山东省淄博市2026届高三下学期教学质量阶段性检测（二模）数学试卷（含答案）

山东淄博市2025—2026学年度高三教学质量阶段性检测数学一、单选题1．已知，，则集合的子集个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．展开式中的系数为（

）A．56 B．42 C．84 D．1205．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（

）A．2 B． C．2或 D．或6．曲线在处的切线如图所示，则＝（

）

A．0 B．2 C．－2 D．－17．在2019年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：）（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒8．记为数列的前n项和，若，，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．10．已知抛物线C：的焦点在直线l：上，直线l与抛物线交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足分别是，则下列说法中正确的是（

）A．以线段为直径的圆与y轴相切 B．的最小值为C． D．若向量，则11．如图，在棱长为的正方体中，点、分别是直线、上的动点，是正方形内动点（包含边界），与相交于，记直线与所成角为，若的最小值为，则下列说法中正确的是（

）A．的轨迹是双曲线的一部分 B．的轨迹是椭圆的一部分C．四棱锥体积最大值为 D．的轨迹长度为三、填空题12．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则__________.13．椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．14．已知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次，则3次所得数字之积能被10整除的概率为__________.四、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.(1)求C；(2)若，求△ABC的面积.16．下图是某校高一学生“运动与健康”评价得分的频率分布直方图，评分在区间，，，上，分别对应A，B，C，D四个等级.为了进一步加强学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变；对其余学生学校将进行一次复评.复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级；原获D等级的学生有的概率提升为C等级，未提升等级的保持等级不变.假设用频率估计概率，且每名学生复评结果相互独立.(1)求该校高一学生“运动与健康”评价得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)从全体高一学生中任选1人，在已知该学生是复评提升等级的条件下，求该学生初评是B等级的概率.17．如图，在等腰梯形ABCD中，，，E是AD的中点.现将△ABE沿BE翻折至△PBE，此时，三棱锥的体积首次达到.(1)求证：；(2)若点G在线段PC上且，求GD与平面PBE所成角的正弦值.18．如图，在正四棱柱中，，，将直线绕直线AD旋转一周，旋转后所得的图形与平面ABCD的交线为.(1)E为上靠近的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长；(2)在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.（ⅰ）求的轨迹方程；（ⅱ）为平面ABCD内且不在上的定点，过P的直线l与有2个交点M、N，若M、N在直线AD的两侧，求的最小值（用m，n表示）.19．已知函数，，a，.(1)当时，若函数有一个零点，求b的取值范围；(2)当，且时，令，设是从小到大的第n个极值点，证明：数列是等比数列；(3)当且时，令，且，有唯一的正零点，证明：.参考答案1．C【详解】因为，所以，进而的子集个数为.2．B【详解】对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误；对于B，若，，则，因此B正确；对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误；对于D，若，，也可能满足，所以D错误.3．A【详解】因为，由，根据传递性可知，因此“”能推出“”，因此充分性成立；不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．B【详解】二项式展开式的通项公式为，因此展开式中含的项为，所以展开式中的系数为42.故选：B5．C【详解】向量，不共线，且，，与共线，所以存在实数，使得，所以，求得实数或．故选：C．6．C【详解】设曲线在处的切线方程为，则解得所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1，所以，因此，．