2026版高三数学讲义第四章　4.7　正、余弦定理的综合应用

4．7正、余弦定理的综合应用

1．会利用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的最值、范围问题．

2．会利用正、余弦定理求解平面多边形、三角形的中线、高线、角平分线等问题．

考点1多边形中的解三角形问题

2

【例1】如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝62，tanA＝，cos∠ADB

2

1

＝.

3

(1)求cos∠BDC的值；

(2)求BC的长．

sinA236

【解】(1)因为tanA＝＝，且sin2A＋cos2A＝1，解得sinA＝，cosA＝.而

cosA233

122

cos∠ADB＝，所以sin∠ADB＝1－cos2∠ADB＝，所以cos∠ABD＝cos(π－A－∠ADB)

33

613226

＝－cos(A＋∠ADB)＝－(cosAcos∠ADB－sinAsin∠ADB)＝－×＋×＝，因

33339

6

为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD＝.

9

BDABAB·sinA

(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，因为AB＝62，所以BD＝＝

sinAsin∠ADBsin∠ADB

33.在△CBD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝27＋18－

6

2×33×32×＝33，所以BC＝33.

9

平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理

求解．

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

【对点训练1】如图所示，在平行四边形ABCD中，有ACcos∠BAC＝(2AB－BC)·

cos∠ABC.

(1)求∠ABC的大小；

(2)若BC＝3，AC＝7，求平行四边形ABCD的面积．

解：(1)由题意得ACcos∠BAC＝(2AB－BC)cos∠ABC，

由正弦定理得2sin∠ACBcos∠ABC＝sin∠BACcos∠ABC＋sin∠ABCcos∠BAC，

∴2sin∠ACBcos∠ABC＝sin(∠BAC＋∠ABC)＝sin(π－∠ACB)＝sin∠ACB，

又∵∠ACB∈(0，π)，

1

∴sin∠ACB≠0，∴cos∠ABC＝，

2

π

∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.

3

π

(2)在平行四边形ABCD中，∠ABC＝，BC＝3，AC＝7，

3

在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC，即7＝AB2＋9－

1

2×AB×3×，

2

解得AB＝1或AB＝2，

1π

当AB＝1时，平行四边形ABCD的面积为S＝2S△ABC＝2×AB×BCsin＝

23

1333

2××1×3×＝；

222

1π

当AB＝2时，平行四边形ABCD的面积为S＝2S△ABC＝2×AB×BCsin＝

23

13

2××2×3×＝33.

22

33

故平行四边形ABCD的面积为或33.

2

考点2三角形中的最值、范围问题

【例2】（2024·河北衡水一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别

23

是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD，BD＝2，且a2＝－S

3

＋abcos∠ACB.

(1)求∠ABC；

21

(2)求＋的取值范围．

ADCD

23

【解】(1)∵a2＝－S＋abcos∠ACB，

3

3

∴a2＝－absin∠ACB＋abcos∠ACB，

3

3

即a＝－bsin∠ACB＋bcos∠ACB，

3

由正弦定理得，

3

sin∠BAC＝－sin∠ABCsin∠ACB＋sin∠ABCcos∠ACB，

3

3

∴sin(∠ABC＋∠ACB)＝－sin∠ABC·sin∠ACB＋sin∠ABCcos∠ACB，

3

3

∴cos∠ABCsin∠ACB＝－sin∠ABCsin∠ACB，

3

∵sin∠ACB≠0，∴tan∠ABC＝－3，

2π

由0<∠ABC<π，得∠ABC＝.

3

2π

(2)由(1)知，∠ABC＝，∵AB⊥BD，

3

ππ

∴∠ABD＝，∠DBC＝，

26

DCBD

在△BCD中，由正弦定理得＝，

sin∠DBCsin∠ACB

π

2sin1

即DC＝6＝，

∠

sin∠ACBsinACB

在Rt△ABD中，

BD2

AD＝＝，

sin∠BACsin∠BAC

2121

∴＋＝＋＝sin∠BAC＋sin∠ACB，

ADCD21

sin∠BACsin∠ACB

2ππ

∵∠ABC＝，∴∠BAC＋∠ACB＝，

33

π

21－∠ACBπ

∴＋＝sin∠BAC＋sin∠ACB＝sin3＋sin∠ACB＝sincos∠ACB

ADCD3

ππ2π

π∠ACB＋ππ，

－cossin∠ACB＋sin∠ACB＝sin3，∵0<∠ACB<，∴∠ACB＋∈33，

333

π3

∠ACB＋，1

∴sin3∈2，

3

21，1

∴＋的取值范围为2.

ADCD

1．三角形中的最值、范围问题的解题策略

(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相

关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围．

(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式．

(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．

2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点

(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利

用余弦定理进行转化．

(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，|b－c|<a<b＋c，三角形中大边对大

角等．

【对点训练2】在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别是a，b，c，已知

向量m＝(a＋b，sin∠ACB)，n＝(a－c，sin∠BAC－sin∠ABC)，满足m∥n.

