【课件】第2课时 菱形的判定定理2 2025-2026学年华东师大版 数学八年级下册

18.2.2第2课时

菱形的判定定理21.理解菱形的判定定理2，能初步综合应用菱形的性质与判定定理解决相关的计算与证明问题．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质定理1菱形的四条边都相等.性质定理2菱形的两条对角线互相垂直.?菱形有哪些特殊性质？如何判定图形是菱形？可以用来判定菱形菱形的判定定理1如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.平行四边形转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形？试一试:作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.1.作2条互相垂直的直线m、n，记交点为点O；2.以点O为圆心、适当长为半径作弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；3.以点O为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；4.顺次连结所得的四点.ABCDmnO它是菱形吗，怎么证明？已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与

BD相交于点O，AC⊥BD.求证：平行四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，又∵AC⊥BD,∴BD

所在直线是线段AC

的垂直平分线，∴AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形.（菱形的定义）AOCBD菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言：∵在□

ABCD中，AC⊥

BD，∴四边形ABCD

是菱形.AOCBD思考：若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形.例题：如图，已知矩形ABCD

的对角线AC

的垂直平分线与边AD、BC

分别交于点E、F.求证：四边形AFCE

是菱形.2ABCDFEO1要证四边形AFCE是菱形已知条件可知EF⊥AC只需要证明四边形AFCE是平行四边形又知EF垂直平分AC所以只需证明OE=OF证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠1=∠2.∵EF平分AC，在△AOE

和△COF

中，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形.)∴AE∥FC，∴OA=OC.∵∠1=∠2，OA=OC，∠AOE=∠COF，如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．解：(1)∵DE∥BC，且2DE＝BC，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；

四条边都相等菱形一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相平分一组对边平行且相等两组对边分别平行或相等四边形平行四边形两组对角分别相等1.如图，在四边形ABCD

中，对角线AC

与BD互相垂直平分，AB

＝3，则四边形ABCD

的周长为()A.6 B.

9 C.12 D.18AOCBDCABCDOE2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．3.如图，□ABCD

的对角线AC、BD

相交于点O，AB

＝5，OA

＝4，OB

＝3.求证:四边形ABCD

是菱形．证明:∵AB

＝5，OA

＝4，OB

＝3，∴OA2

+OB2＝42+32＝25＝52＝AB2，∴△AOB

是直角三角形，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD．又∵四边形ABCD

是平行四边形,∴四边形ABCD

是菱形．AOCBD4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.ADOEM证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO（ASA）．∴AD=CE，OD=OE，∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．给定一条线段AC，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使AC

为该菱形的一条对角线？试试看.提示:作线段AC的垂直平分线，并以垂足为圆心，任意长为半径交垂直平分线于B，D两点，连结AB、CB、AD、CD即可.ACODB【选自教材练习第1题】2.如图，过□ABCD的对角线的交点O，作互相垂直的两条直线EG、FH，与□ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠GBO＝∠EDO.又∵∠BOG

＝∠DOE，∴△BOG≌△DOE，∴OG＝OE.同理可证△BOF≌△DOH，∴OF＝OH，∴四边形EFGH

是平行四边形.又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH

是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).ABCDEFGHO【选自教材练习第2题】