初中数学六年级下册《图像法表示变量关系》第2课时导学案

初中数学六年级下册《图像法表示变量关系》第2课时导学案

一、教学目标

本课时教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（六至七年级）核心素养要求，以鲁教版五四制教材六年级下册第九章第三节第二课时的内容为载体，确立指向深度学习的三维目标体系。全部目标均以学生为主体，采用可观察、可测量的行为动词进行精准描述。

（一）知识与技能目标

1.学生能够准确识别平面直角坐标系中图像上的点所对应的自变量与因变量数值，并能根据图像指出变量间变化趋势的总体特征，如上升、下降、先升后降、保持不变等。【重要】

2.学生能够根据给定的实际情境描述，独立建立横轴与纵轴的量纲，确定关键点的坐标，并运用描点法绘制出由线段构成的折线图像，所绘图像要求坐标轴标注完整、单位刻度合理、关键点坐标清晰。【非常重要】【高频考点】

3.学生能够从图像中读取特定自变量所对应的因变量值，并能通过计算图像上两点间的纵坐标差与横坐标差之比，初步解释线段倾斜程度所表示的变化快慢含义。【难点】

（二）过程与方法目标

1.通过“观察—猜想—验证—归纳”的探究路径，经历从具体情境到图像模型、再从图像模型回归具体情境的双向建构过程，深度体会数形结合思想在解决变量问题中的核心作用。【非常重要】

2.在小组合作完成“我画你猜”等交互性任务时，学会用数学语言描述变量变化规律，发展几何直观与逻辑推理能力，初步积累从函数视角看世界的数学活动经验。

3.借助几何画板动态演示及平板电脑实时作图操作，感受信息技术在研究变量关系问题时的辅助价值，理解图像中点与点之间的连续性与离散性的辩证关系。

（三）情感态度与价值观目标

1.通过解决生活中诸如水温变化、行程问题、弹簧伸长等实例，切身感受数学图像作为描述世界的精炼语言，增强数学应用意识。

2.在规范作图与精准读图的反复训练中，养成严谨求实的科学态度和一丝不苟的学习习惯，克服因粗心导致坐标误读、单位错位等非智力因素失分。【重要】

3.在小组互评与全班展示环节，学会倾听他人见解，敢于质疑并友善提出修正建议，形成合作共享的团队精神。

二、教学重点与难点

（一）教学重点

从平面直角坐标系中的图像上准确提取两个变量的对应数值，并能够用规范、完整的口头或书面语言描述变量间随自变量变化而呈现的整体趋势与阶段特征。本重点对应历年区域学业质量监测中读图选择题及解答题第一问，属【高频考点】。【非常重要】

（二）教学难点

1.认知层面难点：将文字叙述的非连续事件（如“匀速行驶—停车卸货—原路返回”）转化为坐标系中连续的折线段，尤其是在转折点处坐标的精准确定以及水平线段所代表“因变量不变”的正确理解。【难点】

2.操作层面难点：在自主作图时，能够根据实际数据合理规划横轴与纵轴的单位长度，保证图像布局匀称且关键点（起点、终点、拐点）均在可视范围内，避免因刻度选取不当造成描点困难或图像失真。【难点】

