2025-2026学年贵州贵阳2026年高三下册4月联考数学试题 含答案

/数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1、若复数z=−1+iA.0B.1C.2D.42.若全集U={−1,0A.{−1,C.{2,3.已知直线l:x+y−3=0被圆A.-1B.0C.1D.24.已知两个单位向量e1与e2的夹角为π3,设a=A.1B.3C.2D.35.已知随机变量X∼B6.如图1是由一个扇形和三角形组成的平面区域,AB//CD,∠CAD=120∘图1A.12πC.3−17.设a>0,若对任意x∈0,πA.0,π4B.π48.已知直线l过抛物线的焦点F，且与该抛物线交于M,N.两点，经过点M和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,经过点N和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点E.若EF=3DF，则△EMFA.3B.3C.33D.9二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分:在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.9.设函数fx=cosωx−φω>0,0≤φ≤πA.φ=B.ω的值不唯一C.fx的图象关于π4,D.fx的最小正周期是图210.如图2,双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率是2,左、右顶点分别为A1,A2A.△A1B.当△A1P1C.直线A1PD.点Q在以A1A11.已知定点A,B,C∈α,△ABC是边长为43的等边三角形.若动点A.三棱锥A−BCPB.点C到平面PAB的距离的最大值是6C.当点Q(异于点P)到平面α的距离是1时,PQD.若A,B,C,P在一个半径为5的球O的球面上,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.函数fx=4x3−13.已知一组数据x1,x2,x14.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知Sn是数列an的前n项和，a(1)命题p:若_____(i)_____，则_____(ii)_____.①log2Sn②对任意n∈N∗，从①②中选择一个填在(i)，另一个填在(ii)，使得命题p为真命题，并证明.(若写两种选择，则按第一种选择给分)(2)在(1)的条件下，求数列an16.(本小题满分15分)图3如图3，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD,BC=CD,BC ⊥(1)证明:AE⊥平面ABD(2)当二面角B−AE−D的正切值为22时，求直线AE17.(本小题满分15分)已知0∘≤α≤180∘，曲线(1)讨论曲线τ的形状；(2)当α=60∘时，点A0,2，点M0,−1，过点P2,2的直线与曲线τ有唯一交点B18.(本小题满分17分)设n是大于1的正整数,定义在0,+∞上的函数fx=xne(1)求n的值；(2)设hx=(I)求不等式hx≤(II)设x1,x2,x3,⋯,xm是正实数,其中19.(本小题满分17分)2021年3月,滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里,宛如一条璀璨夺目的翡翠项链,将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链,融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷.骑行爱好者小明已骑行数年,2026年初始,他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划.第一阶段:第一周从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A,则下一周选择路线B的概率为12;若前一周选择路线B,则下一周选择路线A的概率为3第二阶段:骑行30周，每周从1～30这30个数字中随机选择一个、若该数字除以7余数为1或2,则该周选择路线A,否则选择路线B.每个数字仅使用一次,直到第30个数字抽完.(1)记小明第一阶段累计nn∈N∗次选择路线B骑行共花了Xn周，比较Xn的期望EXn(2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率；(3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了Y周，求随机变量Y的期望EY.数学评分细则一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.题号12345678答案CADBBDCD1.z=−1−i,2.A={0,3.