2026版高三数学讲义第三章　3.3　导数中的函数构造问题

3．3导数中的函数构造问题

会根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式等问题．

考点1通过导数的运算法则构造函数

命题角度1利用f(x)与xn构造函数

【例1】设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，

则不等式f(x)<0的解集为(B)

A．(－∞，－1)∪(0，1)

B．(－1，0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1，0)

D．(0，1)∪(1，＋∞)

f(x)xf′(x)－f(x)

【解析】设F(x)＝，x≠0，则F′(x)＝.因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所

xx2

f(－x)

以当x>0时，F′(x)<0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递减．由于f(x)是奇函数，所以F(－x)＝

－x

f(x)

＝＝F(x)，又F(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，所以F(x)是偶函数，

x

f(x)

所以F(x)在(－∞，0)上单调递增．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以当x<－1或x>1时，F(x)＝<0；

x

f(x)

当－1<x<0或0<x<1时，F(x)＝>0，所以当－1<x<0或x>1时，f(x)<0，即不等式f(x)<0的

x

解集为(－1，0)∪(1，＋∞).故选B.

命题角度2利用f(x)与ex构造函数

【例2】（多选）已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)＜f(x)

对于x∈R恒成立，则(AC)

A．f(2)＜e2f(0)B．f(2)＞e2f(0)

C．e2f(－1)＞f(1)D．e2f(－1)＜f(1)

f(x)exf′(x)－exf(x)f′(x)－f(x)

【解析】构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，又导函数f′(x)满足f′(x)

exe2xex

f(－1)f(0)f(1)f(2)

＜f(x)，则F′(x)＜0，F(x)在R上是减函数，故＞＞＞，所以f(2)＜e2f(0)，e2f(－

e-1e0e1e2

1)＞f(1).故选AC.

命题角度3利用f(x)与sinx，cosx构造函数

π

0，

【例3】已知定义在2上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cosx·f′(x)＋sin

x·f(x)<0成立，则有(C)

ππ

A．f6>2f4

ππ

B．3f6>f3

ππ

C．f6>3f3

ππ

D．2f6<3f4

π

f(x)0，cosx·f′(x)＋sinx·f(x)

【解析】令g(x)＝，x∈2，则g′(x)＝，因为cosx·f′(x)＋

cosxcos2x

πππ

π

0，f3f4f6

，所以，则＝f(x)在上单调递减，所以，即

sinx·f(x)<0g′(x)<0g(x)2π<π<π

cosxcoscoscos

346

πππ

f3f4f6ππππ

<<，故2f6>3f4，f6>3f3.故选C.

123

222

1．利用f(x)与xn构造函数

(1)如果题目中出现nf(x)＋xf′(x)的形式，可构造函数F(x)＝xnf(x).

f(x)

(2)如果题目中出现xf′(x)－nf(x)的形式，可构造函数F(x)＝.

xn

2．利用f(x)与ex构造函数

(1)对于f′(x)＋nf(x)＞0（或＜0），构造函数F(x)＝enxf(x).

f(x)

(2)对于f′(x)－nf(x)＞0（或＜0），构造函数F(x)＝.

enx

3．利用f(x)与sinx，cosx构造函数

(1)若F(x)＝f(x)sinx，则F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx．

f(x)f′(x)sinx－f(x)cosx

(2)若F(x)＝，则F′(x)＝.

sinxsin2x

(3)若F(x)＝f(x)cosx，则F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx.

f(x)f′(x)cosx＋f(x)sinx

(4)若F(x)＝，则F′(x)＝.

cosxcos2x

【对点训练1】(1)已知f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，且x∈R，f′(x)>2x，f(2)＝5，

则不等式2＋的解集为

f(x)>x1(B)∀

A．(－∞，2)B．(2，＋∞)

C．（－∞，2）D．（2，＋∞）

解析：设g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以g(x)在R上单调递增．又f(2)＝5，

所以g(2)＝f(2)－22＝1，不等式f(x)>x2＋1，即f(x)－x2>1，即g(x)>g(2)，所以x>2，即不等式

f(x)>x2＋1的解集为(2，＋∞).故选B.

(2)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f(0)＝0且f(x)＋f′(x)>0，则不等式f(x2

＋4x－5)>0的解集为(A)

A．(－∞，－5)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)

C．(－5，1)

D．(－1，5)

解析：设g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝e0f(0)

＝0，故f(x2＋4x－5)>0可转化为ex2＋4x－5f(x2＋4x－5)>0，即g(x2＋4x－5)>g(0).由g(x)在R

上单调递增可得x2＋4x－5>0，解得x<－5或x>1，即不等式f(x2＋4x－5)>0的解集为(－∞，

－5)∪(1，＋∞).故选A.

