2026版高三数学讲义第二章　2.4　函数的对称性及应用

2．4函数的对称性及应用

掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题．

1．奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．

(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)

图象的对称中心为(a，0)．

2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝

f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称．

3．两个函数图象的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)

(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(×)

(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(×)

(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(√)

x＋1

2．函数f(x)＝图象的对称中心为(B)

x

A．(0，0)B．(0，1)

C．(1，0)D．(1，1)

x＋1111

解析：因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移1个单位长度得到y＝1＋的图象，

xxxx

11

又y＝的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称．故选B.

xx

3．（人教A版必修第一册P87T13改编）已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，

则f(0)＝4．

解析：方法一由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)

－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.

方法二由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)的图象关于点(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，

即f(0)＝4.

4．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－

1)＝5．

解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)

＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.

考点1函数的对称性

x

【例1】（2024·新课标Ⅰ卷T18节选）已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3，求证：

2－x

曲线y＝f(x)是中心对称图形．

【证明】证法一易知x∈(0，2)，

2－xx

f(2－x)＋f(x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＋ln＋ax＋b(x－1)3＝2a，

x2－x

所以f(x)的图象关于点(1，a)中心对称，即曲线y＝f(x)是中心对称图形．

x

证法二f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，

2－x

1＋x1－x

f(1＋x)＋f(1－x)＝ln＋a(1＋x)＋b(1＋x－1)3＋ln＋a(1－x)＋b(1－x

2－(1＋x)2－(1－x)

1＋x1－x

－1)3＝ln＋a(1＋x)＋bx3＋ln＋a(1－x)－bx3＝ln1＋2a＝2a，因此f(x)的图象关于

1－x1＋x

点(1，a)对称，所以曲线y＝f(x)是中心对称图形．

对称性的五个常用结论

(1)y＝f(x＋a)是偶函数f(a＋x)＝f(a－x)y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

＝＋是奇函数＋＝－－＝的图象关于点，对称．

(2)yf(xa)⇔f(ax)f(a⇔x)yf(x)(a0)

a＋b

(3)若函数y＝f(x)满足f⇔(a＋x)＝f(b－x)，则⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

2

特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a

对称．

(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．

特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，

0)对称．

b－a

(5)函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．

2

特别地，当a＝b时，函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0对称．

对称的充要条件

1．教材母题：（人教A版必修第一册P87T13）

我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为

奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的

充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．

(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；

(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函

数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．

2．上述问题中第(2)题的结论为：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要

条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数．

xx＋1

3．对于例1，由f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3，可知y＝f(x＋1)－a＝ln＋ax＋bx3为

2－x1－x

奇函数，故据教材结论可知，曲线y＝f(x)关于点(1，a)成中心对称．

【典例】（多选）已知函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件

是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，函数y＝f(x)图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是

函数y＝f(x＋c)为偶函数，则(ACD)

x2－2x

A．函数f(x)＝的图象有对称轴

x2－2x＋2

x2－2x

B．函数f(x)＝的图象无对称轴

x2－2x＋2

C．函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)

D．若函数f(x)＝x3－3x2，则f(－2022)＋f(－2023)＋f(2024)＋f(2025)＝－8

x2－2xx2－1

【解析】因为函数f(x)＝的定义域为R，而f(x＋1)＝为偶函数，所以函

x2－2x＋2x2＋1

x2－2x

数f(x)＝的图象有对称轴，即直线x＝1，A正确，B错误；因为函数f(x)＝x3－3x2

x2－2x＋2

＝(x－1)3－3(x－1)－2的定义域为R，而y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x为奇函数，所以函数f(x)＝x3

－3x2图象的对称中心是点(1，－2)，C正确；因为函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，

－2)，所以f(x)＋f(2－x)＝－4，故f(－2022)＋f(－2023)＋f(2024)＋f(2025)＝－8，D正确．故

选ACD.

