6.4.3 第1课时 余弦定理（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.4.3第一课时余弦定理(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，，根据余弦定理：，可得，即由故.故选：A.2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝()A．8－4eq\r(3) B．1C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos60°，即c2＝a2＋b2－ab.①又因为(a＋b)2－c2＝4，所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②比较①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝eq\f(4,3).故选：C.3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cosB＝()A.eq\f(\r(7),14) B.eq\f(5\r(7),14) C.－eq\f(\r(7),14) D.－eq\f(5\r(7),14)【答案】A【解析】由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝102＋152－2×10×15×cos60°＝175，∴c＝5eq\r(7).∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(102＋175－152,2×10×5\r(7))＝eq\f(\r(7),14).故选：A.4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)【答案】B【解析】由b2＝ac，c＝2a，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).故选：B.5.中，角，，的对边分别为，，，则“”是“为锐角”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】在中,若,则,即,,,为锐角,即“”“为锐角”,若为锐角,则,即,无法推出,所以“为锐角”“”,综上所述:“”是“为锐角”的充分非必要条件,故选:A.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq\r(3)bc＝a2，bc＝eq\r(3)a2，则角C的大小可能是()A. B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)【答案】CD【解析】选A.由b2＋c2－eq\r(3)bc＝a2，得b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，则A＝eq\f(π,6)，由bc＝eq\r(3)a2，得sinBsinC＝eq\r(3)sin2A＝eq\r(3)×eq\f(1,4)＝eq\f(\r(3),4)，即4sin(π－C－A)sinC＝eq\r(3)，即4sin(C＋A)sinC＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))sinC＝eq\r(3)，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinC＋\f(1,2)cosC))sinC＝2eq\r(3)sin2C＋2sinCcosC＝eq\r(3)，即eq\r(3)(1－cos2C)＋sin2C＝eq\r(3)－eq\r(3)cos2C＋sin2C＝eq\r(3)，则－eq\r(3)cos2C＋sin2C＝0，则eq\r(3)cos2C＝sin2C，则tan2C＝eq\r(3)，即2C＝eq\f(π,3)或eq\f(4π,3)，即C＝eq\f(π,6)或eq\f(2π,3)，故选:CD.7.在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状不可能为()A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】BCD【解析】已知等式变形得cosB＋1＝eq\f(a,c)＋1，即cosB＝eq\f(a,c)①.由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，代入①得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．故选:BCD8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosA＝bcosC＋ccosB，b＋c＝3，则a的最小值不可能为()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3【答案】ACD【解析】在△ABC中，因为3acosA＝bcosC＋ccosB，所以,整理得cosA＝eq\f(1,3).因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤eq\f(9,4)，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a2＝b2＋c2－eq\f(2,3)bc＝(b＋c)2－eq\f(8bc,3)≥9－eq\f(8,3)×eq\f(9,4)＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为eq\r(3).故选:ACD.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在中，已知，，则形状为__________三角形【答案】等边．【解析】由余弦定理，得，因为，，所以，化为，得，所以为等边三角形．故答案为:等边．10．在中，点在边上，，，，，则________．【答案】．【解析】，在中，由余弦定理，得．故答案为:11．已知的三边分别为所对的角分别为，且三边满足，已知的外接圆的面积为，设.则的取值范围为______，函数的最大值的取值范围为_______．【答案】【解析】由，可知c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),化简得,由余弦定理可得cosB=,又B∈(0,π),B=,因为,解得R=,由,解得b=3,由余弦定理得，由基本不等式可得，解得a+c≤6,根据两边之和大于第三边可得a+c>3,即a+c得取值范围是；=-+4（a+c）sinx+2=-2又-1≤sinx≤1,可知sinx=1时，函数f(x)的最大值为4（a+c）,函数的最大值的取值范围为故答案为(1)(2)四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．设的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】（1）由，得，得，因为，，所以，，所以，得．（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理得，因为为锐角三角形，所以即解得，13．在中，角、、的对边分别为、、，且满足。(1)求的大小；(2)求的最大值。【答案】(1);(2)1.【解析】(1)由余弦定理及题设，得，又，∴；由(1)知，则,∵，∴当时，取得最大值。14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即①，又②，将②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．A级必备知识基础练1.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60°,则c=()A.1 B.2 C.4 D.62.[探究点二]若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则AB·BC的值为(A.19 B.14 C.-18 D.-193.(多选题)[探究点一]在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是()A.1 B.2 C.3 D.44.[探究点二]在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知2acosC=2b+3c,则角A等于()A.π6 B.π3 C.2π5.[探究点二]在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为()A.322 B.332 C.6.[探究点三]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB,则△ABC的形状是.

