第四章第08讲 解题技巧专题：全等三角形模型之倍长中线与截长补短（七年级下册）

第四章第08讲解题技巧专题：全等三角形模型之倍长中线与截长补短（七年级下册）

一、教学内容与教材分析

（一）【基础】课程定位与内容结构

本节课选自北京师范大学出版社义务教育教科书《七年级数学下册》第四章“三角形”第08讲，属于解题技巧专题复习课。在完成了三角形全等的基础判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的学习之后，学生已经具备了基本的逻辑推理能力和几何证明基础。然而，面对较为复杂的几何图形，特别是涉及线段之间的和、差、倍、分关系以及线段不等关系的证明时，学生往往会感到无从下手，其根本原因在于难以突破原有图形框架的限制，构造出合适的全等三角形。倍长中线法和截长补短法正是解决此类问题的两把“金钥匙”，它们不仅是构造全等三角形的重要策略，更是培养学生几何直观、空间观念和推理能力的关键载体。本节课通过系统梳理这两种模型，旨在帮助学生突破几何证明的难点，实现从“会证”到“巧证”的飞跃，为后续学习等腰三角形、直角三角形、四边形乃至相似三角形等内容奠定坚实的思维基础。

（二）【重要】核心素养指向

本节课的设计与实施，深度契合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于核心素养的要求。首先，通过引导学生观察、分析、想象辅助线的添加过程，培养其几何直观和空间观念，使学生能够在大脑中构建图形变换的动态过程。其次，通过对证明思路的不断探索、比较和优化，特别是分析法与综合法的交互使用，有效发展学生的推理能力和抽象能力。再次，通过对倍长中线（旋转思想）和截长补短（线段迁移思想）本质的揭示，引导学生体会数学思想方法在解决问题中的统摄作用，形成运用数学思想方法指导思维的习惯，从而提升数学建模和数学运算的素养。最终，通过对经典问题的深入剖析和变式训练，培养学生勤于思考、敢于质疑、善于合作的科学精神与理性精神。

二、学情分析

（一）知识储备层面

学生已经系统学习了全等三角形的四种基本判定方法和一种特殊方法，掌握了全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），并能进行简单的推理证明。对三角形中的中线、角平分线、高线等基本概念有清晰认识。这为本节课利用辅助线构造全等三角形提供了必要的知识前提。

（二）【难点】思维障碍分析

尽管学生具备基础知识，但其思维仍处于从经验型向理论型过渡的阶段，存在以下主要障碍：一是思维定势，习惯于在给定的图形中寻找全等条件，缺乏主动构造的意识，面对没有现成全等三角形的问题时缺乏破题思路；二是对辅助线的理解仅停留在“为了证明而添加”的浅层，未能理解其背后的图形运动（旋转、翻折、平移）本质，导致辅助线的添加具有盲目性和偶然性；三是在面对多条线段的和差关系时，无法有效地将分散的条件通过图形变换进行集中，缺乏转化的策略。

三、教学目标设计

（一）知识与技能目标

1.理解倍长中线法的定义与操作要领，掌握通过延长中线一倍构造“8”字形全等三角形的方法，能熟练运用该方法证明与中线有关的线段不等关系或等量关系。

2.理解截长补短法的两种操作形式（截长法与补短法），掌握在证明形如“a=b+c”的线段和差问题时，如何通过构造全等三角形将问题转化为线段相等问题进行证明。

3.【高频考点】能够准确识别适用于倍长中线与截长补短模型的图形特征，并灵活选择恰当的方法解决相应的几何证明题和计算题。

（二）过程与方法目标

1.通过观察、猜想、验证、证明等数学活动，经历倍长中线与截长补短辅助线的生成过程，体会从特殊到一般、化归与转化的数学思想方法。

2.【重要】通过对同一问题的多种解法进行对比分析（如用截长法或补短法解决同一问题），学会优化解题策略，培养发散思维与求异思维能力。

（三）情感态度与价值观目标

1.在克服几何证明困难、成功添加辅助线解决问题的过程中，增强学习数学的自信心，获得成功的体验。

2.通过小组合作探究、交流展示，培养团队协作精神和语言表达能力，养成严谨求实的科学态度。

四、教学重难点

（一）教学重点

掌握倍长中线法与截长补短法构造全等三角形的基本方法和步骤。

（二）【难点】教学难点

1.理解辅助线添加背后的图形变换本质（旋转、翻折），能够针对具体问题灵活、合理地构造辅助线。

2.在复杂的几何图形中，准确识别或构造出适合倍长中线与截长补短的基本模型。

五、教学方法与准备

（一）教学方法

采用“启发探究式”与“变式训练式”相结合的教学方法。教师通过层层递进的问题链启发学生思考，引导学生经历“观察—分析—构想—尝试—论证—反思”的全过程。课堂上以学生自主探究和小组合作交流为主，教师适时点拨、精讲释疑，充分发挥学生的主体地位。

