2026版高三数学讲义第八章　8.6　双曲线

8．6双曲线

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．

2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、轴长、渐近线、离心率).

3．了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义

(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小

于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲

线的焦距．

(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，

离心率为e＝2．

2．双曲线的标准方程和简单几何性质

项目焦点在x轴上焦点在y轴上

x2y2y2x2

－＝1－＝1

标准方程a2b2a2b2

(a>0，b>0)(a>0，b>0)

图形

F1(－c，0)，F1(0，－c)，

焦点

F2(c，0)F2(0，c)

焦距|F1F2|＝2c

a，b，c

c2＝a2＋b2

的关系

简x≤－a或x≥a，y≤－a或y≥a，

范围

单y∈Rx∈R

几对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点

何顶点(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)

性轴长实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b

质ba

渐近线±x±x

ab

c

离心率e＝，且e∈(1，＋∞)

a

教材拓展

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min

＝c－a.

2b2

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.

a

x2y2x2y2

4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系方程可表示为－＝t(t≠0).

a2b2a2b2

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲

线．(×)

x2y2

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)

mn

x2y2xy

(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(√)

m2n2mn

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)

x2y2

2．(人教A版选择性必修第一册P121T3改编)已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，

k＋15－k

若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(C)

A．－1<k<5B．k>5

C．k<－1D．k≠－1且k≠5

k＋1<0，

解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－1.故选C.

5－k>0，

3．(人教A版选择性必修第一册P127习题T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方

4

程是y＝±x．

3

y2x2

解析：依题意知，双曲线9y2－16x2＝144即－＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，

169

4

虚半轴长b＝3，所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x.

3

x2y2

4．(人教A版选择性必修第一册P127习题T1改编)设P是双曲线－＝1上一点，

1620

F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝17．

解析：根据题意及双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|

＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.

考点1双曲线的定义

2222

【例1】(1)已知一个动圆P与两圆C1：(x＋3)＋y＝1和C2：(x－3)＋y＝9都外切，

则动圆P圆心的轨迹方程为(A)

y2

A．x2－＝1(x≤－1)

8

y2

B．x2－＝1

8

y2

C．x2－＝1(x≥1)

8

y2

D．x2－＝1(x≥1)

10

【解析】由题意易知两圆圆心分别为C1(－3，0)，C2(3，0)，半径分别为r1＝1，r2＝3，

|PC1|＝r＋r1，

设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为r，根据题意有|PC2|－|PC1|＝r2－r1＝

|PC2|＝r＋r2

⇒

2<|C1C2|，根据双曲线的定义知P的轨迹是以原点为中心，C1(－3，0)，C2(3，0)分别为左、

y2

右焦点，2为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).故选A.

8

x2y2

(2)F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，

a26

PF1与双曲线C的左支交于点Q.已知△PQF2是等边三角形，则双曲线C的实轴长为(C)

A．1B．2

C．2D．22

【解析】由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，如图．因为△PQF2是等边三角

形，所以

|PQ|＝|PF2|＝|QF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，则|QF2|＝4a.在

222222

|PF1|＋|PF2|－|F1F2|36a＋16a－4c1

△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，整理

2

2|PF1||PF2|48a2

得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所以实轴长为2.故选C.

双曲线定义的应用策略

(1)利用双曲线的定义可判断平面内动点的轨迹是否为双曲线．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方

的方法，建立所求与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差要取绝对值；②2a<|F1F2|；③

焦点所在的坐标轴．

x2y2

【对点训练1】(1)设F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点，过F2的直线与C

43

的右支交于P，Q两点，则|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝(C)

A．5B．6

C．8D．12

22

xy2

解析：双曲线C：－＝1，则a＝4，a＝2，由双曲线的定义知|F1P|－|PF2|＝2a＝4，

43

|F1Q|－|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，所以|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|＋|F1Q|－(|PF2|＋|QF2|)

＝|F1P|－|PF2|＋|F1Q|－|QF2|＝8.故选C.

x2y2

(2)(2024·辽宁沈阳二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，渐近线方程

a2b2

为y＝±x，焦距为8，点A的坐标为(1，3)，点P为C的右支上的一点，则|PF|＋|PA|的最小

值为(C)

A．42＋25B．62

C．72D．42＋10

b

＝1，a＝22，

a

解析：如图所示，由题意知解得＝，

2c＝8，b22

＝，

c2＝a2＋b2，c4

记C的右焦点为F1，即F1(4，0)，由双曲线的定义，

得|PF|－|PF1|＝2a＝42，

即|PF|＝42＋|PF1|，

22

所以|PF|＋|PA|＝42＋|PA|＋|PF1|≥42＋|AF1|＝42＋(1－4)＋(3－0)＝72，当且仅

当点P在线段AF1上时等号成立，所以|PF|＋|PA|的最小值为72.故选C.