(1)求∠ABC；

(2)若∠ABC的平分线交边AC于点D，BD＝2，求△ABC面积的最小值．

解：(1)∵m∥n，∴(a＋b)·(sin∠BAC－sin∠ABC)＝(a－c)·sin∠ACB，

∴(a＋b)(a－b)＝c(a－c)，即a2－b2＝ac－c2，∴a2＋c2－b2＝ac，

1

∴2accos∠ABC＝ac，∴cos∠ABC＝，

2

π

∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.

3

13

(2)由题意得S△ABC＝acsin∠ABC＝ac，

24

1π11π1

S△ABD＝×2×c×sin＝c，S△CBD＝×2×a×sin＝a，∵S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，

262262

3113

∴ac＝c＋a，即ac＝a＋c≥2ac，

4222

431643

∴ac≥，则ac≥，当且仅当a＝c＝时取等号，

333

331643

∴S△ABC＝ac≥×＝.

4433

43

即△ABC面积的最小值为.

3

考点3三角形中的中线、高线、角平分线

命题角度1中线

【例3】（2024·山东潍坊一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为

a，b，c，已知a(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝c.

(1)求∠BAC；

(2)若c＝2，a＝5，D为BC的中点，求AD的长．

【解】(1)∵a(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝c，

∴sin∠BAC(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝sin∠ACB，

在△ABC中，sin∠ACB＝sin(∠BAC＋∠ABC)，则有sin∠BAC(sin∠ABC＋cos∠ABC)

＝sin(∠BAC＋∠ABC)，

∴sin∠BACsin∠ABC＋sin∠BACcos∠ABC

＝sin∠BACcos∠ABC＋cos∠BACsin∠ABC，

∴sin∠BACsin∠ABC＝cos∠BACsin∠ABC，又∠ABC∈(0，π)，∴sin∠ABC>0，

∴sin∠BAC＝cos∠BAC，∴tan∠BAC＝1，

π

又∠BAC∈(0，π)，∴∠BAC＝.

4

(2)根据余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，

则有5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），

如图，∵D为BC的中点，

→1→→

∴AD＝（AB＋AC），

2

2

→1→→→→12＋9＋2×2×3×17

∴AD2＝（AB2＋AC2＋2AB·AC）＝×2＝，

444

17

∴AD＝.

2

中线的相关结论

如图，在△ABC中，D是BC的中点，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，

c.

(1)向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）

→→→

核心技巧：2AD＝AB＋AC；

→1

结论：AD2＝(b2＋c2＋2bccos∠BAC).

4

(2)角形式：

∠ADB＋∠ADC＝πcos∠ADB＋cos∠ADC＝0.

DA2＋DB2－AB2

在△ADB中，cos∠⇒ADB＝；

2DA×DB

DA2＋DC2－AC2

在△ADC中，cos∠ADC＝.

2DA×DC

命题角度2高线

【例4】（2024·山东枣庄一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为

a∠ACB

a，b，c，且＝sin∠BACtan.

2c2

(1)求∠ACB；

→→→m

(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且CH＝mCA＋nCB，求.

n

a∠ACB

【解】(1)因为＝sin∠BAC·tan，由正弦定理和同角三角函数的基本关系，得

2c2

∠ACB

sin∠BAC·sin∠

sin∠BAC2sinBAC

＝，由倍角公式得∠∠＝

2sin∠ACB∠ACBACBACB

cos4sin·cos

222

∠ACB

sin∠BAC·sin

2

.

∠ACB

cos

2

π

∠ACB0，

又因为∠BAC，∠ACB为△ABC的内角，所以∠BAC∈(0，π)，∈2，所以

2

∠ACB

sin∠BAC≠0，cos≠0.

2

∠ACB1∠ACB1∠ACBππ

所以sin2＝，sin＝，则有＝，所以∠ACB＝.

2422263

π→→→→

(2)如图，由题意知a＝8，b＝5，∠ACB＝，CA·CB＝|CA|·|CB|·cos∠ACB＝abcos∠ACB

3

π→→

＝5×8×cos＝20，CA2＝b2＝25，CB2＝a2＝64，

3

→→→→→→→→

由题意知CH⊥AB，所以CH·AB＝0，即（mCA＋nCB）·（CB－CA）＝(m－n)（CB·CA）

→→

－mCA2＋nCB2＝20(m－n)－25m＋64n＝0.

m44

所以5m＝44n，所以＝.

n5

高线的相关结论

111

(1)高的性质：h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝

abc

111

∶∶.

sinAsinBsinC

(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．

命题角度3角平分线

2π

【例5】（2024·山东淄博一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的平分线交

3

BC于点P，AP＝2.