圆x−a2+y−a+12=1的圆心为a,a−1,半径为1,直线l4.由题意e12=1,e22=1,e1⋅e5.X∼B9,0.7,则X的取值可能是0,16.∵AB//CD,∠BAC=45∘,∴∠ACD=45∘.△ACD中，∠ACD=457.对任意x∈0,π4,lnx<0,tanx>0,lnxtanx<0.当a≥1时,lna≥0,lnxtanx<lna恒成立;当0<a<8.不妨设抛物线方程为y2=2pxp>0,直线MN:x=my+p2,代入抛物线方程,可得y2−2pmy−p2=0,设Mx1,y1,Nx2,y2,可知y1y2=−p2.直线DM:y=y1x1x,即y=2py1x,令x=−p2,得y=−p2y1=y二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案ADBCDABD9.函数fx=cosωx−φω>0,0≤φ≤π是定义在R上的奇函数,则φ=π2,fx=sinωx.由fx=fπ2−x可知fx的图象关于x=10.双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率是2,所以a=b,双曲线E:x2a2−y2a2=1a>0,渐近线方程y=±x.由对称性,△A1P1P2是等腰三角形.若△A1P1P2是等腰直角三角形，则直线A1P1与y=x平行，直线A1P1与双曲线不存在两个交点，故△A1P1P2不可能是等腰直角三角形,A不正确;设11.三棱锥P−ABC的高为1,底面积为123,所以三棱锥A−BCP的体积VA−BCP=VP−ABC=43为定值，A正确；△PAB的AB边上的高最小值为1，所以△PAB的面积有最小值12×1×43=23，设点C到平面PAB的距离为d，由VC−PAB=VP−ABC=43，得13×d×S△PAB=43，当S△PAB取最小值23时，d有最大值6，B正确；当点Q(异于点P)到平面α的距离是1,且P、Q在平面α异侧时,PQ与α不平行,C不正确;设点O到A,B,C,P三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)题号121314答案23.6812.f′x=12x2−3,当−1<x<−12时,f′x>0,fx单调递增;当−12<x<12时,f′13.由i=15xi=20可知x1,x2,s14.若△ABC的面积是2,则bcsinA=4,由余弦定理,a2+2b2+3c2与x2+y2=1相切时,即cosA=123=36时,sinAcosA−12有最小值−11四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)解:情形一:(1)选择证明:若log2Sn是以2为公差的等差数列，则若log2Sn则log2Sn=当n≥2时,∴对任意n∈N∗，∴Sn(2)当n=1时，a当n≥2时，an=3×4n−2∴an情形二:(1)选择证明:若对任意n∈N∗，Sn=13a由Sn=13an+1Sn是以1为首项，4为公比的等比数列，Sn=4n−1log2Sn是以2(2)∵Sn=4n当n=1时，a当n≥2时，an=3×4n−2∴an16.(本小题满分15分)(1)证明:连接CF，如图，∵BC=CD，F为BD中点，∵AB⊥平面BCD，CF⊂平面BCD，BD∩AB=B,∴∵FE=CA,∴FE//CA,FE∴AE⊥平面ABD(2)解:∵AE⊥平面ABD，∴AE⊥AB∴∠BAD即为二面角B−不妨设BA=a∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面∴AB在△BCD中,BC(9分)法一:∵AE//CF，∴直线AE与平面ACD所成角即为直线CF与平面在△ABC中,AC2=BC2+A∴在△ACD中,A设点F到平面ACD的距离为d,V111d(13分)设直线CF与平面ACD所成角为θ,sin所以直线AE与平面ACD所成角的正弦值为1010.(15分)如图,建立空间直角坐标系,C0FaCA=设平面ACD的一个法向量为n=由CA⋅n=0,CD⋅n=得n=0设直线AE与平面ACD所成角为θ,则sinθ所以直线AE与平面ACD所成角的正弦值为1010.(1517.(本小题满分15分)(1)解:当α=0∘时，曲线τ:当0∘<α<90∘时,0<cosα<1(3分)当α=90∘时,曲线τ:x=±1,表示两条平行于y轴的直线;(4分)当90∘<α≤180∘时,(2)证明:当α=60∘时，曲线τ:直线PB的斜率存在,设其方程为y=kx+m联立y=kx+my22+x∵直线与椭圆有唯一交点,∴Δ=2解得k2−又∵m=2−2k,∴解得直线PB:设Bx0,y0,则x(12分)则tan∠PMA=tan又∠PMA所以∠PMA=∠PMB,即PM平分18.(本小题满分17分)解:(1)fx的定义域为0令f′x=0当0<x<n时,当x>n时,f∴fx令nnen<1,得nn<en∵n是大于1的正整数,∴n(2)(I)由(1)知fx要解fx≤4x−∵x>0,∴令gxg设φx令φ′x=0当0<x<2时,当x>2时,φ∴当x=2时,φx有最小值∴φx≥0,g′x又g2