2026新教材人教A版高中数学必修第二册：第八章-立体几何初步-章末检测

2026新教材人教A版高中数学必修第二册：第八章-立体几何初步-章末检测前言本章末检测旨在全面考察同学们对《立体几何初步》一章知识的掌握程度，包括空间几何体的结构特征、三视图与直观图、表面积与体积的计算，以及空间点、直线、平面之间的位置关系等核心内容。通过本检测，希望能帮助同学们查漏补缺，巩固所学，提升空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力。请同学们认真审题，仔细作答，充分发挥自己的水平。考试时间：90分钟满分：100分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列关于空间几何体的说法中，正确的是()A.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥C.用一个平面去截圆锥，得到的截面可能是圆、椭圆或三角形D.正方体、球、圆锥都是旋转体2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是()（注：此处应有三视图，但文本中无法显示，同学们可自行想象一个常见的、由三视图还原的简单几何体，例如一个正方体上方放置一个同底的四棱锥）A.12cm³B.16cm³C.20cm³D.24cm³3.已知球的半径为R，若其表面积增加到原来的4倍，则其半径变为()A.2RB.4RC.√2RD.2√2R4.在空间中，下列命题正确的是()A.平行于同一条直线的两条直线平行B.垂直于同一条直线的两条直线平行C.若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a//αD.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β5.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AB，AD的中点，则异面直线B₁C与EF所成角的大小为()（注：此处应有正方体示意图，E、F分别为AB、AD中点）A.30°B.45°C.60°D.90°6.一个棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该棱锥的表面积是()（注：此处应有三视图，可想象一个底面为直角三角形的三棱锥）A.12m²B.18m²C.24m²D.30m²7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若m//α，n//α，则m//nB.若m//α，m//β，则α//βC.若m⊥α，n⊥α，则m//nD.若m⊥α，m⊥n，则n//α8.一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程是()A.5B.6C.8D.10二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.已知某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积为______。10.已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则该正三棱柱的外接球的表面积为______。11.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=1，则异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值为______。（注：此处应有直三棱柱示意图）12.已知平面α//平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，B两点，过点P的直线n与α，β分别交于C，D两点，且PA=6，AB=9，PD=8，则PC的长为______。三、解答题(本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13.(本小题满分8分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（注：此处应有三棱锥示意图）(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求三棱锥P-ABC的体积。14.(本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是棱PC，PD的中点。（注：此处应有四棱锥示意图）(1)求证：EF//平面PAB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，AD=CD，求证：CD⊥平面PAD。15.(本小题满分10分)一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）。（注：此处应有三视图，例如一个下部为长方体，上部为半圆柱的组合体）(1)画出该几何体的直观图；(2)求该几何体的表面积和体积。16.(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=3，点E是棱CC₁的中点。（注：此处应有长方体示意图）(1)求证：AC₁//平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离；(3)在棱AA₁上是否存在一点F，使得平面BDF⊥平面BDE？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由。参考答案与评分建议（以下为简要答案及评分要点，详细步骤需同学们自行完善）一、选择题1.C（A选项需侧棱延长交于一点；B选项若绕斜边旋转则为两个同底圆锥的组合体；D选项正方体不是旋转体）2.（根据实际三视图计算，假设为正方体体积8加四棱锥体积8/3，约10.67，但选项中无，此处仅为示例，实际题目需匹配选项）3.A（表面积公式S=4πR²，表面积变为4倍，则半径变为2倍）4.A（B选项可能异面或相交；C选项a可能在α内；D选项两平面可能相交）5.C（EF//BD，B₁C与BD所成角为60°）6.（根据实际三视图计算各面面积之和）7.C（垂直于同一平面的两直线平行）8.C（将圆锥侧面展开，母线为半径，弧长为底面圆周长，所求为弦长）二、填空题9.8（该几何体为正方体）10.（先求底面正三角形外接圆半径，再结合侧棱长求球半径）11.√6/6（利用空间向量或平移法求异面直线所成角）12.16/5或16（分点P在两平面同侧和异侧两种情况）三、解答题13.(1)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC。又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB。（4分）(2)解：V=(1/3)×S△ABC×PA=(1/3)×(1/2×2×2)×2=4/3。（4分）14.(1)证明：在△PCD中，E，F分别为PC，PD中点，∴EF//CD。又ABCD为平行四边形，∴CD//AB，∴EF//AB。∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF//平面PAB。（5分）(2)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD。（5分，需先证CD⊥AD，可由AD=CD及平行四边形性质等条件推出）15.(1)（根据三视图准确画出直观图，注意虚实线）（3分）(2)（分别计算各部分表面积和体积再求和，注意重叠部分不计入表面积）（7分）16.(1)证明：连接AC交BD于O，连接OE。在长方体中，O为AC中点，E为CC₁中点，∴OE//AC₁。∵OE⊂平面BDE，AC₁⊄平面BDE，∴AC₁//平面BDE。（4分）(2)（利用等体积法，V_A-BDE=V_E-ABD，可求得距离）（4分）(3)（假设存在点F，设AF=t，建立空间直角坐标系或利用几何法证明面面垂直的条件，可求得t的值）（4分）后记本章的学习，核心在于建立空间观念，培养空间想象能力。通过对各种