第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用

第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系1.若直线y=kx+2与椭圆x2A.62.椭圆x2a2A.±1B.±23.(2022陕西师范大学附属中学月考)若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x25+题组二直线与椭圆的相交弦问题4.(2022重庆七中期中)直线y=x+1被椭圆x2A.2C.-5.(2022广东深圳期中)过原点的直线l与曲线C:x23+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于A.336.(2022河南焦作重点高中期中)经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OBA.-3B.-137.过椭圆x28.(2021江西南昌二中月考)在平面直角坐标系中,已知动点P到定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为22.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)若直线l:y=x+t与曲线C交于A,B两点,|AB|=42题组三直线与椭圆位置关系的综合运用9.P为椭圆x216+y215=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y10.已知椭圆C:x24+y211.已知椭圆C:x2(1)求椭圆C的离心率和直线AB的方程;(2)若以AE为直径的圆经过点B,求点E的坐标.12.已知△PAB的两个顶点A,B的坐标分别是(0,2),(0,-2),且直线PA,PB的斜率之积是-2,设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程;(2)设C,D,E是曲线H上异于A,B且互异的三个点,且AC,AD关于y轴对称,AC⊥AE.求证:直线DE过定点.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题1.(多选)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+32.(2022天津英华中学期中)已知椭圆H:x24+y23=1,三角形ABC的三个顶点都在椭圆H上,设边AB,BC,AC的中点分别为D,E,M,三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1,k2,k3.(2022黑龙江绥化一中期中)已知圆锥曲线E上的点M的坐标(x,y)满足(x(1)说明E是什么图形,并写出其标准方程;(2)若斜率为1的直线l与E交于y轴右侧不同的两点A,B,点P(2,1).①求直线l在y轴上的截距的取值范围;②求证:∠APB的平分线总垂直于x轴.题组二直线与椭圆位置关系的综合运用4.(2022浙江A9协作体期中)若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有公共点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x2A.0B.1C.2D.不确定5.(2021江西上饶月考)已知椭圆C:x2A.[-2,-1]B.-C.-6.(2021江苏泰州中学期初检测)如图,椭圆C:x24+y2=1的右顶点为A,上顶点为B,动直线l交椭圆C于M,N两点,且始终满足OM⊥ON,作OH⊥MN交MN于点H,则HA·A.[3-23C.-7.(多选)(2022江苏宿迁期中)已知椭圆C:x24+y2A.四边形AF1BF2为平行四边形B.∠F1PF2<90°C.直线BE的斜率为12D.∠PAB>90°8.(2022河北九师联盟期中)已知椭圆E:x24+y2=1,P为E的长轴上任意一点,过点P作斜率为12的直线l,与E交于M,N两点,则|PM|2+|PN|29.(2022江苏姜堰中学期中)2021年4月29日11时22分,天和号核心舱成功发射,标志着中国天宫空间站正式开建.返回舱是宇航员从太空返回地球的座舱,返回舱内空间越大宇航员越舒适.若返回舱的轴截面曲线是由半椭圆y28+x24=1(y>0)和圆弧x2+(y-2)10.(2021江西宜春期中)已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的方程;(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1(k≠0)对称的两点,求实数k的取值范围.11.(2022江苏南通期中)已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)A1,A2为椭圆的左、右顶点,B为椭圆的上顶点,设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.

答案全解全析基础过关练1.C由y=kx+2,x由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±632.C因为椭圆的离心率为33,所以ca=33,即c=33a,所以c2=13a2=a2-b2,所以b2=23a2.易知直线与椭圆的交点的纵坐标为kb,则交点坐标为(b,kb),代入椭圆方程得b2a2+k2b3.答案1≤m<5解析由题意得0<m<5.因为直线y=kx+1过定点(0,1),设为P,且直线与椭圆x25+所以点P在椭圆上或在椭圆的内部,即025+所以1≤m<5.4.C由y=x+1,x24+y22=1,消去y并整理,得3x2∴x1+x2=-43,x0=x1+x22=-23∴中点坐标为-25.D设直线l的方程为y=kx(k≠0),直线l与曲线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2).由x23+y2则x1+x2=0,x1x2=-31+3所以|AB|=1+k2·(x1+6.B由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,则c2=a2-b不妨设直线l过右焦点,因为l的倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-1.代入x22+y2=1中,得x2+2(x-1)2-2=0,即3x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=0,x1+x2=43,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1x2)+1=-43+1=-1所以OA·OB=x1x2+y1y2=0-13=-17.解析由题意知,右焦点的坐标为(1,0),又直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与x25+y2设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1设原点到直线的距离为d,则d=|-2|(-所以S△OAB=12|AB|·d=12×553×8.