(3)设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sinx

πππ

－，0，π

－f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)<2f6sinx的解集为60∪6．

f(x)f′(x)sinx－f(x)cosx

解析：令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)，则g′(x)＝，∵当x∈(0，π)

sinxsin2x

时，f′(x)sinx－f(x)cosx<0，

∴在(0，π)上，g′(x)<0，∴函数g(x)在(0，π)上单调递减．∵y＝f(x)，y＝sinx均是奇函数，

∴函数g(x)是偶函数，∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增．当x∈(0，π)时，sinx>0，则不等

π

πf6π

式可化为f(x)，即，∴π；当∈－，时，，则

f(x)<2f6sinx<πg(x)<g6<x<πx(π0)sinx<0

sinxsin6

6

π－π

πf6f6－π

不等式可化为f(x)＝，即，

f(x)<2f6sinx>ππg(x)>g6

sinxsin－

6sin6

ππ

π－，0，π

∴－<x<0.综上，可得不等式的解集为6∪6.

6

考点2通过变量构造具体函数

1

【例4】已知x，y为正实数，lnx＋lny＝－x，则(C)

y

A．x＞yB．x＜y

C．x＋y＞1D．x＋y＜1

1111

【解析】由lnx＋lny＝－x，得lnx＋x＝－lny＋＝ln＋，构造函数f(x)＝lnx＋x，

yyyy

111

x>0，则f′(x)＝＋1>0，可知f(x)＝lnx＋x在(0，＋∞)上递增．结合lnx＋x＝ln＋，得x

xyy

1

＝，即xy＝1，因为x>0，y>0，由基本不等式可知x＋y≥2xy＝2，当且仅当x＝y＝1时等

y

号成立，所以x＋y>1.故选C.

若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，

即可构造函数，并利用函数的单调性求解．

【对点训练2】（2024·陕西安康模拟）若0<x1<x2<1，则(C)

A．＋lnx1>＋lnx2

B．＋lnx1<＋lnx2

C．x2>x1

D．x2<x1

111

解析：设f(x)＝ex－lnx，x>0，则f′(x)＝ex－，令h(x)＝ex－，x>0，则h′(x)＝ex＋>0

xxx2

1

11

恒成立，即f′(x)＝ex－在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f′e＝ee－e<0，f′(1)＝e－1>0，因

x

1

，1

此在区间e上必然存在唯一x0，使得f′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时f(x)单调递减，当x∈(x0，

exex(x－1)

1)时f(x)单调递增，故A，B均错误；令g(x)＝，则g′(x)＝，当0<x<1时，g′(x)<0，

xx2

∴g(x)在区间(0，1)上为减函数，∵0<x1<x2<1，∴，即x2>x1，故C正确，

D错误．故选C.

考点3通过数值构造具体函数

【例5】（2024·湖南益阳三模）若a＝2ln1.1，b＝0.21，c＝tan0.21，则(D)

A．b<c<aB．a<c<b

C．c<a<bD．a<b<c

π

【解析】a＝2ln1.1＝ln1.12＝ln(1＋0.21).设h(x)＝tanx－x，0<x<，则h′(x)＝

2

π

cosx·cosx－(－sinx)sinx10，

－1＝－1>0，所以h(x)＝tanx－x在2上单调递增，所以h(x)

cos2xcos2x

ππ1x

＝tanx－x>h(0)＝0，即tanx>x，0<x<.令f(x)＝x－ln(1＋x)，0<x<，则f′(x)＝1－＝>0，

221＋x1＋x

π

0，

所以f(x)＝x－ln(1＋x)在2上单调递增，所以f(x)＝x－ln(1＋x)>f(0)＝0，即x>ln(1＋x)，

ππ

0，0，

x∈2，所以tanx>x>ln(1＋x)，x∈2，从而当x＝0.21时，tan0.21>0.21>ln1.21，即

a<b<c.故选D.

当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或

两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．

6111

【对点训练3】已知a＝ln，b＝，c＝e7，则(A)

567

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>b>aD．c>a>b

1－x

解析：设f(x)＝lnx－x＋1，x∈(0，1)，则f′(x)＝>0，所以f(x)单调递增，又f(1)＝0，

x

515161

所以f(x)<0，即lnx<x－1，所以ln<－，所以－ln>，即ln>，所以a>b.设h(x)＝(1－

666656

1

x)ex，x∈(0，1)，则h′(x)＝－xex<0，所以h(x)单调递减，所以h(x)<h(0)＝1，即ex<，故

1－x

117111

7＝，即7，所以，所以故选

e<1e<b>ca>b>c.A.