1

＋a

【对点训练1】（2023·全国乙卷理T21节选）已知函数f(x)＝xln(1＋x)，是否存

1

在a，b，使得曲线y＝fx关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理

由．

1

解：假设存在a，b，使得曲线y＝fx关于直线x＝b对称．

11

1＋x＋1

令g(x)＝fx＝(x＋a)lnx＝(x＋a)ln，

x

因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，

x＋12b－x＋1x－2b

即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln＝(x－2b－a)ln，

x2b－xx－2b－1

1

a＝，

a＝－2b－a，2

于是得1

1＝－2b，b＝－，

2

11

11x＋1－x－－x

当a＝，b＝－时，g(x)＝2ln1＋，g(－1－x)＝2ln＝

22x－1－x

1111

－x－xx＋x＋1x＋1＋

2ln＝2ln＝2lnx＝g(x)，

1＋xx

1

所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．

2

1

11

故存在a，b，使得曲线y＝fx关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－.

22

考点2对称性与周期性

【例2】（2024·江苏南通三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x

＋2)－1为奇函数．若f(1)＝0，则错误!(k)＝(C)

A．23B．24

C．25D．26

【解析】f(x＋1)为偶函数，则f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，

f(x＋2)－1为奇函数，则f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1，即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，则f(x)的图

象关于点(2，1)对称，则由其关于直线x＝1对称有f(x)＝f(－x＋2)，则f(x)＋f(x＋2)＝2，则

f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差有f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(1)＋f(3)

＝2，f(1)＝0，则f(3)＝2，因为f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，则f(0)＝f(2)＝1，f(4)＝f(0)＝1，则

f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以错误!(k)＝24，错误!(k)＝24＋0＋1＝25.故选C.

1．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，x＝b，则其周期T＝2|b－a|.

2．若函数y＝f(x)图象的对称中心为点(a，0)，(b，0)，则其周期T＝2|b－a|.

3．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，对称中心为点(b，0)，则其周期T＝4|b－a|.

【对点训练2】(1)（2024·河北石家庄模拟）已知f(x)是周期为3的函数，且x∈R都

有＋－＝，则＝

f(3x)f(43x)4f(2024)(C)∀

A．－4B．－2

C．2D．4

解析：由已知f(3x)＋f(4－3x)＝4，即f(x)＋f(4－x)＝4，令x＝2，可知f(2)＋f(2)＝4，即

f(2)＝2，又函数f(x)的周期为3，则f(2024)＝f(2)＝2.故选C.

(2)（2024·山东济南二模）已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－

x)，则f(2024)＝(A)

A．0B．1

C．2D．3

解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋（1＋x)）＝f(1－（1＋x)），即f(2＋x)＝f(－x)，

又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)

＝－f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(4＋x)，故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)是以4为周期的

周期函数，所以f(2024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A.

考点3周期性、单调性与对称性

πππ

＋x－x0，

【例3】(1)（多选）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f2＝f2，f(x)在2

上单调递增，则(ACD)

A．f(0)＝0

π

－，0

B．f(x)在2上单调递减

C．f(x)的周期为2π

π

，π

D．f(x)在2上单调递减

【解析】对于A，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，A正确；对于

ππ

0，－，0

B，因为f(x)为奇函数，f(x)在2上单调递增，所以f(x)在2上单调递增，B错误；

πππ

－x＋xπ0，

对于D，因为f2＝f2，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又因为f(x)在2上

2

πππ

，π＋x－x

单调递增，故f(x)在2上单调递减，D正确；对于C，f2＝f2，则f(x)＝f(π－x)，

又f(x)＝－f(－x)，所以f(π－x)＝－f(－x)，即f(π＋x)＝－f(x)，所以f(x＋2π)＝f(x)，结合f(x)

的单调性可知f(x)的周期T＝2π，C正确．故选ACD.