故选：C.7．B【详解】设所需时间为t秒，则，则，即，秒.故选：B．8．D【详解】当为奇数时，，，则可化为，因为，所以，当为偶数时，，，则可化为，因为，所以的偶数项是首项为，公比为的等比数列，所以．9．AC【详解】由题意得，，则，故A正确；，，故不一定相等，故B错误；，故C正确；，故D错误.10．BCD【详解】抛物线C：的焦点坐标为，又因为焦点在直线l：上，代入得，即，所以抛物线方程为，焦点，准线为.设根据抛物线的定义可知，故半径为，以线段为直径的圆的圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，故A错误；联立消元得：，故，由抛物线的定义可知，由抛物线的方程可知，即，因为点在第一象限所以，所以由基本不等式可知，当且仅当即时取等号，故B正确；,则，，所以，故C正确；若向量，则，故，又因为解得易知点在第四象限，所以，，所以，故D正确.11．BCD【详解】因为点在直线上，点在直线上，且，所以直线可以看作平面内任意一条不与平行的直线（当间的距离趋于无穷远时，方向趋近于与平行），直线与所成角的最小值即为直线与平面所成的角，因为平面，所以直线与平面所成的角即为，于是有，已知，可得，即点到定点的距离为定值，又因为点在正方形内部，因此的轨迹是以为圆心，为半径，在正方形内部的四分之一圆弧，轨迹长度为，A错误，D正确；由前述分析可知，的轨迹是四分之一圆，则形成的曲面是一个以为高，为母线的四分之一圆锥面，点是与的交点，则的轨迹即为平面截圆锥面得到的曲线，显然为正三棱锥，取中点，连接，则在底面上的投影为底面的中心即在中线上，所以与平面所成的角为，，可得，而圆锥面半顶角为，所以平面截圆锥面得到的曲线为椭圆，因为的轨迹是圆的一部分，所以的轨迹是椭圆的一部分，B正确；以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，因为在上，所以可设，那么有，，同时根据在平面上可得，于是有，解得，则的坐标也即到底面的高，因为，由柯西不等式可得，即，所以，进而有四棱锥体积最大值为，C正确.12．【详解】设，根据题意得，解得.则.13．/【详解】依题意可得，，将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内，由椭圆的定义可知，即，所以，所以的最小值为．14．【详解】根据题意，每次投掷得到情形A：掷出5点，情形B：掷出偶数点，情形C：掷出3或7点的概率分别为，于是3次投掷均没有5的概率为，3次投掷均没有偶数的概率为，3次投掷既没有5也没有偶数的概率为，因此根据容斥原理，3次投掷既有5也有偶数的概率为.15．(1)(2)【详解】（1）由，得，则，因为，所以，所以或或，故，由，得；（2）由以及正弦定理得，由，得，由余弦定理得，得，故△ABC的面积为16．(1)(2)分布列见解析，.(3)【详解】（1）根据频率分布直方图，各组组距为，则平均值.（2）甲初评，不升级为的概率为；乙、丙初评，升级为的概率均为，不升级的概率为.的所有可能取值为.，，，.分布列如下：因此.（3）设事件：学生复评提升等级，事件分别为初评等级为，由条件概率公式.，，，各等级提升概率，，..由全概率公式，因此.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为为中点，所以，则为等边三角形，则.又且，故是平行四边形，因此，取中点，连接，为等边三角形，故，.在中，，，，由余弦定理得，满足，故.由，，平面，得平面，又平面，故，又，因此.（2）三棱锥的体积，解得.以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，平面为平面，则.在上，令，则的坐标为.由得，即，化简得，故.向量.设平面的法向量，，则，解得法向量，.设与平面所成角为，则.18．(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）（ⅰ）点绕直线旋转一周所得图形为圆，过作，垂足为；过作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，平面，所以平面.因为平面，所以，即到的距离为.而，所以.所以绕直线AD旋转一周后所得图形周长为.（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.而为上任意一点，旋转后与平面的交点为，设旋转过程中到的距离与到的距离相等且垂足相同.到的距离为，到的距离为，所以，整理得.（ii）由题意知的斜率存在，设为，则.如图，作出符合题意的图形，设，.联立，整理得.根据韦达定理，.在轴的两侧，即.，此时恒成立.可得，代入韦达定理整理得，而，当最小时，，即的最小值为.19．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）当时，，则，当时，，所以函数在单调递增，此时；所以在上无零点；当时，令，则，当时，，则函数在单调递减；时，，则函数在单调递增，由于，所以，且当趋于时，趋于，所以在有一个零点，符合题意，综上所述，