2026版高三数学讲义第四章　4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

第四章三角函数、解三角形

4．1任意角和弧度制、三角函数的概念

1．了解任意角的概念和弧度制的概念.

2．能进行弧度与角度的互化.

3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

1．角的概念

(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正

角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一

个零角．任意角包括正角、负角和零角．

(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴

的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在

坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角).

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α

＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表

示，读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度

数是0．

(2)角度和弧度的换算

180°＝πrad；

π

1°＝rad≈0.01745rad；

180

180

1rad＝π°≈57.30°.

(3)半径为r的圆中，圆心角为αrad的角所对的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S

11

＝lr＝|α|·r2．

22

3．三角函数的概念

(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα

y

＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0).正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．

x

(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号

三角定义域第一象第二象第三象第四象

函数(弧度制下)限符号限符号限符号限符号

sinαR＋＋－－

cosαR＋－－＋

αα≠kπ＋

tanα＋－＋－

π

，k∈Z

2

教材拓展

1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧

nπRnπR2

长公式和面积公式分别为l＝，S＝.

180360

3．象限角

4．轴线角

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若α为锐角，则2α为钝角．(×)

(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(×)

(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√)

(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(√)

ππ

40－，

2．(人教A版必修第一册P170例1改编)已知α＝－π，β与α的终边相同，且β∈22，

9

4π

则β＝－．

9

ππ

404π－，4π

解析：因为α＝－π＝－2×2π－，β与α的终边相同，且β∈22，所以β＝－.

999

3．(人教A版必修第一册P176T10改编)已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇

形的半径为5，该扇形的面积为25．

24

52

51

解析：设该扇形的半径为r，则2r＋2r＝10，解得r＝，所以该扇形的面积为×2×2

22

25

＝.

4

4．(人教A版必修第一册P180T3改编)若角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，且sinθ＝

2

m，则m＝1．

2

m2

解析：因为角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，所以sinθ＝＝m，解得m＝1(m

1＋m22

＝－1舍去)，所以m＝1.

考点1象限角与终边相同的角

9π

【例1】(1)(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(CD)

4

A．45°＋2kπ(k∈Z)

9π

B．＋k·360°(k∈Z)

4

C．－315°＋k·360°(k∈Z)

π

D．＋2kπ(k∈Z)

4

【解析】对于A，B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，故A，B错误；

9ππ9πππ7π7π

对于C，＝2π＋，则与终边相同，而与－终边相同，且－化为角度制即为－315°，

4444444

9π9π

则－315°与的终边相同，则－315°＋k·360°(k∈Z)是与的终边相同的角的表达式，故C正

44

9ππ9ππ

确；对于D，由C得与终边相同，则与终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)的形式，

4444

故D正确．故选CD.

(2)(多选)下列说法中正确的是(AB)

5π

A．300°＝

3

α

B．若α为第一象限角，则为第一或第三象限角

2

C．第二象限角都是钝角

π

α＝2kπ－

D．终边在直线y＝－x上的角的集合是α|4，k∈Z

π5π

【解析】对于A，300°＝300×＝，A正确；对于B，α为第一象限角，即2kπ<α<2kπ

1803

παπα

＋，k∈Z，则kπ<<kπ＋，k∈Z，则为第一或第三象限角，B正确；对于C，第二象限角

2242

不都是钝角，比如490°为第二象限角，但不是钝角，C错误；对于D，终边在直线y＝－x

上的角的集合是，D错误．故选AB.

1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相

同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．

α

2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法

k

αα

先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．

kk

2024π

【对点训练1】(1)是(B)

3

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

2024π2π2024π2π

解析：＝674π＋，则与终边相同，为第二象限角．故选B.

3333

(2)如图，已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α的终边和θ相同，则角α的集合

为(C)

π

π

α|6＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z

A．3

πkππkπ

＋<α<＋，k∈Z

B．α|6232

ππ

＋kπ<α<＋kπ，k∈Z

C．α|63

π3kππ3kπ

＋≤α≤＋，k∈Z

D．α|6232

3ππ

解析：终边落在直线y＝x上的角为＋kπ(k∈Z)，终边落在直线y＝3x上的角为＋

363

ππ

＋kπ<α<＋kπ，k∈Z

kπ(k∈Z)，故角α的集合为α|63.故选C.

考点2弧度制及其应用

【例2】已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r.

(1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长．

(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．

ππ

【解】(1)设扇形的弧长为l.∵α＝60°＝，r＝3，∴l＝|α|r＝×3＝π.