1－676

7

课时作业19

1．（5分）已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)＝1，且对任意的x满足f′(x)<f(x)，

则不等式f(x)>ex的解集是(B)

A．(－∞，1)B．(－∞，0)

C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)

f(x)f′(x)ex－f(x)exf′(x)－f(x)

解析：令g(x)＝，则g′(x)＝＝<0，所以g(x)在R上单调递减．因

exe2xex

f(x)

为f(0)＝1，所以g(0)＝1，不等式f(x)>ex可变形为>1，即g(x)>g(0)，可得x<0.故选B.

ex

2．（5分）函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的

解集为(B)

A．(－1，1)B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)

解析：令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)为R上的增函数．又g(－1)＝

f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴f(x)＞2x＋4等价于g(x)＞g(－1)＝0，解得x＞－1.故选B.

3．（5分）已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(1)＝1，且x2f′(x)＋

1>0，则下列式子中一定成立的是(C)

11

A．f3>3B．fπ>π

C．f(log2e)>ln2D．f(ln3)<log3e

11

解析：因为当x>0时，x2f′(x)＋1>0，可得f′(x)＋>0，令g(x)＝f(x)－，可得g′(x)＝f′(x)

x2x

1

＋>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝1，可得g(1)＝f(1)－1＝0.对于A，由

x2

11111

g3<g(1)，即f3－3<0，可得f3<3，所以A不正确；对于B，由gπ<g(1)，即fπ－π<0，

1

可得fπ<π，所以B不正确；对于C，由g(log2e)>g(1)，即f(log2e)－ln2>0，可得f(log2e)>ln

1

2，所以C正确；对于D，由g(ln3)>g(1)，即f(ln3)－>0，可得f(ln3)>log3e，所以D不

ln3

正确．故选C.

f(x)

4．（5分）已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对于任意的实数x都有＝

f(－x)

1

f(1)f(ln2)ln

e2x，且x>0时，f′(x)>f(x).若a＝，b＝，c＝3f3，则a，b，c的大小关系是

e2

(C)

A．a>c>bB．a>b>c

C．c>a>bD．c>b>a

f(x)f(x)f(－x)f(x)

解析：令g(x)＝，对于任意的实数x都有＝e2x＝，即g(－x)＝g(x)g(x)

exf(－x)e－xex

为偶函数．a＝g(1)，b＝g(ln2)，c＝g(－ln3)＝g(ln3)，⇒当x>0时，f′(x)>f(x)，则g⇒′(x)＝

f′(x)－f(x)

>0，故当x>0时，g(x)为增函数．又0<ln2<1<ln3，∴g(ln3)>g(1)>g(ln2)，即c>a>b.

ex

故选C.

1

5．（5分）已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)－xf′(x)>0，则a＝f(2)，b

2

11

＝f(e)，c＝f(3)的大小关系为(B)

e3

A．b<a<cB．c<b<a

C．a<b<cD．c<a<b

f(x)xf′(x)－f(x)

解析：令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，因为f(x)－xf′(x)>0，所以g′(x)＝

xx2

xf′(x)－f(x)

<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为0<2<e<3，所以g(2)>g(e)>g(3)，所以

x2

f(2)f(e)f(3)

>>，所以a>b>c.故选B.

2e3

π

，1

6．（5分）若x∈6，a＝2x，b＝sinx，c＝x，则a，b，c的大小关系为(D)

A．c<a<bB．c<b<a

C．b<a<cD．b<c<a

解析：令f(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，则f′(x)＝1－cosx>0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，

ππ

，1，1

所以f(x)>f(0)＝0，即x>sinx在(0，1)上恒成立，则c>b在6上恒成立．又当x∈6时，

a＝2x>20＝1，c＝x<1，所以a>c>b.故选D.

1

7．（5分）若<a<b<1，则(C)

e

A．ba<bb<aa<abB．ba<aa<bb<ab

C．ab<aa<bb<baD．ab<bb<aa<ba

11

<a<111<b<1

解析：因为y＝axe在R上单调递减，且<a<b<1，所以ae>aa>ab>a.因为y＝bxe

e

1

11<x<1

在R上单调递减，且<a<b<1，所以be>ba>bb>b.令f(x)＝xlnxe，则f′(x)＝lnx＋1，因

e

1

1，11

为<x<1，所以f′(x)>0，所以f(x)在e上单调递增．因为<a<b<1，所以f(a)<f(b)，所以a

ee

lna<blnb，所以lnaa<lnbb，所以aa<bb，所以ab<aa<bb<ba.故选C.

