图象如图,根据图象,可得x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.故选C.8.(5分)(2026·湖南长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的周期函数,其最小正周期为5,设g(x)=f(2x),若g(x)在区间[0,5)上共有26个零点,则f(x)在区间[2,16)上的零点个数为(

)A.8 B.10 C.12 D.15B解析:令t=2x,则g(x)=f(t),当x∈[0,5)时,t∈[1,32),所以g(x)在区间[0,5)上的零点个数即为f(x)在区间[1,32)上的零点个数.设f(x)在一个周期内的零点个数为m,在区间