(1)若BC＝8，求△ABC的面积；

(2)若CP＝4，求BP的长．

【解】(1)△ABC中，设∠BAC，∠ABC，

∠ACB的对边分别为a，b，c，

在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB，

即64＝c2＋b2＋b·c①，

bc32c32b3

因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，所以·＝·＋·，整理得b·c＝2b＋2c②，

222222

由①②解得b·c＝2＋265，

13＋195

所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝.

22

π

(2)因为AP＝2，CP＝4，∠PAC＝，所以在△APC中，由余弦定理，可得CP2＝AP2＋

3

AC2－2AP·AC·cos∠CAP，

所以16＝4＋AC2－2AC，解得AC＝1＋13，

APPC

由正弦定理得＝，

sin∠ACBsin∠CAP

24313

即＝，解得sin∠ACB＝，所以cos∠ACB＝1－sin2∠ACB＝，

sin∠ACB344

2

sin∠ABC＝sin(∠BAC＋∠ACB)＝sin∠BACcos∠ACB＋cos∠BACsin∠ACB

39－3

＝，

8

ACBC

在△ABC中，由正弦定理得＝，

sin∠ABCsin∠BAC

1＋13BC14＋213

则＝，解得BC＝，

39－333

82

14＋2132＋213

所以BP＝BC－PC＝－4＝.

33

角平分线的相关结论

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠ABC，

∠ACB所对的边分别为a，b，c.

ABACABBD

(1)内角平分线定理：＝或＝.

BDDCACDC

(2)等面积法：

11∠BAC1

S△ABC＝S△ABD＋S△ADCAB×AC×sin∠BAC＝AB×AD×sin＋AC×AD×sin

2222

∠BAC⇒

.

2

(3)角形式：

∠ADB＋∠ADC＝πcos∠ADB＋cos∠ADC＝0.

DA2＋DB2－AB2

在△ADB中，cos∠⇒ADB＝；

2DA×DB

DA2＋DC2－AC2

在△ADC中，cos∠ADC＝.

2DA×DC

【对点训练3】（2024·黑龙江哈尔滨二模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的

2bcos∠ABCsin∠BAC

对边分别为a，b，c，已知b＝4，＝cos∠BAC＋.

ctan∠ACB

(1)求∠ABC的大小；

22

(2)已知BD为∠ABC的平分线，且与AC交于点D，若BD＝，求△ABC的周长．

3

csin∠BAC

解：(1)由已知，得2bcos∠ABC＝ccos∠BAC＋，

tan∠ACB

sin∠ACBsin∠BAC

根据正弦定理，得2sin∠ABCcos∠ABC＝sin∠ACBcos∠BAC＋，

tan∠ACB

即2sin∠ABCcos∠ABC＝sin∠BACcos∠ACB

＋cos∠BACsin∠ACB，

即2sin∠ABCcos∠ABC＝sin(∠BAC＋∠ACB)＝sin∠ABC，

1π

由于0<∠ABC<π，所以sin∠ABC>0，所以cos∠ABC＝，所以∠ABC＝.

23

(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，

111

所以acsin∠ABC＝BD·c·sin∠ABD＋BD·a·sin∠CBD，

222

1π

因为BD为∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝，

26

13122112212226

所以ac×＝×c×＋×a×，则3ac＝(a＋c)，即ac＝(a＋c)，

2223223239

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，即16＝a2＋c2－ac，

26－46

所以16＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－(a＋c)，解得a＋c＝26或a＋c＝（舍），

33

故△ABC的周长为26＋4.

课时作业31

1

1．（16分）（2024·四川成都三模）在△ABC中，BC＝5，AC＝6，cos∠ABC＝.

8

(1)求AB的长；

(2)求AC边上的高．

解：(1)设∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，则a＝5，b＝6，cos∠ABC

1125＋c2－36

＝，由余弦定理得＝，解得c＝4，即AB＝4.

882×5c

1

(2)在△ABC中，cos∠ABC＝，

8

371137

所以sin∠ABC＝，设AC边上的高为h，则bh＝acsin∠ABC，即6h＝5×4×，

8228

57

解得h＝，

4

57

所以AC边上的高为.

4

2．（16分）（2024·北京东城区一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分

23

别为a，b，c，满足acos∠ACB＋ccos∠BAC＝bcos∠ABC.

3

(1)求∠ABC；

(2)若a＝12，D为BC边的中点，且AD＝3，求b.

23

解：(1)因为acos∠ACB＋ccos∠BAC＝bcos∠ABC，所以sin∠BACcos∠ACB＋

3

23

sin∠ACBcos∠BAC＝sin∠ABCcos∠ABC，

3

23

所以sin(∠BAC＋∠ACB)＝sin∠ABCcos∠ABC，

3

23

所以sin∠ABC＝sin∠ABCcos∠ABC，

3

233

又因为sin∠ABC≠0，所以1＝cos∠ABC，解得cos∠ABC＝，又因为∠ABC∈(0，

32

π

π)，所以∠ABC＝.