33

(2)由题设条件知l＋2r＝16，

8

<r<8

l＝16－2rπ＋1，

11

因此扇形的面积S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，

22

l

∴当r＝4时，S有最大值16，此时l＝16－2r＝8，α＝＝2，

r

∴当α＝2时，扇形的面积最大，最大面积是16.

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

【对点训练2】(1)“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的

范围为(0，π)时，其所对的“古典正弦”为BC(D为BC的中点).根据以上信息，当圆心角∠BOC

︵

对应的BC的长为2时，其对应的“古典正弦”值为(D)

1

A．2sin2°B．2sin

π

C．2sin1°D．2sin1

︵2

解析：由题意知OB＝1，lBC＝2，则圆心角∠BOC＝＝2，则∠BOD＝1，所以BC＝2BD

1

＝2×1×sin1＝2sin1.故选D.

(2)(2024·山东潍坊三模)如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，

该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位

于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是(B)

A．2B．1

ππ

C．D．

34

解析：由圆M与圆N外切，得MN＝2，又圆M、圆N与x轴分别相切于原点O和点B，

︵︵︵1

则OB＝MN＝2，所以AB的长lAB＝OB＝2，所以AB对应的扇形面积为×2×1＝1.故选B.

2

考点3三角函数的定义

命题角度1三角函数的定义及应用

【例3】(1)(2024·浙江金华三模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重

5

合．若P(－1，2)为角α终边上的一点，则cosα＝－.

5

－15

【解析】由P(－1，2)为角α终边上的一点，得cosα＝＝－.

(－1)2＋225

1，3

(2)(2024·上海松江区二模)已知点A的坐标为22，将线段OA绕坐标原点O逆时针

31

π－，

旋转至OP，则点P的坐标为22．

2

13

，π

【解析】设点P的坐标为(xP，yP).如图，因为点A的坐标为22，所以∠xOA＝，

3

31

ππ5π5π35π1－，

所以∠xOP＝＋＝，所以xP＝cos＝－，yP＝sin＝，所以点P的坐标为22.

3266262

命题角度2三角函数值符号的判断

【例4】(1)已知点M(cosα，tanα)在第二象限，则角α的终边在(C)

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【解析】因为点M(cosα，tanα)在第二象限，所以cosα<0，tanα>0，所以α的终边在

第三象限．故选C.

a

(2)已知角θ的终边经过点P(3－9，log2a－2)，若cosθ>0，且sinθ<0，则实数a的取值

范围是(B)

A．(1，3)B．(2，4)

C．(3，4)D．(4，6)

3a－9>0，

【解析】由题意可得P在第四象限，所以解得2<a<4，故a的取值范

log2a－2<0，

围是(2，4).故选B.

1．三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，

确定这个角的三角函数值．

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的

值．

2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、

余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论

求解．

2

【对点训练3】(1)已知点P(m，－3)(m≠0)在角α终边上，且cosα＝m，则sinα＝

4

(A)

610

A．－B．－

44

610

C．D．

44

2m

解析：因为点P(m，－3)(m≠0)在角α终边上，且cosα＝m，所以cosα＝

4m2＋(－3)2

2－3－36

＝m，所以m2＝5，所以sinα＝＝＝－.故选A.

4m2＋(－3)2224

(2)若sinα<0且cosα>0，则α的终边所在象限为(D)

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：α的终边过点(cosα，sinα)，又sinα<0且cosα>0，则α的终边所在象限为第四象

限．故选D.

课时作业25

1．(5分)下列各角中，与79°终边相同的是(D)

A．349°B．379°

C．679°D．799°

解析：349°＝360°－11°，故A错误；379°＝360°＋19°，故B错误；679°＝360°×2－41°，

故C错误；799°＝2×360°＋79°，故D正确．故选D.

2．(5分)下列命题为真命题的是(B)

A．小于90°的角都是锐角

B．钝角一定是第二象限角

C．第二象限角大于第一象限角

D．若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角

解析：小于90°的角，例如0°<90°，但0°不是锐角，所以A是假命题；因为钝角的范围

π

，π

是2，是第二象限角，所以B是真命题；例如：－210°是第二象限角，30°是第一象限角，

但－210°<30°，所以C是假命题；当θ＝π时，cosθ＝－1，但θ＝π不是第二或第三象限角，

所以D是假命题．故选B.

2π

3．(5分)若扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的半径为(A)

3

A．3B．4

C．5D．6

2π

解析：设该扇形的半径为r，则由题意得r＝2π，解得r＝3.故选A.