考点2双曲线的方程

y2

【例2】(1)与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且经过点(2，6)的双曲线方程为

9

(D)

3x2y2y23x2

A．－＝1B．－＝1

2662

x2y2y2x2

C．－＝1D．－＝1

218182

y2

【解析】由题意设所求双曲线方程为x2－＝k(k≠0)，又该双曲线过点(2，6)，∴2

9

62y2y2x2

－＝k，解得k＝－2，∴所求双曲线方程为x2－＝－2，即－＝1.故选D.

99182

x2y2

(2)(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线

a2b2

右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为

(C)

x2y2x2y2

A．－＝1B．－＝1

8284

x2y2x2y2

C．－＝1D．－＝1

2848

【解析】方法一根据题意，画出图形，如图，

2

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，所以m

2221m

＋n＝(2c)＝4c，mn＝8，因为直线PF2的斜率为2，所以tan∠F1F2P＝＝2，所以m＝2n，

2n

m＝2n，

m＝42，

联立1解得所以2a＝m－n＝22，即a＝2，所以4c2＝m2＋n2＝

mn＝8，＝，

2n22

x2y2

40，即c2＝10，所以b2＝c2－a2＝10－2＝8，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.

28

方法二由题可知，点P必落在第四象限，

∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝t，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tanθ1＝2，求得sinθ1

2511

＝，因为∠F1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，求得kPF1＝－，即tanθ2＝，sinθ2

522

5

＝，由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sinθ1∶sinθ2∶sin90°＝2∶1∶5，则由|PF2|＝t

5

11

得|PF1|＝2t，|F1F2|＝2c＝5t，由S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2t×t＝8得t＝22，则|PF2|＝

22

22，|PF1|＝42，|F1F2|＝2c＝210，c＝10，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝22，a

x2y2

＝2，b＝c2－a2＝22，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.

28

求双曲线的标准方程的方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.

x2

(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为

m2

y2x2y2x2y2

－＝λ(λ≠0)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝

n2a2b2a2＋λb2－λ

x2y2x2y2

1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).

a2b2a2b2

【对点训练2】(1)过点(2，3)且与椭圆5x2＋9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程

为(A)

y2x2

A．x2－＝1B．－y2＝1

39

x2y2x2y2

C．－＝1D．－＝1

2995

x2y2

解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故c＝9－5＝2，可得焦点坐标为(±2，0).设双曲线

95

49

－＝1，2

x2y222a＝1，

的方程为－＝1(a>0，b>0)，故ab解得故双曲线的标准方程为x2

222

aba2＋b2＝4，b＝3，

y2

－＝1.故选A.

3

x2y2

(2)(2024·天津南开区二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

a2b2

24

过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若|F1F2|＝|AF2|，则此双曲线的标准

7

方程可能为(C)

x2y2x2y2

A．－＝1B．－＝1

3443

x2y2x2y2

C．－＝1D．－＝1

916169

解析：因为|AF2|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，可得|AF1|＝2a＋2c，

2424

由于过F2的直线斜率为，所以在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1＝－，则cos∠AF2F1

77

2＋2－＋2

774c4c(2a2c)22

＝－，由余弦定理得cos∠AF2F1＝－＝，化简得39c－50ac－25a

25252×2c×2c

34

＝0，可得3c＝5a，即a＝c，b＝c，可得a∶b＝3∶4，a2∶b2＝9∶16，所以此双曲线的标

55

x2y2

准方程可能为－＝1.故选C.

916

考点3双曲线的几何性质

命题角度1渐近线

x2y2

【例3】(1)(2024·河北廊坊模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于

a2b2

x2y2

直线l：x－2y－5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则该双曲线的方程为－＝1．

205

【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l：x－2y－5＝0上，令y＝0，则x＝5，故双

曲线的右焦点为(5，0)，所以c＝5，所以c2＝a2＋b2＝25①，又因为双曲线的一条渐近线平

b1x2

行于直线l：x－2y－5＝0，所以＝②，由①②解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线的方程为

a220

y2

－＝1.