1.03

8．（5分）设a＝1＋ln1.03，b＝，c＝1.03，则(B)

e0.03

A．a<b<cB．b<a<c

C．c<b<aD．c<a<b

1－x

解析：设g(x)＝ln(x＋1)－x(x>0)，则g′(x)＝－1＝，当x>0时，g′(x)<0，即g(x)

x＋1x＋1

在(0，＋∞)上单调递减，故g(x)<g(0)＝0，故ln(x＋1)<x，所以ln1.03<0.03，所以1＋ln1.03<1

1.031＋x

＋0.03，即a<c.因为e0.03>1，所以<1.03，即b<c.构造函数f(x)＝1＋ln(1＋x)－，则f′(x)

e0.03ex

1x

＝＋，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(0.03)>f(0)＝0，即a>b.故选B.

1＋xex

9．（6分）（多选）已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均是(0，＋∞)，x＝2是f(x)的

唯一零点，且(x＋1)f′(x)<f(x)，则(AB)

A．2025f(2023)>2024f(2024)

B．f(1)>0

C．2026f(2024)<2025f(2025)

D．f(3)>0

f(x)(x＋1)f′(x)－f(x)

解析：令F(x)＝，则F′(x)＝，由题意知(x＋1)f′(x)<f(x)，所以F′(x)<0，

x＋1(x＋1)2

f(2023)f(2024)f(2024)f(2025)

即F(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以>，>，故A正确，C错误．又

2024202520252026

f(1)

x＝2是f(x)的唯一零点，所以F(2)＝0，又F(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以F(1)＝>0，

2

f(3)

F(3)＝<0，即f(1)>0，f(3)<0，故B正确，D错误．故选AB.

4

π

0，

10．（6分）（多选）奇函数f(x)满足对于任意x∈2，有f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，其中

f′(x)为f(x)的导函数，则下列不等式成立的是(ABC)

－ππ

A．－3f3<2f2

ππ

B．3f3>f6

π－π

C．2f4>－f6

－ππ

D．－2f4>2f2

π

0，

解析：设g(x)＝f(x)sinx，则g′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，所以函数g(x)在2上单调

－π

递增，且g(－x)＝f(－x)·sin(－x)＝f(x)sinx＝g(x)，所以函数g(x)是偶函数，则g3＝

ππππππππππ

－－π－

g3<g2，即f3sin3<f2sin，即－3f3<2f2，故A正确；g3>g6，即f3sin

2

πππππππππ

ππ－π－－

>f6sin，所以3f3>f6，故B正确；g6＝g6<g4，即f4sin>f6sin6，

364

ππππππππ

－－－－π

即2f4>－f6，故C正确；g4＝g4<g2，即f4sin4<f2sin，即－

2

－ππ

2f4<2f2，故D错误．故选ABC.

11．（6分）（多选）已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x，都满足f(x)<xf′(x)<2f(x)

－2x，则下列结论正确的是(BCD)

1

1

A．f(1)<2f2B．f(1)<f(2)

2

1

1

C．f(1)<4f2－2D．f(1)>f(2)＋1

4

f(x)xf′(x)－f(x)

解析：设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由

xx2

11

1f(x)－2x

g(1)>g2得f(1)>2f2，故A错误；由g(1)<g(2)得f(1)<f(2)，故B正确；设h(x)＝(x>0)，

2x2

[f′(x)－2]·x2－[f(x)－2x]·2xxf′(x)－[2f(x)－2x]

则h′(x)＝＝<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，

x4x3

11

1

由h(1)<h2得f(1)<4f2－2，故C正确；由h(1)>h(2)得f(1)>f(2)＋1，故D正确．故选BCD.

4

12．（5分）已知奇函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f(2)＝3，当x>0时，xf′(x)

＋f(x)>0，则使不等式xf(x)>6成立的x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

解析：因为当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，所以[xf(x)]′>0，令F(x)＝xf(x)，则F′(x)>0，F(x)在

(0，＋∞)上单调递增．因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以F(－x)＝

(－x)f(－x)＝－x[－f(x)]＝xf(x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，图象关于y轴对称．因为f(2)

＝3，所以F(2)＝2f(2)＝6，所以F(－2)＝6，大致图象如图．

所以使xf(x)>6成立的x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞).

11

13．（5分）（2024·广东东莞三模）若a＝2，b＝ee，c＝ππ，则a，b，c的大小关系为

a<c<b．

111lnx1－lnx

解析：lna＝ln2＝ln2，lnb＝lne，lnc＝lnπ.令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，

2eπxx2

由f′(x)>0，得0<x<e，由f′(x)<0，得x>e，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，

11111

∴lnb＝lne是f(x)的最大值，而lna－lnc＝ln2－lnπ＝ln4－lnπ<0，∴a<c，则a<c<b.

e2π4π

－π，π

14．（22分）已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为22，且f(x)为偶函数，若

π