(2)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－2)为偶函数，f(x－1)为奇函数，当x∈[1，2]时，f(x)

1

＝ax＋b，若f(2)＋f(3)＝，则(A)

2

1

A．f(x)在区间[0，1]上是增函数，且有最小值－

2

1

B．f(x)在区间[0，1]上是减函数，且有最大值

2

1

C．f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，且有最大值

2

1

D．f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，且有最小值－

2

【解析】因为f(x－2)为偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)①，且函数f(x)的图象关于直

线x＝－2对称，又f(x－1)为奇函数，所以－f(x－1)＝f(－x－1)②，且函数f(x)的图象关于点(－

1，0)中心对称，所以有－f(x)＝f(－x－2)＝f(x－2)f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的一个周期为T＝4，

1

令x＝0代入②得f(－1)＝0＝f(3)，即f(2)＝，令⇒x＝3代入①得f(1)＝f(－5)＝f(3)＝0，所以

2

1

＋＝，a＝，

ab02

11

1解得1所以f(x)＝x－(x∈[1，2])，

2a＋b＝，b＝－，22

22

如图所示，根据函数的对称性与周期性可知，f(x)的图象关于直线x＝2对称，关于点(3，

0)中心对称，可得f(x)在区间[－4，4]的图象，易知f(x)在区间[0，1]上是增函数，且有最小值

1

f(0)＝－f(－2)＝－f(2)＝－，故A正确，B错误；f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，且有最

2

1

大值f(－2)＝f(2)＝，最小值f(－1)＝0，故C，D均错误．故选A.

2

解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的取值范围或转换自

变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．

【对点训练3】(1)已知定义在R上的函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)

为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(B)

A．(0，3)

B．(－∞，0)∪(1，3)

C．(－∞，0)∪(3，＋∞)

D．(0，1)∪(3，＋∞)

解析：由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在

（－∞，2]上单调递增，知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函

数f(x)的大致图象，如图．

由图可知，当x<0时，f(x)<0，则xf(x)>0；当0<x<1时，f(x)<0，则xf(x)<0；当1<x<3时，

f(x)>0，则xf(x)>0；当x>3时，f(x)<0，则xf(x)<0.所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，

3).故选B.

(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数，若f(x)在(0，3)

内单调递减，则下面结论正确的是(B)

A．f(－4.5)<f(3.5)<f(12.5)

B．f(3.5)<f(－4.5)<f(12.5)

C．f(12.5)<f(3.5)<f(－4.5)

D．f(3.5)<f(12.5)<f(－4.5)

解析：由f(x＋6)＝f(x)，可得f(x)的一个周期为6，又y＝f(x＋3)为偶函数，f(x)的图象关

于直线x＝3对称，所以f(3.5)＝f(2.5)，f(－4.5)＝f(1.5)，f(12.5)＝f(0.5).又f(x)在(0，3)内单调

递减，所以f(3.5)<f(－4.5)<f(12.5).故选B.

课时作业9

1．（5分）（2024·四川成都三模）函数y＝32x与y＝31-2x的图象(D)

A．关于直线x＝2对称

B．关于直线x＝1对称

1

C．关于直线x＝对称

2

1

D．关于直线x＝对称

4

解析：因为曲线y＝32x关于直线x＝a的对称曲线为y＝32(2a－x)，即y＝34a-2x，y＝34a-2x与

11

y＝31-2x对比系数可知4a＝1，解得a＝，所以函数y＝32x与y＝31-2x的图象关于直线x＝对

44

称．故选D.

3

2．（5分）（2024·四川南充二模）已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x－1)＋1的图象

x

(A)

A．关于点(1，1)对称

B．关于点(－1，1)对称

C．关于点(－1，0)对称

D．关于点(1，0)对称

333

解析：函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，

xxx

3

则函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，又y＝f(x－1)＋1的图象是由f(x)＝的图象向右平移

x

1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1，1)

对称．故选A.

3．（5分）（2024·湖南长沙二模）已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对任意x∈R都

有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)＝(A)

A．2B．－2

C．0D．－4

解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数

f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．则f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)

＝－f(－3)＝2.故选A.

4．（5分）（2024·四川内江三模）已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(x＋2)

＝－f(x)成立，且函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝(B)

A．－1B．0

C．1012D．2024

解析：由f(x＋2)＝－f(x)f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的一个周期为4，由f(x＋1)为

偶函数可知的图象关于直线＝轴对称，即＝，又＋＝－可知＝－，

f(x)⇒x1f(2)f(0)f(x2)f(x)f(2)f(0)

所以f(2)＝f(0)＝0，显然f(3)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝

2024

×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.故选B.