3

4．(5分)在平面直角坐标系Oxy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(－

1，－2)，则sinα＝(D)

525

A．B．

55

525

C．－D．－

55

－225

解析：因为角α终边经过点P(－1，－2)，所以sinα＝＝－.故选D.

(－1)2＋(－2)25

3

5．(5分)已知α是第二象限角，P(x，6)为其终边上的一点，且sinα＝，则x＝(C)

5

A．－4B．±4

C．－8D．±8

363

解析：点P(x，6)是第二象限角α终边上的一点，则x<0，由sinα＝，得＝，所

5x2＋625

以x＝－8.故选C.

6．(5分)已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为(D)

A．2sin1B．4sin21

24

C．D．

sin1sin21

解析：扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图，设扇形的半径为r，由垂径定理得

22

2214

sin1＝，即r＝，故扇形的面积为×2×sin1＝.故选D.

rsin12sin21

7．(6分)(多选)下列说法正确的是(CD)

A．2rad的角是一个锐角

B．24°与2024°的终边相同

C．将时钟拨快30分钟，则分针转过的角度是－180°

α

D．若α是第一象限角，则为第一或第二或第三象限角

3

解析：2rad≈2×57.3°＝114.6°，是钝角，A错误；∵2024°＝360°×5＋224°，∴2024°

与224°终边相同，又224°是第三象限角，而24°是第一象限角，∴终边不同，B错误；时钟

拨快30分钟，则分针转过的角为负角，且是整个表盘的一半，则为－180°，C正确；∵α是

π2kπαπ2kπα

第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴<<＋，k∈Z，∴是第一或第二或第三象

233633

限角，D正确．故选CD.

8．(6分)(多选)某市政府欲在一个扇形区域OAB建造市民公园，已知该扇形区域的面积

为160000平方米，圆心角为2，则(ACD)

A．该扇形的半径为400米

B．该扇形的半径为800米

C．该扇形的周长为1600米

D．该扇形的弧长为800米

1

lr＝160000，

解析：设该扇形的半径为r米，弧长为l米，根据题意，可得2解得

l＝2r，

r＝400，

所以该扇形的周长为2r＋l＝800＋800＝1600(米).故选ACD.

l＝800，

9．(5分)在直角坐标系中，已知角α的终边过点P(1，－2)，角β的终边与角α的终边关于

5

y轴对称，则cosβ＝－．

5

5

解析：由题意知cosα＝，因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋

5

5

2kπ(k∈Z)，所以cosβ＝cos(π－α＋2kπ)＝－cosα＝－.

5

10．(5分)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x

π

α＝kπ－

上，则角α的取值集合是α|3，k∈Z．

2π

解析：直线y＝－3x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－3x上的角的取值集合为

3

π

α＝kπ－

α|3，k∈Z.

1

，m

11．(16分)已知角α的终边与单位圆交于点P5，其中m<0.

(1)求实数m的值；

(2)求sinα，cosα，tanα的值．

1

，m126

解：(1)由角α的终边与单位圆交于点P5，得＋m2＝1，又m<0，所以m＝－.

255

261

(2)因为角α的终边与单位圆交于点P，所以sinα＝－，cosα＝，

55

tanα＝－26.

12．(17分)如图，这是一个扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)展台，AD＝4

米．

2π

(1)若∠COD＝，OA＝2米，求该扇形环面展台的周长；

3

(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置

该扇形环面展台的总费用．

4π

解：(1)由题意可得弧AB的长l1＝米，弧CD的长l2＝4π米，

3

16π

＋8

所以扇形环面展台的周长为l1＋l2＋2×4＝3米．

(2)设∠COD＝θ，OA＝r米，

则弧AB的长l1＝θr米，弧CD的长l2＝θ(r＋4)＝(θr＋4θ)米，

因为该扇形环面展台的周长为14米，所以l1＋l2＋4×2＝14，即θr＋θr＋4θ＋8＝14，整

理得θr＋2θ＝3，

11

则该扇形环面展台的面积S＝θ(r＋4)2－θr2＝4θr＋8θ＝4(θr＋2θ)＝12(平方米)，

22

所以布置该扇形环面展台的总费用为12×500＝6000(元).

13．(5分)已知集合A＝，B＝

，则(A)

A．ABB．BA

．＝．∩＝∅

CA⊆BDA⊆B

解析：当k＝2n，n∈Z时，B＝＝A，

当k＝2n＋1，n∈Z时，B＝