5

x2y2

(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线

a2b2

|PF1|1

交双曲线的左支于点P，已知＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x．

|PF2|2

|PF1|1

【解析】如图，依题意，＝，|PF2|－|PF1|＝2a，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，令双曲

|PF2|2

x2y2

线半焦距为c，双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，则点F2(c，0)到渐近线的距离d

a2b2

|bc|b22

＝＝b，有cos∠PF2F1＝，在△PF1F2中，由余弦定理|F1F2|＋|PF2|－2|F1F2||PF2|·cos

a2＋b2c

222b2222

∠PF2F1＝|PF1|，得(2c)＋(4a)－2×2c×4a×＝(2a)，整理得c＋3a－4ab＝0，即4a－

c

4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

x2y2x2y2

1．求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令－＝0，即得两渐近线方

a2b2a2b2

b

xy或y＝±x

程为±＝0a.

ab

x2y2

2．在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)

a2b2

b

中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.

a

命题角度2离心率

x2y2

【例4】(1)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为

a2b2

F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心

率为3．

2

【解析】方法一由题意知，|F1A|＝13，

1b2b2

|F2A|＝|AB|＝5，∴|F1A|－|F2A|＝2a＝8，解得a＝4.又x＝c时，y＝±，即|F2A|＝＝5，

2aa

c3

∴b2＝5a＝20，∴c2＝a2＋b2＝16＋20＝36，∴c＝6，∴双曲线C的离心率为e＝＝.

a2

b2

c，1

方法二仿方法一，不妨令A在x轴上方，则Aa，由|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，

2

2

2b

b222222

F1(－c，0)，得＝5，且(2c)＋a＝13，又c＝a＋b，解得a＝4，c＝6，∴双曲线的离

a

c3

心率e＝＝.

a2

方法三∵AB⊥x轴，|AB|＝10，直线AB过F2，∴由双曲线的对称性得|AF2|＝|BF2|＝5，

222

不妨设A(c，5)，又F1(－c，0)，|AF1|＝13，∴(2c)＋5＝13，解得c＝6，从而A(6，5)，代

36253625c3

入双曲线的方程得－＝1，即－＝1，解得a＝4，∴双曲线的离心率e＝＝.

a2b2a236－a2a2

2b22(c2－a2)

方法四∵|AB|＝10，∴＝＝10，由方法三可知c＝6，∴a2＋5a－36＝0，解

aa

c3

得a＝4，∴双曲线的离心率e＝＝.

a2

x2y2

(2)(2024·四川宜宾模拟)已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P

a2b2

为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为(0，2b).若|PF2|－|PQ|有最大值，则双曲线C的离

心率的取值范围是(2，＋∞)．

【解析】如图所示，由双曲线的定义，P为双曲线右支上任意一点，可得|PF1|－|PF2|

＝2a，即|PF2|＝|PF1|－2a，则|PF2|－|PQ|＝|PF1|－|PQ|－2a≤|F1Q|－2a，当三点P，Q，F1共

2bbc

线时，取得最大值，由点P为双曲线右支上任意一点，可得<，所以e＝>2，即双曲

caa

线的离心率的取值范围为(2，＋∞).

求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的

c

方程(或不等式)，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不

a

等式)求得离心率的值(或范围).

x2y2

【对点训练3】(1)(2024·四川雅安三模)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)

a2b2

的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中

→→

点，并满足F1M⊥F1N，则双曲线C的离心率为(A)

3＋1

A．B．3＋1

2

C．2D．5＋1

解析：由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，设M(x，y)，因为F2为线段MN的中点，所以N(0，

→→→→→→

－y)，x＝2c，即M(2c，y)，则F1M＝(3c，y)，F1N＝(c，－y)，因为F1M⊥F1N，所以F1M·F1N

x2y24c23c2

＝3c2－y2＝0，即y2＝3c2，又M在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，所以－＝1，结

a2b2a2b2

33

合b2＝c2－a2整理得4c4－8c2a2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝1＋或e2＝1－(舍

22

3＋1

去)，由e>1，解得e＝.故选A.

2

x2y2

(2)(多选)(2024·江苏南通二模)已知双曲线C：－＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋

4b2

by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(AD)

A．C的虚轴长为22

B．C的离心率为6

C．|PF|的最小值为2

2

D．直线PF的斜率不可能等于－

2

x2y21b

解析：双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝2，

4b2b2

a2＋b26

C的虚轴长2b＝22，A正确；C的离心率e＝＝，B错误；点F(6，0)到直线l：

a2

6

x＋2y＝0的距离为＝2，即|PF|的最小值为2，C错误；直线l：x＋2y＝0的

12＋(2)2

22

斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不可能等于－，D正确．故

22

选AD.