6

(2)如图，因为D为BC边的中点，a＝12，所以BD＝CD＝6，在△ABD中，由正弦定理

BDAD

可得＝，

sin∠BADsin∠ABD

63π

即＝＝6，解得sin∠BAD＝1，又因为∠BAD∈(0，π)，所以∠BAD＝，

sin∠BAD12

2

在Rt△ABD中，AB＝BD2－AD2＝62－32＝33，

π

在△ABC中，AB＝33，BC＝12，∠ABC＝，

6

3

由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·AC·cos∠ABC＝27＋144－2×33×12×＝

2

63，

所以AC＝37，即b＝37.

3．（17分）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别是a，b，c，满足(a＋b

＋c)(a＋b－c)＝ab.

(1)求∠ACB；

(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值．

解：(1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，可得a2＋b2－c2＝－ab，

a2＋b2－c2ab12π

∴cos∠ACB＝＝－＝－，又∠ACB∈(0，π)，∴∠ACB＝.

2ab2ab23

(2)∵S△ABC＝S△BCD＋S△ACD，

12π11π

∴absin＝×2a＋b×2sin，

23226

31

∴ab＝a＋b≥2ab，

42

324383

∴ab≥，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，

333

383

∴S△ABC＝ab≥，

43

83

∴△ABC面积的最小值为.

3

4．（17分）如图，在凸四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，且BE＝ED，AE

＝2EC，AB＝4，AD＝22.

(1)若EC＝1，求∠BAD的余弦值；

π

(2)若∠ABD＝，求边BC的长．

4

解：(1)因为EC＝1，所以AE＝2EC＝2，AC＝3，设BE＝ED＝x，

AD2＋BD2－AB2(22)2＋(2x)2－42x2－2

在△ABD中，cos∠ADB＝＝＝，

2AD·BD82x22x

AD2＋ED2－AE2(22)2＋x2－22x2＋4

在△AED中，cos∠ADB＝＝＝，

2AD·ED42x42x

x2－2x2＋4

所以＝，解得x＝22，所以BD＝42，

22x42x

AB2＋AD2－BD2

在△ABD中，cos∠BAD＝

2AB·AD

42＋(22)2－(42)22

＝＝－.

2×4×224

ABAD

(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，

sin∠ADBsin∠ABD

AB4π

所以sin∠ADB＝sin∠ABD＝sin＝1，又∠ADB为三角形的内角，所以∠ADB

AD224

π

＝，所以BD＝AD＝22，BE＝ED＝2，且AE＝AD2＋ED2＝10，

2

ED5110

所以cos∠AED＝cos∠BEC＝＝，EC＝AE＝，

AE522

51055

在△BCE中，BC2＝BE2＋EC2－2BE·ECcos∠BEC＝2＋－2×2××＝，所以

2252

10

BC＝.

2

5．（17分）（2024·山东济南二模）如图，已知平面四边形ABCD中，AB＝BC＝22，CD

＝2，AD＝4.

(1)若A，B，C，D四点共圆，求边AC的长；

(2)求四边形ABCD面积的最大值．

解：(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝8＋8－

2×8×cos∠ABC＝16－16cos∠ABC①，

在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝16＋4－2×8cos

∠ADC＝20－16cos∠ADC②，

因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ABC＋∠ADC＝π，因此cos∠ADC＝－cos∠ABC，

因此①＋②，得2AC2＝36，所以AC＝32（负值已舍去）.

(2)由(1)得16－16cos∠ABC＝20－16cos∠ADC，

1

化简得cos∠ADC－cos∠ABC＝，

4

1

则cos2∠ADC－2cos∠ADCcos∠ABC＋cos2∠ABC＝③，

16

111

四边形ABCD的面积S＝AB·BCsin∠ABC＋AD·CDsin∠ADC＝×22×

222

1

22sin∠ABC＋×4×2sin∠ADC＝4(sin∠ADC＋sin∠ABC)，

2

S

整理得sin∠ADC＋sin∠ABC＝，

4

S2

则sin2∠ADC＋2sin∠ADCsin∠ABC＋sin2∠ABC＝④，

16

1＋S2

③＋④得2－2(cos∠ADCcos∠ABC－sin∠ADCsin∠ABC)＝，

16

1＋S2

即2－2cos(∠ADC＋∠ABC)＝，

16

由于0<∠ADC<π，0<∠ABC<π，所以当且仅当∠ADC＋∠ABC＝π时，cos(∠ADC＋∠ABC)

取得最小值－1，

1＋S2

此时四边形ABCD的面积最大，由＝4，解得S＝37，