7.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cosA=.

8.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3b,则cosB的最小值是.

9.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则此三角形的最大边长为.

10.[探究点一]在△ABC中,cosC=17,c=8,a=(1)b的值;(2)角A的大小.B级关键能力提升练11.(多选题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=23,cosA=32,则b=(A.2 B.3 C.4 D.2212.[2023全国高一专题练习]在△ABC中,b=3,c=3a,B=π6,则cosC=(A.32 B.C.-32 D.-13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c2-a2-b2A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形14.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A.0,π3C.0,π615.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于()A.60° B.45°或135°C.120° D.30°16.(多选题)在钝角△ABC中,若c=8,A=π3,则边a的值可能为(A.7 B.9 C.12 D.1617.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则A=,AC边上的高为.

18.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为19.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.20.设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且sin2A=sinπ3+Bsinπ3-B+sin2B.(1)求A的值;(2)若AB·AC=12,a=27,且b<c,求b,cC级学科素养创新练21.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的大小;(2)求AB的长.参考答案1.C由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.D设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,依题意,得a=5,b=6,c=7.∴AB·BC=|AB|·|BC|·cos(π-B)=-ac·cosB.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB,∴-ac·cosB=12(b2-a2-c2)=12(62-52-72)=-19,∴3.ACD若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<5,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>3,故3<a<5.4.D∵2acosC=2b+3c,∴由余弦定理的推论,得2a·a2+b2-c22ab=2b+3c,化简可得b∴cosA=b2+c又A∈(0,π),∴A=5π6.故选5.B在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理的推论,得cosA=AB∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sinA=3sin60°=332.故选6.等腰三角形∵c=2acosB,∴c=2a·a2∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形.7.13由B=C,得b=c=32a.由余弦定理的推论,得cosA=8.223由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac,又当且仅当43×bc=16×cb所以cosB的最小值是229.14已知a-b=4,则a>b且a=b+4.又a+c=2b,则b+4+c=2b,所以b=c+4,则b>c,从而知a>b>c,所以a为最大边,故A=120°,b=a-4,c=2b-a=a-8.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-4>0,所以a=14,即此三角形的最大边长为14.10.解(1)a=7,cosC=17,c=利用c2=a2+b2-2abcosC,整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),故b=5.(2)因为cosA=b2且A∈(0,π),所以A=π311.AC由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∴4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,∴b=2或b=4.经检验,b=2与b=4均符合题意.12.D由题意,在△ABC中,b=3,c=3a,B=π6由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+3a2-2a×3a×32,即a2=9,a=故a=b,即A=B=π6所以C=π-A-B=2π3,则cosC=-12.13.C由c2-a2-b22ab>0得-cosC>0,所以cosC<0,14.AcosB=a2+c2-b22ac=(15.B∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=0,∴a2+b2-c2+2ab=0或a2+b2-c2-2ab=0.∵cosC=a2+b2-c2∵0°<C<180°,∴C=135°或45°.故选B.16.AD∵c=8,A=π3∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=b2-8b+64=(b-4)2+48.若B为钝角,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac<0,即a2+c2-b则b2-8b+64<b2-64,8b>128,b>16.结合二次函数的性质可知a2>(16-4)2+48=192,a>83,a=16符合题意.若C为钝角,则a<8,由于A=π3,则0<B<π6由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-即b