三、教学方法与教学准备

（一）教学方法

本课时采用“任务驱动·双线并进”的教学策略。明线是导学案上的三个递进式探究活动，暗线是“数形对应—趋势描述—模型建构”的思维进阶路径。核心教学法包括：

1.情境化启发教学法：以连续剧集式的生活情境贯穿始终，使知识生长点扎根于经验。

2.可视化探究教学法：运用几何画板动态呈现点的运动与图像生成同步过程，化解抽象。

3.分层递进教学法：读图、辨图、作图三个环节难度逐级上升，满足不同层次学生需求。

（二）教学准备

1.教师材料：多媒体课件（含高清扫描版课本例题、动态几何画板源文件、微课助学片段）；磁性黑板贴大号网格坐标纸一副；红蓝两色强磁力点若干；学生典型错题扫描存档。

2.学生材料：每组一台预装几何画板简易版的平板电脑；A4幅面导学案一份（含三组活动区块及三层作业选做区）；直尺、铅笔、橡皮；红笔一支用于互批订正。

3.环境布置：前后黑板均留出展示区，教室侧墙张贴生活中常见变量关系图像海报（心电图、股市K线图、气温折线图），营造沉浸式数学场域。

四、教学实施过程

本环节为课时核心主体，按照认知规律分为六个紧密衔接的子环节，合计预设时间45分钟，实际执行中根据学生生成灵活微调。

（一）温故知新，情境锚定（预设6分钟）

1.复习导入，唤醒经验

上课伊始，教师直接在磁性黑板贴坐标纸上用磁力点依次摆出五个点：（1,20）、（2,40）、（3,60）、（4,60）、（5,30）。教师设问：“同学们，上节课我们学习了如何在图像上找出对应数值。谁能到黑板前指一指，哪一个点表示自变量为3时因变量是60？哪一个点表示因变量没有随自变量增加而改变？”学生指认后，教师追问：“你是怎么看出因变量没有变化的？”学生回答：“点（3,60）和点（4,60）的纵坐标一样，而且它们之间的连线是水平的。”教师顺势板书关键词——水平线段代表“因变量不变”，并标注【非常重要】【高频考点】。

2.情境升级，制造认知冲突

教师播放一段15秒无声微视频：水池进水口不断流入，同时出水口间歇性排水，水位先快速上升、再缓慢上升、再快速下降。视频戛然而止，画面定格在水池边的一张空白网格纸上。教师抛出核心驱动问题：“如果要把这个进水、出水的过程画成一条图像曲线，横轴和纵轴应该分别代表什么？这条图像会是什么样子的？”学生小组快速讨论，大部分认为横轴是时间、纵轴是水位高度，但对图像形状存在争议。有学生认为水位一直上升，有学生坚持最后下降了。教师不急于公布答案，而是将争议作为本课探究的起点，自然过渡到下一环节。

（二）自主探究，多维建构（预设16分钟）

1.任务一：精准读图——从图像中提取定量信息

导学案【活动一】呈现三幅已完整标注坐标轴的图像，分别对应三个经典模型。

图1：某日气象站记录的气温变化折线图。横轴：时间/时（0—24）；纵轴：温度/℃（—5—10）。问题链设计为层级爬坡式。（1）基础层：请写出当日最高温数值及其出现时刻，最低温数值及其出现时刻。【重要】（2）综合层：计算从10时到14时这段时间内，平均每小时气温上升多少摄氏度？【高频考点】（3）拓展层：哪一段线段最陡？说明这一时段内温度变化具有什么特点？

图2：汽车以恒定速度行驶的路程—时间图像。横轴：时间/分；纵轴：路程/千米。图像是一条经过原点、斜向右上的射线。问题设计突出“倾斜程度”概念。（1）根据图像计算汽车的速度（单位：千米/分）。（2）若汽车按照此速度再行驶20分钟，请在图线右侧用虚线延伸并标出对应点的坐标。【非常重要】

图3：弹簧挂不同质量钩码时的伸长图像。横轴：钩码质量/克；纵轴：弹簧长度/厘米。图像是一条不经过原点的斜线。问题设计指向图像起点含义。（1）不挂钩码时弹簧自然长度是多少厘米？（2）每增加10克钩码，弹簧伸长多少厘米？（3）根据图像推测，挂50克钩码时弹簧长度约为多少厘米？【热点】

学生独立填写导学案空白处，完成后相邻两人交换学案，用红笔对照教师在大屏幕公布的参考答案进行互批。教师巡视，发现共性问题：部分学生计算图2速度时误用整段路程除以整段时间，未意识到速度应取图像上任一点纵坐标除以横坐标；部分学生对图3起点纵坐标视为弹簧原长理解不到位。教师针对上述问题在班级进行一分钟微讲解，强调速度在路程—时间图像中表现为“纵坐标增量与横坐标增量之比”，原点特指初始状态。

2.任务二：思辨辨图——从图像推断实际过程

导学案【活动二】采用“连连看”变式设计。左侧栏呈现三段文字描述：甲、小明从家匀速步行到学校，中途在文具店停留2分钟，之后匀速走到学校；乙、一辆公共汽车从起点站出发，加速行驶一段后匀速行驶，进站前减速停车；丙、一壶水在炉火上加热至沸腾后，关火自然冷却。右侧栏呈现六幅折线图，其中三幅是多余干扰项。

学生先在组内进行配对，并必须用铅笔在图上圈出能支持判断的关键特征（如水平段、陡升段、缓降段）。教师深入小组，倾听学生辨析过程。在讨论丙情境时，第四小组产生激烈争论：有学生认为水温冷却过程是均匀下降的，所以图像是一条斜线；有学生认为降温是先快后慢，图像应是开始陡然后变缓。教师捕捉这一珍贵生成，立即邀请双方代表上台，用平板电脑中的几何画板分别拖拽生成两种图像，投影对比。通过动态演示，全体学生直观感知：水温冷却确实先快后慢，图像呈“凸”形。教师总结：图像弯曲程度目前我们虽不要求绘制，但必须能够通过逻辑推理选择正确形状。【难点】【非常重要】