2

x2

【例】(2024·广东汕头模拟)已知点M(x0，y0)为双曲线－y＝1上的动点．

2

x0x

(1)判断直线－y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由．

2

(2)(ⅰ)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，

不必证明．

x2y2x2

(ⅱ)将双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为

a2b2a2

y2mxny

－＝0，请利用该方程证明如下命题：若T(m，n)为双曲线C上一点，直线l：－＝1

b2a2b2

与C的两条渐近线分别交于点P，Q，则T为线段PQ的中点．

2

x2

【解】(1)直线与双曲线只有1个公共点．理由：∵点M(x0，y0)在双曲线－y＝1上，

2

2

x02

∴－y0＝1①，

2

x2

－y2＝1，

2

由

x0x

－y0y＝1，

2

22

y0－x0

22

得24x＋x0x－(1＋y0)＝0，

22

将①式代入，整理得x－2x0x＋x0＝0，

22

∵Δ＝4x0－4x0＝0，∴该直线与双曲线有且只有1个公共点．

22

xyx0xy0y

(2)(ⅰ)过双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点(x0，y0)的切线方程为－＝1.

a2b2a2b2

(ⅱ)证明：当n＝0时，直线l的斜率不存在，此时T为双曲线与x轴的交点，

由对称性知，点T为线段PQ的中点，

当n≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(t，s)，

x2y2

－＝0，

22n2m2

ab－22

2222mn2

由mxny得bax＋2mx－a＝0，由－＝1将上式整理得x－2mx＋

－＝1，a2b2

a2b2

x1＋x2

a2＝0，∴t＝＝m，

2

m2

mtnsb2－1

又∵－＝1(注意：点N(t，s)在直线l上)，∴s＝a2＝n，则N(m，n)，

a2b2n

∴点T与点N重合，∴T为线段PQ的中点．

综上，T为线段PQ的中点．

本题考法新颖，不同于以往解析几何大题先求曲线方程的常规套路，而是要求证明一个

二级结论，教学过程中师生都易关注常见结论，而忽视结论的由来和证明，导致学生出现“知

其然，不知其所以然”的现象，本题提示我们在学习过程中要注重数学推导过程的学习．

圆锥曲线的第三定义

1．链接教材：(1)（人教A版选择性必修第一册P108例3）

如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们

4

的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．

9

(2)（人教A版选择性必修第一册P121探究）

如图，点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的

4

斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，比较(1)和(2)

9

的轨迹方程，你有什么发现？

2．圆锥曲线的第三定义

2

平面内的动点到两定点A1(－a，0)，A2(a，0)的斜率之积等于常数e－1的点的轨迹叫做

椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．其中如果常数e2－1∈(0，＋∞)，

轨迹为双曲线，如果常数e2－1∈(－1，0)，轨迹为椭圆．

3．圆锥曲线的第三定义的有关结论

b2

(1)椭圆方程中有关－的经典结论

a2

x2y2

①AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，O为坐

a2b2

22

bbx0

标原点，则有kOM·kAB＝－，即kAB＝－.

22

aay0

x2y2

②椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，A1，A2为椭圆的长轴顶点，点P是椭圆上异于长轴

a2b2

b2

顶点的任一点，则有kPA1·kPA2＝－.

a2

x2y2

③椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，B1，B2为椭圆的短轴顶点，点P是椭圆上异于短轴

a2b2

b2

顶点的任一点，则有kPB·kPB＝－.

12a2

x2y2

④椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，点P是椭圆上

a2b2

b2

异于A，B两点的任一点，则有kPA·kPB＝－.

a2

b2

(2)双曲线方程中有关的经典结论

a2

x2y2

①AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，O

a2b2

22

bbx0

为坐标原点，则有kOM·kAB＝，即kAB＝.

22

aay0

x2y2

②双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A1，A2为双曲线的实轴顶点，点P是双曲线

a2b2

b2

上异于实轴顶点的任一点，则有kPA1·kPA2＝.

a2

x2y2

③双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，B1，B2为双曲线的虚轴端点，点P是双曲线

a2b2

b2

上异于虚轴端点的任一点，则有kPB·kPB＝.

12a2

x2y2

④双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，点P

a2b2

b2

是双曲线上异于A，B两点的任一点，则有kPA·kPB＝.

a2

【典例】(1)已知A，B分别是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰

三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(D)

A．5B．2

C．3D．2

x2y2

【解析】设双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，点M在双曲线右支上，则∠ABM

a2b2

＝120°，∠BAM＝∠BMA＝30°，如图，过点M作MH⊥x轴于点H，则∠MBH＝180°

3

－∠ABM＝60°，所以直线AM和直线BM的斜率分别为和3，由双曲线第三定义，得kMA·kMB

3

3

＝×3＝1＝e2－1，所以离心率e＝2.故选D.

3

x2y2

(2)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值