2025-2026学年重庆省高三下册4月二诊数学试题 含答案

/数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,−1},B=xA.-2B.-1C.0D.12.已知向量a与b满足a=1,b=2，且A.1B.2C.3D.43.已知a<bA.ac<bcC.2a+4.树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有A.8种B.10种C.12种D.14种5.已知△ABC中,AB=3,cosA=A.2B.6C.22D.6.已知等比数列an的首项a1=527，公比q=13.若Tn是数列an的前nA.5B.6C.7D.87.若经过点0,−2的直线l既与曲线y=lnx相切,也与曲线yA.1e8.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高(如图).若球缺的底面半径为r,高为h,则球缺的体积V=16πh3r2+h2.已知棱长为2的正方体ABCD−A1A.63−C.23−二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分。9.已知随机变量X服从二项分布B8,12，随机变量Y服从正态分布A.PX≤C.EX=10.在平面直角坐标系中,经过点P1,1的直线交坐标轴于点A,BA,B可重合,若点M满足AM=A.曲线C的方程是x+y=2xyB.直线ABC.曲线C关于直线x−yD.曲线C关于点12,11.已知数列an满足anA.存在a1∈R,使得B.存在a1∈R,使得C.不存在a1∈R,使得D.存在a1>0,使得a7三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=2−i，则13.已知fx是偶函数，对任意x，y∈0,+∞，fxfy=fx+y；当014.已知抛物线C:y=2x−x2，直线y=tt>0与C交于A，四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数fx(1)求fx(2)若曲线y=fx关于直线x=π6对称，求a16.(15分)如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，(1)若M是棱BE的中点，证明:DE//面ACM(2)若AC=AB,∠EBD=π6，求平面17.(15分)已知函数fx(1)讨论fx(2)当0<x<1时，若fx≤18.(17分)小明拥有1个电动玩具,厂家配备了一个装电池的盒子,内装满原装4块电池,其中2块为可充电电池,2块为一次性电池.为了保证随时可玩耍,小明又购买了2块可充电电池备用.他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池,则使用完毕后充电,并放入盒中以备下次使用.(1)记第n次使用后一次性电池剩余的块数为Xn，求X2(2)记第n+1次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为(i)求pn(ii)分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大.19.(17分)已知O为坐标原点，椭圆E:x2a2+y(1)求E的离心率；(2)已知M是以OF为直径的圆上一点，P是射线OM上一点，满足OMOP(i)求点P的轨迹方程;(ii)当点P在x轴上方时,过点P作y轴的垂线l,若l与椭圆E在第一象限内有一个交点Q,直线PF与y轴相交于点N,求证:△NFQ的外接圆经过异于F的一个定点.数学答案一、选择题:12345678BCCDABCA1题A∪B=B⇒2题a−3题由a<b<c,4题分丁跑第一棒和乙或丙同学跑第一棒,A35题因为sinA=223=cosB,所以A6题an=52713n−1,由Tn=a1⋅a2⋯an7题设曲线y=lnx的切点为x1,lnx1,则由y′=1x,切线方程为y=1x1x−x1+lnx1=1x1x−1+lnx1,故−1+lnx1=−28题设外接球圆心为O,平面ABCD截外接球所得圆圆心为O1,由题意正方体外接球的半径R=3,平面ABCD截外接球所得圆的半径为r=2，O到O1的距离为3−2=1，则球缺的高二、选择题:91011BCACDACD9题X∼B8,12,则有PX10题当A,B不重合时,设Aa,0,B0,b,则过A,B的直线满足xa+yb=1,点1,1在直线上,则1a+1b=1,由AM=MB,所以M点坐标为a2,b2,则有M点的轨迹方程满足12x+12y=1,即x+y=2xy,当A,B重合时,0,0也满足方程,A正确;当且仅当AB:x+y−2=0时,AB与C相切,B错误;11题当a1=1或a1=−12时,an是常数列,A正确;若an是等比数列,则a2a1=a3a2,即2a12−1a1=2a22−1a2,2a1a2a1−a2=a2−a1,因为an是递减数列,所以a1≠a2,则a1a2=−12,同理,a2a3=−12,从而a三、填空题:1213145ex412题zz13题x,y∈0,+∞,fxfy=fx+y,则fx在0,+∞上满足指数函数性质,又0<x<y时,fx14题由题意,设Ax1,t,Bx2,t为交点坐标,则x1,x2是2x−x2=t0<t<1的解,则有x1+x2=2x1x2=t,则以OA,OB四、解答题:15.(13分)解:(1)fx=asin2x(2)由题意，f0=fπ3，即0=asin2π此时fx=2sin因为−1≤sin2x+π6≤1,所以−316.(15分)解:(1)设BD与AC的交点为O,连接MO,因为ABCD是菱形,所以DO=BO,又EM=MB,所以DE//MO，因为MO⊂平面ACM，DE⊄平面ACM，所以DE(2)过E做EH⊥DB，连接EO，所以EO⊥AC，又DO⊥AC，且EO∩DO=O，所以AC⊥平面DEO,又所以EH⊥平面ABCD,...8作Oz//EH,则有Oz⊥平面ABCD,以O为原点,OA,OB,Oz所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,由题意知,OA=1,所有AC=AD设平面ACE的法向量n1=x1,取z1=1，可得平面ACE的一个法向量设平面ADE的法向量n2=x2,取z2=1,可得平面ADE的一个法向量设平面ACE与平面ADE夹角为φ,所以cosφ综上,平面ACE与平面ADE夹角的余弦值为1313....1517.(15分)解:(1)fx的定义域为−∞,0∪0,令φx=xx−当x<0时,φ′x>0,φx在−∞,0上单调递增,当0<x<1时,φ′x<0,φx在0,(2)当0<x<1时，fx≤ax−1令gx=ln1−x①若2a≥−1，即a≥−12，则g′x<0,gx在0,1单调递减，所以gx<0满足题意，⋯10分②若2a<−1，即a<−12，令g′x=0，得x0=12a+1∈h′x=−1x−14x2综上,所以a≥−118.(17分)解:(1)X2的可能取值为0,1,2,所以PPX2=2=1(2)(i)记事件A1:第一次取到一次性电池，事件B:取到可充电电池，事件A2:第二次取到一次性电池，由条件,假设第k1≤k≤n次抽取时,事件A1发生,概率PA1=12,第n+1次抽取时,事件A2发生,概率PA2=14则有抽取次数12......kkk......nn事件BB......BAB......BA所以pnpn=(ii)令pn+1−pn=12所以第3次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大.17分19.(17分)解:(1)由条件知c2=a2−b2=4所以E的离心率e=c(2)(i)以OF为直径的圆:x−12+y