4

31

＋x－x

5．（5分）已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，x∈R，f2＝f2恒成立．当

≥时，－－，＝－，则不等式2＋＋的解集为

x2>x11[f(x2)f(x1)]·(x2x1)>0f(0)f(2)∀f(x)(x2x3)>0(A)

A．(－∞，0)∪(2，＋∞)

B．(0，2)

C．(－∞，0)∪(1，2)

D．(0，1)∪(2，＋∞)

3131

＋x－x＋x＋－x

解析：因为f2＝f2，所以f(x)的图象关于直线x＝22＝1对称，所以f(0)

2

＝f(2)，因为f(0)＝－f(2)，所以f(0)＝f(2)＝0，因为x2>x1≥1，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)>0，故f(x)

在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，

f(x)(x2＋2x＋3)>0，所以f(x)>0，当x>1时，f(x)>0＝f(2)，结合单调性可知x>2，当x<1时，f(x)>0

＝f(0)，结合单调性可知x<0，故f(x)(x2＋2x＋3)>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞).故选A.

6．（5分）定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且当x>2时，f(x)单调递增，

若x1＋x2<4，(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(C)

A．恒为正值B．恒等于零

C．恒为负值D．无法确定

解析：因为f(－x)＝－f(x＋4)，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．又当x>2时，f(x)

单调递增，所以f(x)在R上单调递增，如图，又(x1－2)(x2－2)<0，所以x1，x2位于点(2，0)

的两边，不妨设x1<x2，又x1＋x2<4，所以x1离点(2，0)更远，由图不难看出f(x1)＋f(x2)恒为

负值．故选C.

7．（6分）（多选）已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则

(AD)

A．f(x)的图象关于直线x＝1对称

B．f(x)的图象关于点(1，0)对称

C．f(x)的图象关于直线x＝2对称

D．f(x)的图象关于点(2，0)对称

解析：因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函数f(x)的图象关于点(2，

0)对称，又f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1

对称．故选AD.

8．（6分）（多选）已知函数f(x)为R上的奇函数，在（0，1]上单调递减，且满足f(x)＋

f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(AB)

A．f(2)＝0

B．函数f(x)是以2为周期的周期函数

C．函数f(x)在[5，6）上单调递增

D．函数f(x－1)为偶函数

解析：对于A，B，∵函数f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则－f(x)＋f(2＋x)＝0，

即f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为2的周期函数，f(2)＝f(0)＝0，由此可知A，B正确；对

于D，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，在f(x)＋f(2－x)＝0中，将x换为

x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(1－x)，

∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，∴D

不正确；对于C，由函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，则函数f(x)在[5，6）上的单

调性等价于函数f(x)在[－1，0）上的单调性，又奇函数f(x)在（0，1]上单调递减，∴函数f(x)

在[－1，0）上单调递减，∴C不正确．故选AB.

9．（5分）定义在R上的奇函数f(x)满足x∈R，f(x)＋f(4－x)＝0，且当0<x<2时，f(x)

2024

＝x2－2x，则∑|f(i)|＝1012．∀

i＝1

解析：因为f(x)是奇函数，且f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(x)＝－f(4－x)＝f(x－4)，故f(x)是

周期为4的周期函数．f(1)＋f(3)＝f(1)＋f(－1)＝0，所以f(3)＝－f(1)＝1，令x＝2，可得f(2)

＋f(2)＝0，所以f(2)＝0，因为函数为奇函数且周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，则|f(1)|＋|f(2)|

2024

＋|f(3)|＋|f(4)|＝2|f(1)|＝2，则∑f(i)|＝506·错误!f(i)|＝506×2＝1012.

i＝1

32

10．（5分）（2025·八省联考）已知曲线C：y＝x－，两条直线l1，l2均过坐标原点O，

x

l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPM的面积为2，则△MNQ的面积

为22．

2

解析：由于(x，y)和(－x，－y)都符合y＝x3－，x≠0，所以曲线C关于原点对称，当x>0

x

32

时，函数y＝x－单调递增，由此大致画出曲线C如图所示，两条直线l1，l2均过坐标原点

x

O，所以M，N两点关于原点对称，P，Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设M，N，

P，Q的位置如图所示，可知|OP|＝|OQ|，|OM|＝|ON|，∠POM＝∠QON，所以△OPM≌△OQN，

所以S△OQN＝S△OPM＝2，而△OQM和△OQN的面积相等，所以S△OQM＝2，所以S△MNQ＝

22.