3.任务三：规范作图——将事件序列转化为图像

本任务是达成课时目标的关键操作点，投入时间约8分钟。导学案【活动三】呈现经典行程问题：一辆工程车从材料库出发，以每分钟600米的速度匀速行驶5分钟到达距离库3000米的工地，卸货耗时3分钟，随后以每分钟400米的速度沿原路返回，行驶7.5分钟回到材料库。要求学生在下方网格坐标系中画出工程车与材料库的距离s（米）随时间t（分钟）变化的图像。

教师指导学生分四步走：第一步，明确两个变量，横轴为时间t（分钟），纵轴为距离s（米）；第二步，分段计算关键点坐标，出发时（0,0），到达工地（5,3000），卸货结束（8,3000），返回起点（15.5,0）；第三步，在网格上合理确定刻度，横轴0—16分钟，每格1分钟，纵轴0—3500米，每格500米；第四步，描出上述四点并用线段顺次连接。

教师巡视发现典型错误并分类记录。第一类错误：返回阶段误画成从（8,3000）斜向下到（15.5,0）但连线穿过横轴以下；第二类错误：卸货3分钟漏画水平线段，直接从（5,3000）连到（8,0）；第三类错误：横轴、纵轴互换，将时间画在纵轴上；第四类错误：单位刻度划分不合理，导致所有点挤在左上角。

教师选取一份优秀作品和一份典型错误作品（含第二类错误），通过实物展台并列展示。教师不直接评判，而是组织学生开展“大家来找茬”活动。学生很快指出：错误作品中没有体现卸货时距离不变的过程，导致图像上从3000米瞬间跳到0米，不符合实际。教师追问：“卸货的3分钟里，车停在工地，距离仓库到底是多少米？”学生齐答3000米。教师板书：关键拐点（8,3000）必须明确标出，线段必须水平。【非常重要】【高频考点】

（三）合作交流，意义协商（预设10分钟）

1.深度交互：图像猜谜与情境还原

本环节以游戏化形式推进。每组从平板电脑随机抽取一个生活情境包，情境包内容不直接显示文字，而是由一组可调参数的滑块（如初始温度、环境温度、冷却时间）构成。学生在组内通过拖动滑块，观察几何画板中图像实时变化，讨论确定一组能反映典型过程的参数，截图保存。随后，各组将平板交换，猜谜组根据图像特征反推这个图像描述的是哪一种生活现象，并口头阐述推理依据。

第一组抽取到“一杯热咖啡在室温下的降温过程”。学生将初始温度设为85℃，室温20℃，调整时间常数，生成一条从85℃快速下降后趋于20℃的平滑曲线。猜谜组（第六组）观察图像后发言：“这条曲线一开始下降很陡，后来平缓，最后几乎水平，应该是一个物体从很热慢慢凉下来，最后和空气温度一样。我们猜是热水降温。”教师追问：“图像最后是水平线，但始终没有降到20℃以下，这是为什么？”学生回答：“因为室温是最低温度，不会再低了。”教师借此强化定义域与值域的朴素理解，并指出：图像的范围受实际意义制约，并非数学上可以无限延伸。【重要】

2.概念辨析：从离散点到连续线

针对学生作图中普遍存在的“把线段画成向两端无限延伸的直线”这一现象，教师用几何画板展示两个场景。场景一：天气预报中，整点时刻温度用点标出，相邻整点之间用线段连接。教师问：“线段上的点，比如13:30对应的温度，是真实测量值还是估计值？”学生意识到那是估计值，实际温度可能围绕线段上下波动。场景二：一辆车等速行驶，每隔1分钟记录一次位置，描点后连线。教师问：“如果车一直匀速，那么途中任意时刻的位置是否恰好在这条连线上？”学生肯定回答。教师总结：当变量之间是均匀变化时，连线完全符合实际；当变化不均匀时，连线只是整体趋势的描述。现阶段我们主要研究分段均匀变化的问题，因此折线图是合理的。【一般】

（四）分层训练，精准迁移（预设10分钟）

导学案【活动四】采用“自助餐”式三层作业布局，学生可根据课堂吸收情况自主选择层级，鼓励挑战高级别任务。

A层：基础巩固型（全体必做，对标达标率100%）

[1]根据右图“小华周一到周五的睡眠时长条形统计图”回答问题。图像已转化为折线图。①哪一天睡眠时间最长？是多少小时？②从周几到周几睡眠时间下降幅度最大？③周五比周一少睡了多少小时？【重要】

