1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示

.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示基础过关练题组一空间向量的坐标表示1.(多选)(2022黑龙江齐齐哈尔八中期中)下列命题正确的是()A.点(1,-2,3)关于平面Ozx的对称点为(1,2,3)B.点12,C.点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1D.设i,j,k分别是x,y,z轴上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)2.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)已知点A(1,1,-3),B(3,1,-1),则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为()A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)3.如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是.

题组二空间向量运算的坐标表示4.(2021辽宁辽阳检测)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=()A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4)C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)5.(2022河北任丘第一中学月考)设O为坐标原点,M(5,-1,2),A(4,2,-1),若OM=AB,则点B的坐标为()A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)6.(2022河北石家庄第四中学月考)已知点A,B,C,D的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四点共面,则x=.

7.(2021天津静海检测)若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)·2b=.

题组三利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题8.(2020浙江台州期末)已知A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点在同一条直线上,那么()A.a=3,b=-3B.a=6,b=-1C.a=3,b=2D.a=-2,b=19.(多选)(2022河北部分名校期中)已知a=(1,-1,1)是直线l1的一个方向向量,b=(2,2,-2)是直线l2的一个方向向量,则下列说法不正确的是()A.a·b=(2,-2,-2)B.l1∥l2C.l1⊥l2D.直线l1,l2夹角的余弦值为110.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k=()A.10C.2511.已知OA=(1,2,3),OB=(2,λ,3),OC=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是()A.412.(2022天津河东期中)已知AB=(-2,3,5),AC=(4,1,a),AD=(6,b,-2).(1)若四边形ABCD为平行四边形,求实数a,b的值;(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.题组四利用空间向量的坐标运算求夹角和模13.(2022河北沧州东光第一中学月考)已知向量a=(1,2,3),|c|=14,若a·c=-7,则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°14.若△ABC的三个顶点分别为A(0,0,2C(-1,0,2),则角A的大小为15.(2022重庆万州第二高级中学月考)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|=.

16.已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;(2)若AD=(2,a,1),且AB·AD=1,求a的值,并求此时向量AB与17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求正三棱柱的侧棱长;(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.能力提升练题组一空间向量的坐标运算1.(2021山东师范大学附属中学月考)已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a上的投影向量为()A.-C.-2.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考)已知O为坐标原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为()A.1C.43.(2022河南濮阳范县一中月考)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成角为锐角,则实数k的取值范围为.