11．（16分）函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)

为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形

的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．

(1)求函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心；

(2)根据第(1)问的结论，求f(－100)＋f(－99)＋…＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(103)＋f(104)

的值．

解：(1)设函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心为P(a，b)，

由于函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b

为奇函数．

即函数g(x)＝f(x＋a)－b为奇函数，而g(x)＝(x＋a)3－6(x＋a)2－b＝x3＋(3a－6)x2＋(3a2

－12a)x＋a3－6a2－b，

由于x∈R，g(－x)＝－g(x)，即－x3＋(3a－6)x2－(3a2－12a)x＋a3－6a2－b＝－x3－(3a－

3a－6＝0，

6)x2－(3a2－12a)x－(a3－6a2－b)，因为x∈R，故

a3－6a2－b＝0，

a＝2，

解得

b＝－16，

即函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心为点(2，－16).

(2)由(1)的结论可知f(x)＋f(4－x)＝－32，则f(－100)＋f(104)＝－32，f(－99)＋f(103)＝－

32，…，f(1)＋f(3)＝－32，而f(2)＝－16，故f(－100)＋f(－99)＋…＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(103)

＋f(104)＝[f(－100)＋f(104)]＋[f(－99)＋f(103)]＋…＋[f(1)＋f(3)]＋f(2)＝(－32)×102＋(－16)

＝－3280.

aex－2a＋1

12．（16分）已知函数f(x)＝（e＝2.71828…是自然对数的底数）.

ex－1

(1)讨论f(x)的单调性．

(2)是否存在实数a使得f(x)的图象关于点(0，1)对称？若存在，请求出实数a；若不存在，

请说明理由．

解：(1)ex－1≠0，x≠0，所以f(x)的定义域为{x|x≠0}，

aex－2a＋1a(ex－1)－a＋11－a

f(x)＝＝＝a＋，

ex－1ex－1ex－1

当a＝1时，f(x)＝1(x≠0)，f(x)没有单调性.

当a<1，1－a>0时，f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞).

当a>1，1－a<0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞).

(2)f(x)的定义域为{x|x≠0}，

假设存在实数a，使f(x)的图象关于点(0，1)对称，此时f(x)＋f(－x)＝2，

aex－2a＋1ae－x－2a＋1a－2aex＋ex－a＋2aex－ex

f(x)＝，f(－x)＝＝＝，

ex－1e－x－11－exex－1

aex－2a＋1－a＋2aex－ex(3a－1)ex－(3a－1)(3a－1)(ex－1)

f(x)＋f(－x)＝＋＝＝＝3a－1

ex－1ex－1ex－1ex－1

＝2，a＝1.

故存在实数a满足题意，且a＝1.

13．（5分）（2024·陕西安康模拟）已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，f(1＋x)＝f(1

3

－x)，函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，且对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有x1f(x1)

333

＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则下列关于函数y＝f(x)的说法中，正确的个数是(C)

①f(x＋2)＝f(x－2)；

－1326

②f2<f3；

③函数y＝f(x)在[2，4]上单调递增；

④不等式f(x)≥0的解集为[4k，4k＋2](k∈Z).

A．1B．2

C．3D．4

解析：由函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，得f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函

数f(x)是奇函数，由f(1＋x)＝f(1－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x＋4)＝f[(x＋3)＋1]

＝f[1－(x＋3)]＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f[(x＋1)＋1]＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)，因此

333

f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)

33333

＋x2f(x1)，不妨设x1>x2，则（x1－x2）f(x1)>（x1－x2）f(x2)，即f(x1)>f(x2)，因此f(x)在[0，1]

131331262621

－－＋8－8

上单调递增，f2＝f2＝f2＝f2，f3＝f3＝f3>f2，②正确；由函数

f(x)是R上的