[2]选择题：下列哪幅图大致描述了“小明从一楼乘电梯到十楼，电梯先加速、再匀速、再减速直到停止”这一过程中，速度随时间变化的关系？提供四幅备选图像，学生需排除“速度一直增大”和“速度先减小后增大”等干扰项。【高频考点】

B层：变式迁移型（建议80%学生尝试）

[1]根据文字描述匹配图像。描述①：一种溶液，先向其中匀速加水稀释，再停止加水并开始匀速加热蒸发水分，溶液质量先增加后减少。描述②：汽车在平直公路上行驶，遇到红灯刹车减速停止，等待30秒，绿灯亮起加速通过。提供六幅混合图像，要求学生匹配并圈出判断依据（拐点、水平段）。【非常重要】

[2]小刚利用周末骑自行车去图书馆，出发5分钟后想起忘带借书证，立即以相同速度原路返回，在家停留1分钟，再次出发并以更快速度匀速到达图书馆。请画出小刚离家距离随时间变化的草图，不要求精确坐标，只要求画出整体趋势及关键转折。【难点】

C层：拓展创造型（建议学有余力15%学生尝试）

[1]开放题：请你自己设计一个生活中的连续过程，要求该过程包含“上升—水平—下降”三个完整阶段，且三个阶段变化速度不同。写出横轴、纵轴所代表的量，并画出对应的折线图，同时在图下方用三句话描述每一阶段的具体意义。

[2]数学写作：有些同学认为，既然图像可以表示变量关系，那么所有关系都可以用图像表示，你同意这种观点吗？请举例说明图像表示的优点及其局限性，字数不少于150字。【非常重要】【热点】

学生进入静默思考与独立作答状态，教师重点巡视B层[2]题作图情况，对不敢落笔的学生进行支架式引导：“先确定起点在哪里？第一次返回后家在哪一个纵坐标位置？”对于C层开放题，教师鼓励学生标新立异，例如有学生设计“游乐园海盗船摆动幅度随时间变化”，虽有瑕疵但体现了跨学科联系，教师予以高度肯定。

（五）系统小结，织网升华（预设3分钟）

教师使用板书思维导图框架，以问题链引领学生回顾。问题1：今天我们学习了用图像表示变量关系，你认为一幅完整的图像必须包含哪些要素？学生答：横轴名称及单位、纵轴名称及单位、刻度值、点的位置、连线。教师板书【图像四要素】。问题2：读图时，我们重点看图像的哪些方面？学生补充：看起点、看拐点、看终点、看线段是斜还是平。教师归纳【读图四看】。问题3：作图时，最容易出错的步骤是什么？学生异口同声：拐点坐标算错、刻度选取不合适。教师展示本课搜集的典型错例缩略图，再次强调验证的方法——将图像末端坐标代回原题检验逻辑自洽性。最后教师总结：图像不是冰冷的线条，而是会说话的数学故事，读图就是和故事对话，作图就是在讲述故事。【非常重要】

（六）当堂检测，即时反馈（预设5分钟）

发放课前印制的小尺寸检测卡，限时5分钟，题量控制在3道以内，避免挤占小结时间。

第1题：读图选择题。下图是某商场一天内空调功率随时间变化的图像，横轴为时刻，纵轴为功率千瓦。请问商场在哪个时间段内空调功率保持不变？A.8:00—10:00B.10:00—12:00C.12:00—14:00D.14:00—16:00。图像特征：12—14时为水平线段。【高频考点】

第2题：读图填空题。右图是甲、乙两车行驶路程与时间关系图，甲车图像更陡。问：若两车同时同地出发，行驶30分钟时，______车行驶路程更远；甲车速度是乙车速度的______倍。

第3题：简易作图题。小红从家出发，慢跑到离家600米的公园，在公园长椅上休息5分钟，然后慢跑回家。请在下图中画出小红离家距离随时间变化的图像。（坐标系已画好，横轴时间0—20分钟，纵轴距离0—800米）

检测卡收齐后，教师当堂利用展台核对第1、2题答案，正确率预估95%以上。第3题收齐后由课代表装订，教师课后批阅并针对错误率高的班级集中讲评。

五、板书设计

本课时板书采用分区布局，全部使用白色粉笔书写，重点内容以红色波浪线强调，保持视觉纯净。

（一）主板左侧：知识发生区

标题：第三节图像法表示变量关系（第2课时）

1.读图要领

• 点对应（横→自，纵→因）

• 线趋势（↗增加，↘减少，→不变）

• 陡缓（越陡变化越快）【高频考点】

2.作图步骤

• 定变量（谁随谁变）

• 算坐标（起点、拐点