题组二空间向量的平行和垂直问题4.(2022福建A佳大联考)已知空间向量m=(-1,x,2),n=(1,3,y)(x>0,y>0),若m⊥n,则xy的最大值是()A.6C.15.(2021江西新余一中、宜春一中联考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是()A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直6.(2022广东东莞四中期中)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,N为侧面DCC1D1内的动点(包括边界),若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D的体积的最小值为()A.17.(多选)(2020海南海口海南中学月考)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是()A.VP-AA1C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D题组三空间向量的夹角和模问题8.(2022河南中原名校联考)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为()A.1C.39.(2020四川内江三模)如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D为半圆弧的中点,若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23A.16+8πB.32+16πC.32+8πD.16+16π10.(2022山东省实验中学月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1A.5C.211.(2020山西太原第五中学月考)如图,以棱长为1的正方体的三条共顶点的棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.答案全解全析基础过关练1.ABD根据“关于谁对称谁不变”知A,B正确;(2,-1,3)到平面Oyz的距离为2,∴C错误;根据空间向量坐标的定义,知D正确.2.A由题意得M(2,1,-2),∴点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(-2,1,-2).故选A.3.答案a解析由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).由重心坐标公式得点G的坐标为a34.C因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.5.B设B(x,y,z),由OM=AB得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),∴x-4=5,6.答案3解析由A,B,C,D四点共面,知∃λ,μ∈R,使得AB=λAC+μAD,又AB=(1,1,1),AC=(1,2,-1),AD=(x,4,1),故λ+xμ7.答案-2解析易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.8.C易得AB=(1,-1,3),AC=(a-1,-2,b+4),∵AB与AC共线,∴AC=λAB,∴(a-1,-2,b+4)=(λ,-λ,3λ),∴a-1=λ9.ABCa·b=1×2+(-1)×2+1×(-2)=-2,所以A中说法不正确;设a=λb,则(1,-1,1)=λ(2,2,-2),即1=2λ因为a·b=-2≠0,所以l1与l2不垂直,所以C中说法不正确;|cos<a,b>|=23×23故选ABC.10.D由题意得CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k).∵∠C=90°,∴CB·CA=-6×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,∴k=±10.故选D.11.D易得AB=(1,λ-2,0),AC=(3,0,k-3).若OA⊥平面ABC,则OA⊥AB,OA⊥AC,即OA·AB=1+2(λ-2)=0,OA·AC=3+3(k-3)=0,所以λ=32,k=2,故λ+k=712.解析(1)因为AB=(-2,3,5),AC=(4,1,a),且-24≠31,所以AB由四边形ABCD为平行四边形,知AC=AB+AD,所以(4,1,a)=(-2,3,5)+(6,b,-2),所以a=3,b=-2.(2)由题意得BD=AD-AB=(8,b-3,-7).因为四边形ABCD的对角线互相垂直,所以BD·AC=0,即32+b-3-7a=0,亦即7a-b-29=0.13.C|a|=12+22+32所以<a,c>=120°.14.答案30°解析由题意知AB=-32,12,0,AC=(-1,0,0),所以|AB|=1,|AC15.答案77解析设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).由AP=2PB,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),∴x=-13,y=83,z=3,∴P故PD=43,-53,-16.解析(1)由题意得D(1,2,1),∴AD=(1,1,-1),∴|AD|=1+1+1=3,即线段AD的长为3.(2)易知AB=(1,-2,1),∴AB·AD=2-2a+1=1,解得a=1,∴AD=(2,1,1).∴cos<AB,AD>=AB·AD|AB||即向量AB与AD夹角的余弦值为1617.解析(1)设正三棱柱的侧棱长为h.由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),则AB1=(3,1,h),BC1=(-3,1,h).因为AB1⊥BC1,所以AB1·BC(2)由(1)可知AB1=(3,1,2),BC=(-所以AB1·BC=-3+1=-2,|AB1|=所以cos<AB1,BC>=-2所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为66能力提升练1.B∵a=(1,2,2),b=(-2,1,1),∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2,向量a方向上的单位向量e=a|a|∴向量b在a上的投影向量为a·b|a|2.C因为点Q在直线OP上运动,所以OQ∥OP.设OQ=tOP,则Q(t,t,2t),所以QA=(1-t,2-t,3-2t),QB=(2-t,1-t,2-2t),所以QA·QB=(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t)=6t2-16t+10=6t-432-23,故当t=43时,3.答案k解析易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线,∴1-k+2+4k>0,且1-k1=1解得k>-1且k≠12∴实数k的取值范围为k|k4.D由题意得m⊥n=-1×1+3x+2y=0,即3x+2y=1.因为x>0,y>0,所以1=3x+2y≥23x×2y,解得xy≤124,当且仅当3x=2y=125.C建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),∴NO=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1).∵NO·AM=0,∴直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C.6.B以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),C(0,1,0),M12设N(0,a,b),0≤a≤1,0≤b≤1,∴A1C=(-1,1,-1),MN=∵MN⊥A1C,∴MN·A1C=12+a-1-b=0,即a-b=12,∴b=a-易知点N到平面AA1D的距离为其纵坐标的绝对值,∴VN-AA1D=∴112≤VN-7.BD∵P在侧面BCC1B1上运动,平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离,即为正方体的棱长,∴VP-AA1D=13以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴AP=(x-1,1,z),BD1=(-1,-1,1),∵AP⊥BD1,∴AP·BD∴P(x,1,x),∴CP=(x,0,x),∴CP=-xB1C,即B1,P,C三点共线,∴P必在线段B易知C1(0,1,1),∴BC1=(-1,0,1),又∴AP·BC1=1-x+x=1,∴AP与BC易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴A1C1=(-1,1,0),DA1=(1,0,1),又AP=(x-1,1,x),∴AP=xDA1+A1C1(其中0≤x≤1),∴AP,DA1,A8.B取AC的中点O,连接OP,OB.∵PA=PC,∴AC⊥OP.∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴OP⊥平面ABC.∵AB=BC,∴AC⊥OB.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC为