2027届新高考数学热点精准复习双曲线

2027届新高考数学热点精准复习双曲线1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.课标要求1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个______叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若_______，则集合P为双曲线;②若a＝c，则集合P为____________;③若________，则集合P为空集.定点a<c两条射线a>c2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≥a或x≤-a,y∈R_____________________对称性对称轴:________;对称中心:______顶点____________________A1(0,-a),A2(0,a)渐近线_______________x∈R,y≤-a或y≥a坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)

标准方程性质离心率e=_______,e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=_________

a2+b2常用结论与微点提醒

常用结论与微点提醒

(1)应该表示的轨迹为两条射线.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×

(3)当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m<0，n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.×√

17根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.例1(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O:x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆B考点一双曲线的定义及应用如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.

12由题意知，双曲线C的实轴长2a＝8，设点P到另一个焦点的距离为d(d>0)，则根据双曲线的定义可得|d－4|＝8，得d＝12.感悟提升1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.

A

由题意知过坐标原点的直线与双曲线左、右支各交于一点，不妨设点A在第一象限.

(2)已知F1，F2为双曲线C:x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为____________.

C考点二双曲线的标准方程

感悟提升

感悟提升

B

(2)已知圆C1:(x＋3)2＋y2＝1，C2:(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.

设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，

D

考点三双曲线的几何性质

B

BC

感悟提升

感悟提升3.与双曲线有关的最值(范围)问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.

4

A

D

C

C

B

B

C

由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝|AB|＋4a，所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a，因为a＝2，|AB|的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16.

BC

ACD

2

(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|＋|PF|的最小值.记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，|PA|＋