解析(1)因为|PF1|+|PF2|=22>|F1F2|=2,所以动点P的轨迹为椭圆,且长轴长2a=22,焦点坐标为(-1,0),(1,0),所以a=2,c=1,又因为a2=b2+c2,所以b2=1,所以轨迹C的方程为x22+y(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由x22+y2=1,y=x+t,消去y并整理,得3x2+4tx+2t2Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-3<t<3.所以|AB|=1+12·(x1+x29.解析圆N:(x-1)2+y2=4的圆心为N(1,0),半径为2.设点P(x,y),则y2=15-1516x2易知PE=PN+NE,PF=PN+NF=PN-NE,所以PE·PF=(PN+NE)·(PN-NE)=PN2-NE2=(x-1)2+y2-4=x1+15-1516x2-4=116x2-2x+12=116(x-16)2-4,所以当x=-4时,PE方法点睛解决圆锥曲线中的最值问题的方法一是几何法,一般是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.10.解析由题意得,直线l的斜率存在且不为0.易知F(1,0),∴设直线l的方程为x=ty+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得-y1=2y2.由x24+y2∴y1+y2=-6t3∴-26t3t2+4∴直线l的方程为y=±5211.解析(1)由题可得a=4,b=2,c=23,则A(4,0),B(0,2),椭圆的离心率e=ca=3∴直线AB的方程为x4+y(2)设E(x0,y0),y0≠0且y0≠2.由题意可知AB⊥BE,即kAB×kBE=-1.结合(1)得-12×y0-2x∵E是椭圆C上的点,∴x0216由x0216+y024=1,2x0=y0-所以E-3212.解析(1)设P(x,y),x≠0,由已知得kPA=y-2x,kPB则y-2x·y+2x所以曲线H的方程为x22+(2)证明:由于C,D,E是曲线H上异于A,B且互异的三个点,所以直线AC,AD,AE的斜率都存在.由已知得,kAD+kAC=0设直线DE的方程为y=kx+m(m≠2),D(x1,kx1+m),E(x2,kx2+m),将y=kx+m代入x22+y24=1(x≠0)中,消去y并整理,得因此x1+x2=-2kmk2+2,x1由kADkAE=1,得(kx1+m-2)(kx2+m-2)=x1x2,化简并整理,得(m-2)(m-6)=0,解得m=2(舍去)或m=6,所以直线DE恒过点(0,6).能力提升练1.ACD直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.2.答案-4解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(s1,t1),E(s2,t2),M(s3,t3).因为A,B在椭圆上,所以x124+y12两式相减得k1=y1-y2x1-x2即1k1=-4t13s1,同理,可得1所以1k1+1k2+因为直线OD,OE,OM的斜率之和为1,所以1k1+1k2+1k3.解析(1)圆锥曲线E是以(-3,0),(3,0)为焦点,26为长轴长的椭圆,其标准方程为x26+(2)设直线l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由x26+y2①由题意有Δ解得-3<m<-3,所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(-3,-3).②证明:若直线l过点P,即点A(或点B)与P重合,则l与E的另一个交点为-2若AP或BP的斜率不存在,则直线l过点(2,-1),此时l与E只有一个交点,所以AP与BP的斜率都存在.设直线AP的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,由A,B在y轴右侧,结合图形(图略)可知,要证∠APB的平分线总垂直于x轴,只要证k1+k2=0.因为k1=y1-1x1所以k1+k2=(=(=2x故∠APB的平分线总垂直于x轴.4.C因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有公共点,所以圆心(0,0)到直线mx+ny-9=0的距离d=|-9|m2+n2>3,即m2+n2<9,故点P(m,n)在圆x2+y2=9内.因为圆x2+y2=9在椭圆x216+y5.D依题意得A(-22,0),B(22,0).设P(x0,y0),则x028+y026=1,即易知kPA=y0x0+22所以kPA·kPB=y0x0+22·y则kPA=-34·1又1≤kPA≤2,所以1≤-34·1故-34≤kPB≤-36.C直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b,与椭圆方程联立,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8kb1+4k2,x1x因为OM⊥ON,所以OM·ON=0,所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,即(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,所以5b2=4k2+4,所以|OH|2=|b|1+k22=所以点H在圆O:x2+y2=45连接AB,记线段AB的中点为D,连接HD,OD,易知|AB|=5,则HA·HB=|HD|2-|AD|2=|HD|2-54在Rt△AOB中,|OD|=12|AB|=5又易知直线AB与圆O:x2+y2=45所以|HD|∈52-255,52+255=510,9故选C.7.ABC由椭圆的对称性知,四边形AF1BF2是平行四边形,故A正确;∵a2=4,b2=2,∴c2=2,∴∠F1AF2<90°,∴∠F1PF2<∠F1AF2<90°,故B正确;由x24不妨设k>0,结合图形,则A21+2B-21+2k∴kBE=2k1+2k取k=2,则A23,43,B∴直线BE的方程为y=x-23,与椭圆方程联立,得P149,89,∴AP=8∴AP·AB=-3227+328.答案5解析设P(m,0)(-2≤m≤2),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线l的方程为y=12将直线方程代入椭圆方程并化简得到2x2-2mx+m2-4=0,所以x1+x2=m,x1x2=m2所以|PM|2+|PN|2=(x1-m)2=54[(x1+x2)2-2m(x1+x=54[m2-2m2-(m2-4)+2m29.答案64解析根据题意得F(0,2),A(-2,0),B(2,0),圆x2+(y-2)2=8的圆心为F(0,2),半径r=22.设CE所在直线的方程为y=kx+2,k>0,C(x1,y1),E(x2,y2),所以x1>0,-2≤x2<0,连接AF,则k=kEF≥kAF=1.梯形CDEG的面积S=12(2x1-2x2)(y1-y2)=(x1-x2)(y1-y2)=k(x1-x2)2因为|CE|=1+k2|x1-x所以|CE|2=(1+k2)(x所以梯形CDEG的面积S=k1+k2|CE|2=1由椭圆的焦半径公式得|CF|=22-22y1所以|CE|=|CF|+|EF|=42-22y1当k=1时,y1有最小值,此时|CE|有最大值.又因为1k+k≥21k·k=2,当且仅当k=1时,等号成立,所以