（二）教学准备

多媒体课件（PPT）、几何画板动态演示素材、导学案、直尺、圆规。

六、教学实施过程

（一）【基础】情境导入，唤醒认知

1.问题呈现：教师在大屏幕上展示一个三角形ABC，并画出边BC上的中线AD。提出问题：“同学们，如果我们想证明AB+AC>2AD，你有什么思路？”引导学生思考，直接利用三角形三边关系定理，在ABD和ACD中分别有AB+BD>AD，AC+CD>AD，两式相加得AB+AC+BC>2AD，但结论中需要的是2AD，而左边多出了BC，因此此路不通。

2.认知冲突：此时教师引导学生思考：“2AD”在图形中如何直观呈现？既然直接证明遇到困难，我们能否通过改变图形的位置和大小，将分散的条件（AB、AC、AD）集中到一个三角形中，以便利用三边关系定理？

3.引入课题：由此引出本节课的核心——通过添加辅助线构造全等三角形，实现条件的转移。板书课题：“第四章第08讲解题技巧专题：全等三角形模型之倍长中线与截长补短”。

（二）【高频考点】【难点】模型探究一：倍长中线法

1.定义与操作

教师明确：倍长中线法是指，将三角形一边上的中线延长，使延长的那一段长度等于原中线的长度，然后连接相应的顶点，构造出一对旋转型的全等三角形。

其基本操作格式为：如图，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。

2.【非常重要】本质剖析（几何画板动态演示）

利用几何画板演示：将ABD绕点D旋转180°至ECD的位置。通过动态旋转，让学生直观地看到，倍长中线实际上就是将一个三角形绕中线的中点旋转180度，从而将边AB转移到CE的位置，将角∠BAD转移到∠CED的位置。这种“旋转”是实现分散条件集中的根本手段。

引导学生得出结论：ABD≌ECD（SAS）。由此得到关键结论：AB=EC，∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD。

3.典例精析：证明线段不等关系

回到导入时的问题：求证AB+AC>2AD。

证明过程规范板演：

证明：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是BC边上的中线

∴BD=CD

在ABD和ECD中

BD=CD

∠ADB=∠EDC（对顶角相等）

AD=ED

∴ABD≌ECD(SAS)

∴AB=EC

在ACE中，∵AC+EC>AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AC+AB>AD+DE，即AB+AC>2AD。

设计意图：通过典型例题的规范讲解，让学生掌握倍长中线法的基本操作步骤和书写格式，体会其在转移线段、构造集中条件方面的强大功能。

4.【高频考点】变式训练：证明线段等量关系

已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

引导学生分析：要证AF=EF，即证∠EAF=∠AEF。由已知BE=AC，联想到通过倍长中线将AC和BE迁移到同一个三角形或相关三角形中。

学生小组讨论后，代表上台展示证明过程。

证明：延长AD至点G，使DG=AD，连接BG。

易证：ADC≌GDB(SAS)

∴AC=GB，∠CAD=∠G

又∵BE=AC

∴BE=BG

∴∠G=∠BEG

∴∠CAD=∠BEG

∵∠AEF=∠BEG

∴∠CAD=∠AEF

∴AF=EF。

设计意图：引导学生独立思考或合作交流，尝试用所学方法解决新问题，进一步巩固倍长中线的应用，并引导学生关注图形中的角度转化，提升综合解题能力。

（三）【高频考点】【难点】模型探究二：截长补短法

1.情境引入，问题驱动

已知：如图，在ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。求证：AC=AB+BD。

分析：本题要证明的是一条长线段（AC）等于两条短线段（AB和BD）之和。这类“a=b+c”的问题，正是截长补短法的经典应用场景。

2.【非常重要】方法精讲（一）：截长法

思路：在较长的线段AC上截取一段，使其等于其中一条较短的线段，然后证明剩余部分等于另一条较短线段。

操作：在AC上截取一点E，使AE=AB，连接DE。

证明流程：

（1）先证ABD≌AED(SAS)：由∠1=∠2，AB=AE，AD=AD，可得BD=ED，∠B=∠AED。

（2）利用条件转化：由∠B=2∠C，可得∠AED=2∠C。又∵∠AED是CDE的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，因此2∠C=∠C+∠EDC，得出∠EDC=∠C。

