【课件】第1课时 矩形的判定课件 2025-2026学年华东师大版+数学八年级下册

什么是矩形？它有哪些特殊性质？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形1.角：2.对角线：四个角都是直角对角线相等类比平行四边形，矩形的这些性质对判定矩形会有什么帮助呢？它能判定一个四边形是矩形18.1.2第1课时

矩形的判定1.理解并掌握矩形的判定定理，能应用其解决证明和计算问题.探究一：矩形的判定活动：请写出矩形两条性质的逆命题并尝试判断它的真假.逆命题1：如果一个四边形的四个角都是直角，那么它是矩形.”成立矩形1.角：2.对角线：四个角都是直角对角线相等逆命题2：“如果一个四边形的对角线相等,那么它是矩形.”不一定，等腰梯形的对角线也相等.思考交流：（1）条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？试一试：作一个三个角都是直角的四边形.猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.如何证明？作法：1.任意作两条互相垂直的线段AB、AD；2.过点B作垂直于AB的直线l；3.过点D作垂直于AD的直线m，与直线l相交于点C.四边形ABCD即为所要求作的四边形.ABDClm已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证一证证明:∵∠A=∠B=∠D=90°,∴∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.DABC已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°.求证：四边形ABCD是矩形.画一画，你发现有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)所以至少有三个角是直角的四边形才是矩形矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.ABCD思考交流：（2）需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.试一试：作一个对角线相等的平行四边形.作法：1.任意作两条相交的直线，交点记为O；OABCD2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；3.顺次连结所得的四点.四边形ABCD

的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形.如何证明呢？已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,

AC=DB.求证：□ABCD是矩形.ABCD证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB,

∴△ABC≌△DCB,

∴∠ABC=∠DCB.

∵AB∥CD,

∴∠ABC+∠DCB=180°,

∴∠ABC=90°,

∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.证一证矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.ABCD1.如图，∠AOB

是一个直角，任意一点P

到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______．122.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）DABCD例1如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.BCDEFGHOA证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.探究二：矩形判定定理的应用思路：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证.例2如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD

和BCD

组成的，M、N

分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN

是矩形.ABCDMN分析：由已知条件，可知BN⊥

AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB=∠CDB=60°.又∵M、N分别为BC、AD的中点，

∴∠DNB=∠DMB=90°,∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°.∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形.例3如图，在△ABC中，AB=AC，AD

⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE//AB，交AG

于点E.求证：四边形ADCE

是矩形.分析：根据已知条件AB=AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=AB=AC.因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.ABCDEGF证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠ACB，BD=DC.又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，

又∵DE//AB，∴AE//BC.∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD，AB=DE.∴AC=DE，AE=DC.∴四边形ADCE是平行四边形.∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.要获取足够证明一个四边形为矩形的条件,往往需要结合图形中的其他条件,进行相关的推理.应根据已知条件,猜测最可能获取到的条件,从而选择合适的判定方法.3.如图，△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，AD，AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，BE⊥AE于点E.(1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB与DE是否相等，并说明理由．

(2)AB＝DE.

理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，

∵BE⊥AE，DA⊥AE，∴∠ADB＝∠BEA＝∠DAE＝90°，

∴四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4,∠BAC=60°.∴AC=BD=2OA=2×4=8.ABCDO4.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O

，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

∴BC= .∴S□ABCD=AB·BC=4×=有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明矩形的判定定义判定定理DEFMNQPABC1.如图，直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的平分线，则四边形ABCD是（）

A.梯形 B.平行四边形

C.矩形 D.不能确定C2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．ABCD3.如图，在▱ABCD

中，过点B作BE

⊥CD于点E，点F

在边AB上，AF＝CE，连结DF、CF.(1)求证:四边形DFBE是矩形；(2)当CF平分∠DCB

时，若CE

＝3，BE

＝4，求CD的长.ABCDEF(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD，AB＝CD.∵AF＝CE，∴AB－AF

＝CD－CE，即BF

＝DE，∴四边形

DFBE

是平行四边形.∵BE⊥CD，∴