（3）得出结论：由等角对等边得ED=EC，即BD=EC。

（4）整合结论：AC=AE+EC=AB+BD。得证。

3.【非常重要】方法精讲（二）：补短法

思路：将较短的线段补长，使其和等于另一条较短线段，然后证明补长后的线段等于长线段。

操作一（延长AB）：延长AB至F，使BF=BD，连接DF。需证明AF=AC。

操作二（延长DB）：延长DB至G，使BG=BA，连接AG。需证明DG=AC。

以操作一为例进行证明：

证明：延长AB至F，使BF=BD，连接DF。

由BF=BD可得∠F=∠BDF。

又∵∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F，且∠ABC=2∠C，

∴∠F=∠C。

接下来证ADF≌ADC(AAS)：由∠F=∠C，∠1=∠2，AD=AD，可得AF=AC。

而AF=AB+BF=AB+BD，

∴AC=AB+BD。

设计意图：通过同一道题的一题多解，向学生完整呈现截长法和补短法的两种不同切入角度，让学生充分理解两种方法的精髓：截长是将“和”问题拆解为“部分相等”问题；补短是将“和”问题整合为“整体相等”问题。培养学生思维的灵活性和广阔性。

4.归纳小结，提炼思想

教师引导学生总结：截长补短法的本质是什么？

（1）应用背景：证明形如“a=b+c”、“ab=c”等线段的和、差、倍、分问题。

（2）操作核心：通过构造全等三角形，将位置分散的线段集中到同一条直线或同一个三角形中，从而实现条件的转化。

（3）数学思想：化归与转化思想、数形结合思想。

（四）【热点】模型对比与综合应用

1.对比辨析

教师引导学生从适用条件、图形特征、操作手法、思想本质等方面对比两种模型，形成如下认知：

（1）倍长中线：当题中出现“中线”或“中点”时优先考虑。核心是旋转180度。

（2）截长补短：当题中出现证明“线段和差”时优先考虑。核心是截取或延长，实现等量代换。

2.【拔高】综合应用（开放探究）

题目：如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AE平分∠BAC交BC于E，且AB=AC+CD。求证：∠B=2∠C。

设计思路：本题是倍长中线与截长补短两种模型的融合与变式。已知条件既有中点（暗示倍长中线），又有线段和差关系（AB=AC+CD，暗示截长补短）。需要学生灵活选择，甚至结合使用。

引导学生分析：从“AB=AC+CD”入手，这是典型的“和差”特征，考虑截长补短。从“中点”入手，又可以考虑倍长中线。哪一种更优？

方案一（截长法）：在AB上截取AF=AC，连接EF、DF。先证AEF≌AEC，再通过中点条件等推理出DF是中位线或相关结论，进而推出角度关系。

方案二（倍长中线）：延长AD至G，使DG=AD，连接BG。得到ABG是等腰？还是将AC转移到BG？结合AB=AC+CD这一条件，可以尝试将AC转化为BG，再证BG=AB-CD，再结合中点条件推出CD与CG的关系……

课堂处理：教师不直接给出答案，而是组织学生分组进行头脑风暴，分别尝试不同方案，并对比方案的简繁程度。最后，由各组派代表展示本组的探究成果，在全班范围内进行思维碰撞。

设计意图：此环节旨在打破思维定式，让学生意识到方法的选取不是孤立的，而是要根据题目条件灵活变通，甚至可以将多种方法融合运用。通过开放性问题的探究，提升学生的综合分析能力和创造性解决问题的能力。

（五）课堂小结与反思

1.知识层面：回顾倍长中线法和截长补短法的操作步骤、适用条件。

2.【重要】思想层面：重温本节课所涉及的数学思想——化归与转化、数形结合、旋转与平移变换。强调这些思想在今后学习中的指导作用。

3.情感层面：鼓励学生面对难题时要勇于尝试、大胆猜想、小心求证，几何证明的魅力就在于从“无路”到“有路”的思维突破过程。

（六）分层作业设计

1.【基础】必做题：完成导学案中“基础达标”部分，包括直接应用倍长中线或截长补短方法的证明题和简单计算题。

2.【重要】选做题：完成导学案中“能力提升”部分，题目为需要灵活选择方法或在复杂图形中识别模型的综合题。

3.【拓展】探究题（思考题）：利用本节课所学的“旋转”和“截补”思想，探究如何用直尺和圆规